L’étape 1 a présenté z=a+bi et le point (a,b). Nous allons maintenant calculer. La nouvelle règle reste i²=−1 ; distributivité, parenthèses et fractions demandent la même attention qu’en algèbre. Pour chaque opération, nous posons la question, expliquons la formule et contrôlons la réponse.
Index du parcours · Laboratoire : opérations sur les complexes · Revoir l’étape 1
1. Avant de calculer : le sens des lettres
Écrivons z=a+bi et w=c+di avec a,b,c,d réels. a et c sont les parties réelles ; b et d les parties imaginaires, pas bi et di. La réponse doit revenir à A+Bi avec A et B réels. Les majuscules désignent simplement les coefficients du résultat, pas de nouveaux types de nombres.
Pour z=3+2i, a=3 et b=2 ; pour w=1−4i, c=1 et d=−4. Il faut conserver le signe de d. Chaque exemple du laboratoire possède un énoncé complet. Modifiez les quatre coefficients, y compris des fractions comme 1/2, et suivez les calculs exacts.
2. Addition : regrouper les parties correspondantes
Énoncé : calculer (3+2i)+(1−4i). Supprimons les parenthèses et regroupons : 3+1+2i−4i=(3+1)+(2−4)i=4−2i. On ne regroupe pas 3 et 2i comme des termes semblables : 3+2i est un seul nombre complexe, mais pas un seul terme réel.
(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i
La distributivité donne bi+di=(b+d)i. Dans le plan, on additionne les coordonnées : (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d). Le parallélogramme mène de (3,2) et (1,−4) à (4,−2). Vérification inverse : (4−2i)−(1−4i)=3+2i.
3. Soustraction : le moins change les deux signes
Énoncé : calculer (3+2i)−(1−4i). Le moins devant la seconde parenthèse affecte tous ses termes : 3+2i−1+4i=(3−1)+(2+4)i=2+6i. L’opposé de w=c+di est −w=−c−di.
(a+bi)−(c+di) = (a−c)+(b−d)i
Avec d=−4, la partie imaginaire vaut b−d=2−(−4)=6, pas 2−4. Géométriquement, on ajoute à z l’opposé de w. Vérification : (2+6i)+(1−4i)=3+2i. Addition et soustraction se contrôlent mutuellement.
4. Multiplication : quatre produits, puis i²=−1
Énoncé : calculer (2+3i)(4−i). Distribuons chaque terme de la première parenthèse sur chaque terme de la seconde :
(2+3i)(4−i)=2×4+2×(−i)+3i×4+3i×(−i)
=8−2i+12i−3i²
=8−2i+12i+3
=11+10i.
Le dernier terme vaut +3 car −3i²=−3×(−1)=3. En général :
(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi²
= (ac−bd)+(ad+bc)i
Multiplier seulement a par c et b par d fait perdre les deux termes croisés. Ainsi (1+i)²=1+2i+i²=2i, pas 1−1=0. Le carré d’une somme contient le double produit.
| × | 4 | −i |
|---|---|---|
| 2 | 8 | −2i |
| 3i | 12i | −3i²=3 |
5. Le conjugué n’est pas l’opposé
Le conjugué de z=a+bi, noté z̄, change seulement le signe de la partie imaginaire. L’opposé −z change les deux signes.
z̄ = a−bi; −z = −a−bi
Énoncé : trouver conjugué et opposé de 3−4i. Conjugué : 3+4i ; opposé : −3+4i. Le conjugué est le symétrique par rapport à l’axe réel ; l’opposé, par rapport à l’origine. Conjuguer deux fois redonne z. De plus, z+z̄=2a et z−z̄=2bi.
L’identité essentielle pour la division est :
(a+bi)(a−bi)=a²−abi+abi−b²i²=a²+b²
Ce résultat est réel et positif ou nul ; il est nul seulement si a=b=0. Pour 3−4i, (3−4i)(3+4i)=9+16=25. Cela ne signifie pas z²=a²+b² : les facteurs sont conjugués, pas identiques.
6. Division : pourquoi utiliser le conjugué
Énoncé : calculer (3+2i)/(1−2i). On peut diviser par tout complexe non nul, même imaginaire pur. Seul zéro est interdit. Multiplions numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur, 1+2i. La fraction garde sa valeur car (1+2i)/(1+2i)=1.
Numérateur : (3+2i)(1+2i)=3+6i+2i+4i²=−1+8i.
Dénominateur : (1−2i)(1+2i)=1+4=5.
Quotient : (−1+8i)/5=−1/5+(8/5)i.
(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)+(bc−ad)i]/(c²+d²)
= (ac+bd)/(c²+d²) + [(bc−ad)/(c²+d²)]i
c+di ≠ 0
Les signes +bd et −ad viennent du produit par c−di ; ce n’est pas une exception arbitraire. c²+d² est positif car c et d ne sont pas tous deux nuls. Vérification : [−1/5+(8/5)i](1−2i)=3+2i. Multiplier le quotient par le diviseur doit redonner le dividende.
7. Le cas 1/i et l’inverse d’un complexe
Énoncé : calculer 1/i. Le conjugué de i est −i, donc 1/i=(−i)/(i×(−i))=(−i)/1=−i. Vérification immédiate : (−i)i=−i²=1. Diviser par i est permis et ne revient pas à multiplier par i.
1/i = −i
1/(a+bi) = (a−bi)/(a²+b²), avec a+bi≠0
Par exemple, 1/(2+i)=(2−i)/5=2/5−(1/5)i. En revanche 1/0 n’est pas défini : aucun nombre multiplié par zéro ne donne 1. 0/0 est aussi indéfini, car il ne désigne pas un quotient unique.
8. Puissances de i : un cycle de quatre valeurs
Partons de i⁰=1 car i est non nul. En multipliant par i : i¹=i ; i²=−1 ; i³=i²i=−i ; i⁴=i²i²=1. Le cycle recommence. Pour un entier n≥0, écrivons n=4q+r avec r=0,1,2,3 :
i^n = (i^4)^q · i^r = i^r
r=0 → 1; r=1 → i; r=2 → −1; r=3 → −i
Énoncé : calculer i²⁰²⁶. La division donne 2026=4×506+2, donc i²⁰²⁶=i²=−1. Inutile d’effectuer 2026 multiplications. Pour i⁴⁰⁰¹, le reste vaut 1 et le résultat vaut i.
9. Exposants négatifs : le même cycle, avec précaution
Un exposant négatif indique un inverse : i⁻¹=1/i=−i et i⁻²=1/i²=−1. La règle du reste reste valable pour tout entier n si le reste est positif ou nul : n=4q+r avec 0≤r<4.
Énoncé : calculer i⁻⁵. Écrivons −5=4×(−2)+3. Alors i⁻⁵=(i⁴)⁻²i³=1×(−i)=−i. Vérification : i⁵=i, donc i⁻⁵=1/i=−i.
Dans certains langages, % renvoie un reste négatif pour un dividende négatif : il faut vérifier la convention. Le laboratoire affiche q et r et contrôle n=4q+r avec r entre 0 et 3. Ne confondez pas i⁻²=−1 et −i²=1 : dans le second cas, le moins est extérieur à la puissance.
10. Une méthode réutilisable
- Identifiez l’opération et conservez les signes.
- Écrivez la formule avant de remplacer les lettres.
- Distribuez tous les produits ou changez tous les signes nécessaires.
- Remplacez i² par −1 et regroupez parties réelles et imaginaires.
- Réduisez les fractions ; les décimaux servent aux approximations.
- Contrôlez par l’opération inverse quand c’est possible.
Le laboratoire utilise des fractions exactes pour résultats et étapes ; seul le dessin emploie des coordonnées décimales approchées. Somme et différence ont un parallélogramme de contrôle ; le conjugué, une réflexion. Pour produit et quotient, le graphique compare les points : l’interprétation géométrique complète viendra à l’étape 4. La prochaine étape introduira module, distance et argument.
Douze exercices : cherchez avant d’ouvrir la solution
1. Calculez (2−3i)+(−5+7i).
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Additionner les parties correspondantes : (2−5)+(−3+7)i=−3+4i. La partie imaginaire du résultat vaut 4.
2. Calculez (1+2i)−(−3−4i).
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Changer les deux signes de la seconde parenthèse : 1+2i+3+4i=4+6i. Vérification : (4+6i)+(−3−4i)=1+2i.
3. Calculez (2+i)(3−2i).
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Distribuer : 6−4i+3i−2i²=6−i+2=8−i. Le terme −2i² donne +2.
4. Est-il vrai que (1+i)²=0 ?
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Non : (1+i)²=1+2i+i²=2i. L’erreur consiste à oublier le double produit 2i.
5. Trouvez le conjugué et l’opposé de −2+5i.
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Conjugué : −2−5i, en changeant seulement le signe imaginaire. Opposé : 2−5i, en changeant les deux signes.
6. Calculez (−2+5i)(−2−5i).
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Ce sont des conjugués : le produit vaut (−2)²+5²=4+25=29. Ce n’est pas le carré du premier facteur.
7. Calculez (2+i)/(1−i).
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Multiplier en haut et en bas par 1+i. Numérateur : (2+i)(1+i)=2+3i+i²=1+3i. Dénominateur : 1+1=2. Résultat : 1/2+(3/2)i.
8. Calculez 1/i et vérifiez.
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1/i=−i. Vérification : (−i)i=−i²=1. Le diviseur i étant non nul, la division est permise.
9. Calculez (3+2i)/0 et 0/0.
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Les deux sont indéfinis. Aucun quotient multiplié par zéro ne donne 3+2i ; pour 0/0, tout nombre donnerait zéro, donc le quotient n’est pas unique. On n’attribue ni zéro ni l’infini.
10. Calculez i^2026 et i^4001.
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2026=4×506+2, donc i^2026=i²=−1. 4001=4×1000+1, donc i^4001=i. Utiliser le reste de la division par 4.
11. Calculez i^(-5) sans reste négatif.
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−5=4×(−2)+3. Donc i^(-5)=(i⁴)^(-2)i³=−i. Autre contrôle : i⁵=i, donc son inverse est 1/i=−i.
12. Calculez [1/2+(1/3)i]/(1−i).
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Multiplier par 1+i. Partie réelle du numérateur : 1/2−1/3=1/6 ; partie imaginaire : 1/2+1/3=5/6. Le dénominateur vaut 2. Résultat : 1/12+(5/12)i. Le produit par 1−i redonne 1/2+(1/3)i.
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