Un numero complesso non è soltanto un’espressione da semplificare. Il punto z=a+bi ha una distanza dall’origine e, se non è zero, una direzione. Chiamiamo queste due informazioni modulo e argomento. Aggiungendo un secondo punto possiamo misurare una distanza fra numeri, riconoscere cerchi e dischi e capire perché un angolo richiede qualche attenzione in più di una lunghezza.
Indice del percorso · Laboratorio: modulo, distanza e argomento · Ripassa la tappa 2
1. Due domande diverse sullo stesso punto
Per z=a+bi il punto è (a,b). Possiamo chiedere «quanto è lontano dall’origine?» oppure «in quale direzione si trova?». La prima risposta è un numero reale non negativo; la seconda è un angolo, con una convenzione di misura da dichiarare. Nessuna delle due è la parte immaginaria b.
Per esempio 3+4i si raggiunge andando 3 a destra e 4 in alto. La lunghezza del segmento non è 3+4=7: quello è il percorso spezzato lungo le due coordinate. Il segmento diretto ha lunghezza 5. Il suo angolo non è né 3 né 4: lo misuriamo dall’asse reale positivo, in senso antiorario.
2. Il modulo si ricava con Pitagora
Le lunghezze dei cateti del triangolo sono |a| e |b|. Per Pitagora il quadrato dell’ipotenusa è a²+b²; scegliamo la radice non negativa perché stiamo misurando una lunghezza.
|z| = √(a²+b²)
|z| ≥ 0; |z|=0 ⇔ z=0
Enunciato: trova il modulo di 3+4i. Sostituiamo a=3, b=4: |3+4i|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5. Anche 3−4i e −3−4i hanno modulo 5: i segni cambiano la posizione, non i quadrati. Il modulo non è ±5 e non è un numero complesso non reale.
Per z=−6, scriviamo −6+0i: |z|=√36=6. Il modulo complesso estende il valore assoluto reale.
3. Non confondere |z|² con z²
Dalla tappa 2 sappiamo che z z̄=a²+b². Perciò |z|²=z z̄, ma in generale |z|²≠z². Con z=3+4i troviamo |z|²=25, mentre z²=(3+4i)²=9+24i+16i²=−7+24i.
|z|² = z z̄ = a²+b²
Il coniugato z̄ e l’opposto −z hanno lo stesso modulo di z: riflettere il punto rispetto all’asse reale o all’origine conserva la distanza dall’origine. Anche numeri completamente diversi possono avere lo stesso modulo; conoscere soltanto |z| non determina z.
4. La distanza fra due numeri è il modulo della differenza
Siano z=a+bi e w=c+di. La differenza z−w=(a−c)+(b−d)i descrive lo spostamento da w a z. Il suo modulo è la lunghezza del segmento che li unisce.
d(z,w)=|z−w|=√((a−c)²+(b−d)²)
Enunciato: trova la distanza fra z=3+2i e w=−1−i. Prima sottraiamo: z−w=(3−(−1))+(2−(−1))i=4+3i. Poi calcoliamo: |z−w|=√(4²+3²)=5.
Non usare |z|−|w| come formula della distanza. Per esempio z=3+4i e w=−3−4i hanno entrambi modulo 5, ma |z−w|=|6+8i|=10, non zero. Distanza zero significa punti coincidenti; moduli uguali significa soltanto uguale distanza dall’origine.
5. Angoli orientati, gradi e radianti
Misuriamo la direzione partendo dal semiasse reale positivo. Il verso antiorario è positivo, quello orario negativo. Un quarto di giro corrisponde a 90°, mezzo giro a 180°, un giro completo a 360°.
Un radiante è l’angolo che, su una circonferenza, intercetta un arco lungo quanto il raggio. Più in generale θ=s/r, con s lunghezza orientata dell’arco e r raggio. Siccome un giro ha lunghezza 2πr, un giro misura 2π radianti.
180° = π rad; 90° = π/2 rad; 360° = 2π rad
θ in radianti = (θ in gradi) × π/180
Quindi 45°=π/4 e −90°=−π/2. Un valore come 1,57 senza indicare l’unità può creare equivoci: 1,57 radianti è circa 90°, non 1,57°. Nel laboratorio riportiamo entrambe le unità.
6. Argomento e argomento principale non sono la stessa cosa
Se un angolo θ indica la direzione di un numero non nullo, anche θ+2π, θ−2π e tutti gli angoli θ+2kπ indicano la stessa direzione. Per 1+i valgono 45°, 405° e −315°. L’argomento non è quindi unico.
arg(z) = {Arg(z)+2kπ : k∈ℤ}, con z≠0
Scegliamo come argomento principale Arg(z) il rappresentante nell’intervallo (−π,π], cioè (−180°,180°]. Per 1+i, Arg=π/4; per −1, Arg=π, non −π nella convenzione scelta. Altri testi possono scegliere intervalli diversi: bisogna dichiararli.
Per z=0 il modulo vale zero, ma l’argomento non è definito: non esiste una direzione del segmento nullo. Non assegnargli automaticamente l’angolo 0°. Il fatto che r=0 produca l’origine qualunque sia l’angolo non seleziona una direzione privilegiata.
7. Trovare l’angolo: il quadrante conta
Per z≠0 e r=|z|, i rapporti a/r e b/r descrivono le proiezioni orizzontale e verticale del punto sulla circonferenza unitaria. Si chiamano rispettivamente coseno e seno dell’angolo: cosθ=a/r, sinθ=b/r. Questi due rapporti insieme individuano la direzione.
Usare soltanto arctan(b/a) può dare il quadrante sbagliato. Per −1+i il rapporto b/a è −1: arctan(−1)=−45°, ma il punto è in alto a sinistra e il suo argomento principale è 135°. Inoltre b/a non esiste se a=0, anche se i e −i hanno direzioni chiarissime.
Arg(a+bi) = atan2(b,a), con la convenzione (−π,π]
atan2 considera entrambi i segni. Il primo argomento della funzione è la coordinata verticale b, il secondo quella orizzontale a. Sull’asse reale negativo normalizziamo −π a π; all’origine interrompiamo il calcolo e segnaliamo «non definito».
8. Tre esempi, con valori esatti e approssimati
z=−1+i. Il modulo è √(1+1)=√2. I cateti hanno uguale lunghezza e il punto è nel secondo quadrante: Arg(z)=135°=3π/4. Tutti gli argomenti sono 3π/4+2kπ.
z=1−i. Stesso modulo √2, ma quarto quadrante: Arg(z)=−45°=−π/4. L’angolo 315° è un argomento valido, non quello principale scelto.
z=3+4i. Il modulo è esattamente 5. L’argomento si calcola con atan2(4,3): circa 53,130102°, cioè circa 0,927295 radianti. Non sostituiamo il simbolo ≈ con =: un decimale arrotondato non è il valore esatto.
Nel laboratorio i quadrati delle coordinate e le appartenenze a cerchi/dischi sono verificati con frazioni esatte. Gli angoli numerici sono approssimati. Per assi e diagonali riconosciamo anche i valori esatti più semplici in multipli di π.
9. Il salto dell’argomento principale
Considera −3+0,1i e −3−0,1i. I punti sono vicini: distano 0,2. Tuttavia il primo ha argomento principale vicino a +180°, il secondo vicino a −180°. Non è il punto a compiere quasi un giro: è il rappresentante scelto a saltare al bordo dell’intervallo.
Questo bordo è spesso chiamato taglio della rappresentazione principale. Sull’asse negativo usiamo π. Se scegliessimo l’intervallo [0,2π), il salto si sposterebbe sull’asse reale positivo: nessuna scelta rende un singolo argomento continuo su tutto il piano privato dell’origine.
Coniugare riflette il punto rispetto all’asse reale e cambia θ in −θ; poi occorre riportare l’angolo nell’intervallo principale. Per −2 il coniugato è ancora −2: entrambi hanno Arg=π, quindi non si può scrivere sempre Arg(z̄)=−Arg(z) senza questa precisazione.
10. Cerchi, dischi e semirette come insiemi di numeri
La condizione |z−w|=R, con R>0, descrive tutti i punti a distanza R dal centro w: una circonferenza. Con |z−w|≤R includiamo anche l’interno e otteniamo il disco chiuso. Il centro non è necessariamente l’origine.
|z−(1+i)|=2: centro (1,1), raggio 2
|z−(1+i)|≤2: stesso bordo, con l’interno incluso
Se R=0, entrambe le condizioni individuano soltanto il centro. Un raggio negativo non è un raggio geometrico; l’uguaglianza a una distanza negativa non ha soluzioni.
Invece «θ è un argomento di z», con θ fissato e z≠0, descrive una semiretta uscente dall’origine, senza l’origine. Non una retta intera: il punto opposto ha direzione spostata di π. Per esempio π/4 descrive z=t+ti con t>0, non con qualsiasi t reale.
11. Una disuguaglianza che si vede nel disegno
Il percorso diretto fra due punti non è più lungo di un percorso spezzato che passa per un terzo punto. Applicato alla somma dei vettori, questo dà la disuguaglianza triangolare:
|z+w| ≤ |z|+|w|
||z|−|w|| ≤ |z−w|
Con z=3 e w=4i, |z+w|=5 mentre |z|+|w|=7: l’uguaglianza non vale sempre. La seconda formula fornisce soltanto un limite inferiore alla distanza, non la distanza esatta; per punti opposti di modulo 5, dà 0≤10.
Stiamo confrontando lunghezze, quindi numeri reali. Questo non introduce un ordine «maggiore/minore» sui numeri complessi stessi. La geometria aiuta anche a controllare un risultato: una distanza negativa o un modulo minore di zero segnala un errore.
12. Un metodo da riutilizzare
- Scrivi z=a+bi e, se serve, w=c+di.
- Per una lunghezza usa Pitagora; per due punti calcola prima la differenza.
- Prima di cercare un angolo controlla che z≠0.
- Guarda il quadrante e gli assi; non usare b/a alla cieca.
- Dichiara unità di misura e intervallo dell’argomento principale.
- Distingui valori esatti, come π/4 o √2, dai loro decimali approssimati.
Nel laboratorio scegli modulo/argomento, distanza oppure cerchio/disco. Modificando i dati cambiano anche enunciato, formule e disegno. Nella prossima tappa useremo questi strumenti per scrivere la forma trigonometrica e interpretare prodotti e quozienti come trasformazioni.
Dodici esercizi: prova prima di aprire la soluzione
1. Trova |5−12i|.
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√(5²+(−12)²)=√169=13. Il segno negativo scompare nel quadrato, non nella posizione del punto.
2. Confronta |−6| e |−6i|.
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Entrambi valgono 6: √(36+0) e √(0+36). Stessa distanza, direzioni diverse.
3. Trova il modulo di 1/2+(1/3)i.
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|z|²=1/4+1/9=13/36. Quindi |z|=√13/6≈0,600925. La radice non è 1/2+1/3.
4. Distanza tra −2+i e 1+5i?
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Sottraiamo: z−w=−3−4i. Distanza √(9+16)=5; invertire i punti cambia il vettore ma non la lunghezza.
5. Trova Arg(−1−i) e due altri argomenti.
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Terzo quadrante: Arg=−3π/4=−135°. Aggiungendo e sottraendo 2π: 5π/4 e −11π/4. Tutti descrivono la stessa direzione.
6. Perché Arg(−2)=π e non −π nella nostra convenzione?
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L’intervallo (−π,π] include π ed esclude −π. −π resta un argomento valido, ma non quello principale scelto.
7. Quali sono modulo e argomento di zero?
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Il modulo è 0. L’argomento non è definito: dall’origine non parte una direzione verso un punto distinto. Non gli assegniamo 0°.
8. Converti 150° in radianti e −π/3 in gradi.
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150×π/180=5π/6 rad. (−π/3)×180/π=−60°. I fattori di conversione derivano da π rad=180°.
9. |z|=|w| implica z=w?
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No: z=1 e w=−1 hanno entrambi modulo 1 ma distanza 2. Stanno sulla stessa circonferenza, non nello stesso punto.
10. z=2+i appartiene a |z−(1+i)|=2? E al disco ≤2?
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La distanza dal centro è |1|=1. Non è sul bordo di raggio 2; è invece dentro il disco chiuso.
11. Descrivi i punti con argomento π/4.
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Sono z=t+ti con t>0: una semiretta senza origine. t<0 dà invece la direzione opposta; t=0 non ha argomento.
12. Verifica la disuguaglianza triangolare per z=3 e w=4i.
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|z+w|=5 e |z|+|w|=7, dunque 5≤7. L’uguaglianza non è una regola generale: il segmento diretto può essere più corto della spezzata.
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