Un complexe n’est pas seulement une expression à simplifier. Le point z=a+bi possède une distance à l’origine et, s’il est non nul, une direction. Ce sont son module et son argument. Un second point permet de mesurer la distance entre nombres, de reconnaître cercles et disques et de comprendre pourquoi les angles demandent plus de précautions que les longueurs.
Index du parcours · Laboratoire : module, distance et argument · Revoir l’étape 2
1. Deux questions différentes sur un même point
Le point associé à z=a+bi est (a,b). On peut demander sa distance à l’origine ou sa direction. La première réponse est un réel positif ou nul ; la seconde est un angle dont il faut préciser la convention. Aucune n’est la partie imaginaire b.
On atteint 3+4i en allant de 3 à droite puis de 4 vers le haut. Le segment direct ne mesure pas 3+4=7 : c’est la longueur du chemin brisé. Le segment mesure 5. Son angle n’est ni 3 ni 4 : il se mesure depuis l’axe réel positif, dans le sens antihoraire.
2. Le module par Pythagore
Les côtés de l’angle droit ont pour longueurs |a| et |b|. Pythagore donne le carré de l’hypoténuse a²+b². On choisit la racine positive ou nulle puisqu’il s’agit d’une longueur.
|z| = √(a²+b²)
|z| ≥ 0; |z|=0 ⇔ z=0
Énoncé : trouver le module de 3+4i. Avec a=3, b=4 : |3+4i|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5. 3−4i et −3−4i ont aussi pour module 5 : les signes changent la position, pas les carrés. Le module n’est ni ±5 ni un nombre non réel.
Pour z=−6, écrire −6+0i donne |z|=√36=6. Le module complexe prolonge la valeur absolue réelle.
3. Ne pas confondre |z|² et z²
L’étape 2 a donné z z̄=a²+b². Ainsi |z|²=z z̄, mais en général |z|²≠z². Pour z=3+4i, |z|²=25, alors que z²=(3+4i)²=9+24i+16i²=−7+24i.
|z|² = z z̄ = a²+b²
Le conjugué z̄ et l’opposé −z ont le même module que z : la symétrie par rapport à l’axe réel ou à l’origine conserve la distance à l’origine. Des nombres différents peuvent avoir le même module ; |z| seul ne détermine donc pas z.
4. La distance est le module de la différence
Soient z=a+bi et w=c+di. La différence z−w=(a−c)+(b−d)i décrit le déplacement de w vers z. Son module est la longueur du segment qui les relie.
d(z,w)=|z−w|=√((a−c)²+(b−d)²)
Énoncé : trouver la distance entre z=3+2i et w=−1−i. Soustrayons d’abord : z−w=(3−(−1))+(2−(−1))i=4+3i. Puis |z−w|=√(4²+3²)=5.
Ne prenez pas |z|−|w| pour la distance. Pour z=3+4i et w=−3−4i, les deux modules valent 5, mais |z−w|=|6+8i|=10, pas zéro. Une distance nulle signifie des points confondus ; des modules égaux signifient seulement des distances à l’origine égales.
5. Angles orientés, degrés et radians
On mesure la direction depuis le demi-axe réel positif. Le sens antihoraire est positif, le sens horaire négatif. Un quart de tour vaut 90°, un demi-tour 180°, un tour complet 360°.
Un radian intercepte un arc de longueur égale au rayon du cercle. Plus généralement θ=s/r, avec s longueur orientée de l’arc et r rayon. Un tour mesure 2πr, donc 2π radians.
180° = π rad; 90° = π/2 rad; 360° = 2π rad
θ en radians = (θ en degrés) × π/180
Ainsi 45°=π/4 et −90°=−π/2. Une valeur comme 1,57 sans unité prête à confusion : 1,57 radian vaut environ 90°, pas 1,57°. Le laboratoire affiche les deux unités.
6. Argument et argument principal sont différents
Si θ donne la direction d’un complexe non nul, θ+2π, θ−2π et tous les θ+2kπ donnent la même direction. Pour 1+i, 45°, 405° et −315° conviennent. L’argument n’est donc pas unique.
arg(z) = {Arg(z)+2kπ : k∈ℤ}, avec z≠0
Choisissons l’argument principal Arg(z) dans (−π,π], soit (−180°,180°]. Pour 1+i il vaut π/4 ; pour −1, π, et non −π selon cette convention. D’autres textes choisissent un autre intervalle : il faut le préciser.
Pour z=0, le module vaut zéro, mais l’argument n’est pas défini : un segment nul n’a pas de direction. Ne lui attribuez pas automatiquement 0°. Que r=0 donne l’origine pour tout angle ne choisit aucune direction particulière.
7. Trouver l’angle : le quadrant compte
Pour z≠0 et r=|z|, a/r et b/r donnent les projections horizontale et verticale sur le cercle unité. Ce sont le cosinus et le sinus : cosθ=a/r, sinθ=b/r. Les deux rapports déterminent ensemble la direction.
Utiliser seulement arctan(b/a) peut donner un mauvais quadrant. Pour −1+i, b/a=−1 et arctan(−1)=−45°, mais le point est en haut à gauche : son argument principal vaut 135°. De plus, b/a n’existe pas si a=0, alors que i et −i ont des directions claires.
Arg(a+bi) = atan2(b,a), avec la convention (−π,π]
atan2 tient compte des deux signes. Le premier argument est la coordonnée verticale b, le second l’horizontale a. Sur l’axe réel négatif, on normalise −π en π ; à l’origine on arrête le calcul et indique « non défini ».
8. Trois exemples : valeurs exactes et approchées
z=−1+i. Module √(1+1)=√2. Les côtés égaux et le deuxième quadrant donnent Arg(z)=135°=3π/4. Tous les arguments sont 3π/4+2kπ.
z=1−i. Même module √2, mais quatrième quadrant : Arg(z)=−45°=−π/4. 315° est un argument valable, pas le principal choisi.
z=3+4i. Son module vaut exactement 5. atan2(4,3) donne environ 53,130102°, soit environ 0,927295 radian. Gardez ≈ plutôt que = : une décimale arrondie n’est pas la valeur exacte.
Le laboratoire vérifie les carrés des coordonnées et l’appartenance aux cercles/disques avec des fractions exactes. Les angles numériques sont approchés. Pour les axes et diagonales, il reconnaît aussi les multiples simples exacts de π.
9. Le saut de l’argument principal
Considérons −3+0,1i et −3−0,1i. Ces points sont proches, à distance 0,2, mais leurs arguments principaux sont proches de +180° et −180°. Le point n’a pas presque fait un tour : le représentant choisi saute au bord de l’intervalle.
Ce bord est souvent appelé coupure de la représentation principale. Sur l’axe négatif on utilise π. Choisir [0,2π) déplacerait le saut sur l’axe réel positif : aucun choix ne donne un argument unique continu sur tout le plan privé de l’origine.
Conjuguer réfléchit par rapport à l’axe réel et change θ en −θ ; il faut ensuite normaliser l’angle. Le conjugué de −2 est encore −2, et les deux ont Arg=π : Arg(z̄)=−Arg(z) exige cette précision.
10. Cercles, disques et demi-droites comme ensembles de nombres
La condition |z−w|=R, avec R>0, décrit les points à distance R du centre w : un cercle. L’inégalité |z−w|≤R inclut l’intérieur et donne un disque fermé. Le centre n’est pas forcément l’origine.
|z−(1+i)|=2 : centre (1,1), rayon 2
|z−(1+i)|≤2 : même bord, intérieur inclus
Pour R=0, les deux conditions donnent seulement le centre. Un rayon négatif n’est pas géométrique ; une égalité à une distance négative n’a aucune solution.
En revanche, « θ est un argument de z », avec θ fixé et z≠0, décrit une demi-droite issue de l’origine sans l’origine, pas une droite entière : le point opposé diffère d’un angle π. Par exemple π/4 décrit z=t+ti avec t>0, pas tout réel t.
11. Une inégalité visible sur le dessin
Le chemin direct entre deux points n’est pas plus long qu’un chemin brisé passant par un troisième. Pour une somme de vecteurs, c’est l’inégalité triangulaire :
|z+w| ≤ |z|+|w|
||z|−|w|| ≤ |z−w|
Pour z=3 et w=4i, |z+w|=5 tandis que |z|+|w|=7 : l’égalité n’est pas automatique. La seconde formule n’est qu’une borne inférieure de la distance ; pour deux points opposés de module 5, elle donne 0≤10.
On compare des longueurs, donc des réels. Cela n’ordonne pas les complexes eux-mêmes. La géométrie permet aussi de contrôler : une distance ou un module négatif signale une erreur.
12. Une méthode réutilisable
- Écrire z=a+bi et, si nécessaire, w=c+di.
- Utiliser Pythagore pour une longueur ; soustraire d’abord pour deux points.
- Vérifier z≠0 avant de chercher un angle.
- Observer quadrants et axes ; ne pas utiliser b/a aveuglément.
- Préciser unités et intervalle principal.
- Distinguer π/4 ou √2 exacts de leurs décimales approchées.
Choisissez module/argument, distance ou cercle/disque dans le laboratoire. Modifier les données actualise énoncé, formules et dessin. La prochaine étape utilisera ces outils pour la forme trigonométrique et l’interprétation des produits et quotients comme transformations.
Douze exercices : cherchez avant d’ouvrir la solution
1. Calculer |5−12i|.
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√(5²+(−12)²)=√169=13. Le signe négatif disparaît dans le carré, pas dans la position du point.
2. Comparer |−6| et |−6i|.
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Les deux valent 6 : √(36+0) et √(0+36). Même distance, directions différentes.
3. Calculer le module de 1/2+(1/3)i.
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|z|²=1/4+1/9=13/36. Donc |z|=√13/6≈0,600925. La racine n’est pas 1/2+1/3.
4. Distance entre −2+i et 1+5i ?
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Soustraire : z−w=−3−4i. Distance √(9+16)=5 ; inverser les points change le vecteur, pas sa longueur.
5. Trouver Arg(−1−i) et deux autres arguments.
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Troisième quadrant : Arg=−3π/4=−135°. Ajouter et retrancher 2π donne 5π/4 et −11π/4, de même direction.
6. Pourquoi Arg(−2)=π et non −π avec notre convention ?
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L’intervalle (−π,π] inclut π et exclut −π. −π reste un argument valable, mais pas le principal choisi.
7. Quels sont le module et l’argument de zéro ?
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Le module vaut 0. L’argument est indéfini : aucune direction vers un point distinct. On ne lui attribue pas 0°.
8. Convertir 150° en radians et −π/3 en degrés.
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150×π/180=5π/6 rad. (−π/3)×180/π=−60°. Les facteurs viennent de π rad=180°.
9. |z|=|w| implique-t-il z=w ?
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Non : z=1 et w=−1 ont module 1 mais distance 2. Même cercle, points différents.
10. z=2+i appartient-il à |z−(1+i)|=2 ? Au disque ≤2 ?
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La distance au centre est |1|=1. Pas sur le bord de rayon 2, mais dans le disque fermé.
11. Décrire les points d’argument π/4.
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Ce sont z=t+ti avec t>0 : une demi-droite sans origine. t<0 donne le sens opposé ; t=0 n’a pas d’argument.
12. Vérifier l’inégalité triangulaire pour z=3 et w=4i.
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|z+w|=5 et |z|+|w|=7, donc 5≤7. L’égalité n’est pas générale : le segment direct peut être plus court que le chemin brisé.
Index du parcours · Laboratoire : module, distance et argument