Un complejo no es solo una expresión que simplificar. El punto z=a+bi tiene una distancia al origen y, si no es cero, una dirección. Son su módulo y su argumento. Con un segundo punto podemos medir distancias entre números, reconocer circunferencias y discos y comprender por qué un ángulo requiere más cuidado que una longitud.
Índice del recorrido · Laboratorio: módulo, distancia y argumento · Repasar la etapa 2
1. Dos preguntas distintas sobre el mismo punto
El punto de z=a+bi es (a,b). Podemos preguntar a qué distancia está del origen o en qué dirección se encuentra. La primera respuesta es un real no negativo; la segunda es un ángulo cuya convención debe indicarse. Ninguna es la parte imaginaria b.
Llegamos a 3+4i avanzando 3 a la derecha y 4 hacia arriba. El segmento directo no mide 3+4=7: esa es la longitud del camino quebrado. El segmento mide 5. Su ángulo no es ni 3 ni 4: se mide desde el eje real positivo en sentido antihorario.
2. El módulo mediante Pitágoras
Los catetos tienen longitudes |a| y |b|. Pitágoras da el cuadrado de la hipotenusa a²+b². Elegimos la raíz no negativa porque se trata de una longitud.
|z| = √(a²+b²)
|z| ≥ 0; |z|=0 ⇔ z=0
Enunciado: halla el módulo de 3+4i. Con a=3, b=4: |3+4i|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5. También 3−4i y −3−4i tienen módulo 5: los signos cambian la posición, no los cuadrados. El módulo no es ±5 ni un número no real.
Para z=−6, escribimos −6+0i: |z|=√36=6. El módulo complejo extiende el valor absoluto real.
3. No confundir |z|² con z²
En la etapa 2 vimos z z̄=a²+b². Por tanto |z|²=z z̄, pero en general |z|²≠z². Para z=3+4i, |z|²=25, mientras z²=(3+4i)²=9+24i+16i²=−7+24i.
|z|² = z z̄ = a²+b²
El conjugado z̄ y el opuesto −z tienen el mismo módulo que z: reflejar respecto del eje real o del origen conserva la distancia al origen. Números diferentes pueden tener el mismo módulo; |z| por sí solo no determina z.
4. La distancia es el módulo de la diferencia
Sean z=a+bi y w=c+di. La diferencia z−w=(a−c)+(b−d)i describe el desplazamiento de w a z. Su módulo es la longitud del segmento que los une.
d(z,w)=|z−w|=√((a−c)²+(b−d)²)
Enunciado: halla la distancia entre z=3+2i y w=−1−i. Primero restamos: z−w=(3−(−1))+(2−(−1))i=4+3i. Después |z−w|=√(4²+3²)=5.
No uses |z|−|w| como distancia. Para z=3+4i y w=−3−4i, ambos módulos son 5, pero |z−w|=|6+8i|=10, no cero. Distancia cero significa puntos iguales; módulos iguales solo significan igual distancia al origen.
5. Ángulos orientados, grados y radianes
Medimos la dirección desde el semieje real positivo. El sentido antihorario es positivo y el horario negativo. Un cuarto de vuelta vale 90°, media vuelta 180° y una vuelta completa 360°.
Un radián abarca un arco cuya longitud iguala el radio de la circunferencia. En general θ=s/r, con longitud orientada del arco s y radio r. Una vuelta mide 2πr, por lo que son 2π radianes.
180° = π rad; 90° = π/2 rad; 360° = 2π rad
θ en radianes = (θ en grados) × π/180
Así, 45°=π/4 y −90°=−π/2. Un valor como 1,57 sin unidades puede confundir: 1,57 radianes son unos 90°, no 1,57°. El laboratorio muestra ambas unidades.
6. Argumento y argumento principal no son lo mismo
Si θ indica la dirección de un complejo no nulo, θ+2π, θ−2π y todos los θ+2kπ indican la misma dirección. Para 1+i sirven 45°, 405° y −315°. El argumento no es único.
arg(z) = {Arg(z)+2kπ : k∈ℤ}, con z≠0
Elegimos el argumento principal Arg(z) en (−π,π], es decir, (−180°,180°]. Para 1+i vale π/4; para −1 vale π, no −π con esta convención. Otros textos pueden elegir intervalos distintos: hay que declararlos.
Para z=0 el módulo vale cero, pero el argumento no está definido: un segmento nulo no tiene dirección. No le asignes automáticamente 0°. Que r=0 produzca el origen con cualquier ángulo no selecciona una dirección privilegiada.
7. Hallar el ángulo: importa el cuadrante
Para z≠0 y r=|z|, a/r y b/r describen las proyecciones horizontal y vertical sobre la circunferencia unidad. Son el coseno y el seno: cosθ=a/r, sinθ=b/r. Ambos cocientes juntos determinan la dirección.
Usar solo arctan(b/a) puede dar un cuadrante incorrecto. Para −1+i, b/a=−1 y arctan(−1)=−45°, pero el punto está arriba a la izquierda y su argumento principal es 135°. Además, b/a no existe si a=0, aunque i y −i tienen direcciones claras.
Arg(a+bi) = atan2(b,a), con la convención (−π,π]
atan2 considera ambos signos. Su primer argumento es la coordenada vertical b y el segundo la horizontal a. En el eje real negativo normalizamos −π a π; en el origen detenemos el cálculo e indicamos «no definido».
8. Tres ejemplos: valores exactos y aproximados
z=−1+i. Módulo √(1+1)=√2. Los catetos iguales y el segundo cuadrante dan Arg(z)=135°=3π/4. Todos los argumentos son 3π/4+2kπ.
z=1−i. El mismo módulo √2, pero cuarto cuadrante: Arg(z)=−45°=−π/4. 315° es un argumento válido, no el principal elegido.
z=3+4i. Su módulo es exactamente 5. atan2(4,3) da aproximadamente 53,130102°, o aproximadamente 0,927295 radianes. Mantén ≈ en vez de =: un decimal redondeado no es el valor exacto.
El laboratorio comprueba los cuadrados y la pertenencia a circunferencias/discos con fracciones exactas. Los ángulos numéricos son aproximados. En ejes y diagonales reconoce también múltiplos sencillos exactos de π.
9. El salto del argumento principal
Considera −3+0,1i y −3−0,1i. Los puntos están cerca, a distancia 0,2, pero sus argumentos principales están próximos a +180° y −180°. El punto no ha dado casi una vuelta: el representante elegido salta en el borde del intervalo.
Ese borde suele llamarse corte de la representación principal. En el eje negativo usamos π. Elegir [0,2π) trasladaría el salto al eje real positivo: ninguna elección da un argumento único continuo en todo el plano sin el origen.
Conjugar refleja respecto del eje real y cambia θ por −θ; después hay que normalizar. El conjugado de −2 sigue siendo −2 y ambos tienen Arg=π: Arg(z̄)=−Arg(z) necesita esta precisión.
10. Circunferencias, discos y semirrectas como conjuntos de números
La condición |z−w|=R, con R>0, describe puntos a distancia R del centro w: una circunferencia. La desigualdad |z−w|≤R incluye el interior y da un disco cerrado. El centro no tiene por qué ser el origen.
|z−(1+i)|=2: centro (1,1), radio 2
|z−(1+i)|≤2: mismo borde, interior incluido
Para R=0 ambas condiciones dan solo el centro. Un radio negativo no es geométrico; una igualdad que exige distancia negativa no tiene soluciones.
En cambio, « θ es un argumento de z », con θ fijo y z≠0, describe una semirrecta desde el origen sin el origen, no una recta completa: el punto opuesto difiere en dirección π. Por ejemplo π/4 describe z=t+ti con t>0, no cualquier real t.
11. Una desigualdad visible en el dibujo
El camino directo entre dos puntos no es más largo que uno quebrado que pasa por un tercero. Aplicado a la suma de vectores, es la desigualdad triangular:
|z+w| ≤ |z|+|w|
||z|−|w|| ≤ |z−w|
Para z=3 y w=4i, |z+w|=5 mientras |z|+|w|=7: no siempre hay igualdad. La segunda fórmula es solo una cota inferior de la distancia, no su valor exacto; para puntos opuestos de módulo 5 da 0≤10.
Comparamos longitudes, es decir, reales. Eso no ordena los complejos en sí. La geometría ayuda a comprobar: una distancia o un módulo negativos indican un error.
12. Un método reutilizable
- Escribe z=a+bi y, si hace falta, w=c+di.
- Usa Pitágoras para longitudes; resta primero si hay dos puntos.
- Comprueba z≠0 antes de buscar un ángulo.
- Observa cuadrantes y ejes; no uses b/a a ciegas.
- Declara unidades e intervalo principal.
- Distingue π/4 o √2 exactos de sus decimales aproximados.
Elige módulo/argumento, distancia o circunferencia/disco en el laboratorio. Cambiar datos actualiza enunciado, fórmulas y dibujo. La próxima etapa usará estas herramientas para la forma trigonométrica e interpretar productos y cocientes como transformaciones.
Doce ejercicios: inténtalo antes de abrir la solución
1. Halla |5−12i|.
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√(5²+(−12)²)=√169=13. El signo negativo desaparece en el cuadrado, no en la posición del punto.
2. Compara |−6| y |−6i|.
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Ambos valen 6: √(36+0) y √(0+36). Igual distancia, distintas direcciones.
3. Halla el módulo de 1/2+(1/3)i.
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|z|²=1/4+1/9=13/36. Así |z|=√13/6≈0,600925. La raíz no es 1/2+1/3.
4. ¿Distancia entre −2+i y 1+5i?
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Restamos: z−w=−3−4i. Distancia √(9+16)=5; invertir los puntos cambia el vector, no su longitud.
5. Halla Arg(−1−i) y otros dos argumentos.
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Tercer cuadrante: Arg=−3π/4=−135°. Sumando y restando 2π: 5π/4 y −11π/4, con la misma dirección.
6. ¿Por qué Arg(−2)=π y no −π en nuestro convenio?
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El intervalo (−π,π] incluye π y excluye −π. −π sigue siendo un argumento válido, pero no el principal elegido.
7. ¿Cuáles son el módulo y argumento de cero?
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El módulo es 0. El argumento no está definido: no hay dirección hacia un punto distinto. No le asignamos 0°.
8. Convierte 150° a radianes y −π/3 a grados.
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150×π/180=5π/6 rad. (−π/3)×180/π=−60°. Los factores salen de π rad=180°.
9. ¿|z|=|w| implica z=w?
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No: z=1 y w=−1 tienen módulo 1 pero distancia 2. Misma circunferencia, distintos puntos.
10. ¿z=2+i pertenece a |z−(1+i)|=2? ¿Al disco ≤2?
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La distancia al centro es |1|=1. No está en el borde de radio 2, pero sí dentro del disco cerrado.
11. Describe los puntos con argumento π/4.
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Son z=t+ti con t>0: una semirrecta sin origen. t<0 da la dirección opuesta; t=0 no tiene argumento.
12. Comprueba la desigualdad triangular para z=3 y w=4i.
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|z+w|=5 y |z|+|w|=7, así que 5≤7. La igualdad no es general: el segmento directo puede ser más corto que el camino quebrado.
Índice del recorrido · Laboratorio: módulo, distancia y argumento