Résoudre x²+1=0 dans les réels ne donne aucune solution. L’équation n’est pas fausse : notre ensemble de nombres est trop petit. Cette première étape construit le langage progressivement : le problème, puis i, puis a+bi et son point dans le plan. Ni trigonométrie ni analyse ne sont nécessaires.
Index du parcours sur les complexes · Laboratoire : premiers pas avec les complexes
1. Quand un ensemble de nombres ne suffit plus
L’équation x+3=1 n’a pas de solution naturelle, mais admet x=−2 dans les entiers. L’équation 2x=1 exige le rationnel x=1/2. L’équation x²=2 exige des réels irrationnels. Chaque extension conserve les nombres précédents et répond à de nouvelles questions.
Demandons maintenant x²=−1. Aucun réel ne convient : le carré d’un réel positif, négatif ou nul est toujours positif ou nul. En particulier, (−1)²=1, pas −1. Il faut donc agrandir encore notre système.
2. L’unité imaginaire : la règle i²=−1
Introduisons un nouveau nombre appelé unité imaginaire, noté i. Sa règle fondamentale est :
i² = −1
i n’est pas un nombre réel : c’est l’unité imaginaire. Son opposé −i a lui aussi pour carré −1 : (−i)²=(−1)²i²=1·(−1)=−1. L’équation x²+1=0 possède donc deux solutions complexes :
x = i ou x = −i
Vérifions chacune : i²+1=−1+1=0 ; (−i)²+1=−1+1=0. Écrire √(−1)=i choisit par convention la racine principale ; cela ne supprime pas la deuxième solution de l’équation.
3. La forme a+bi : deux composantes réelles, un nombre complexe
Un nombre complexe s’écrit z=a+bi, avec a et b réels. z désigne le nombre entier, pas une seule composante. L’ensemble des complexes est noté ℂ.
z = a+bi; a,b ∈ ℝ
Re(z) = a; Im(z) = b
Pour z=3+2i, la partie réelle vaut 3 et la partie imaginaire vaut 2, pas 2i. Le terme imaginaire est 2i. Pour z=−4−5i, écrivons −4+(−5)i : partie réelle −4, partie imaginaire −5. Les deux parties sont réelles, même lorsque z ne l’est pas.
4. Les réels restent présents : cas particuliers
Si b=0, z=a+0i=a est réel : tout réel est aussi complexe. Si a=0 et b≠0, z=bi est imaginaire pur. Si a=b=0, z=0 est l’origine, avec deux parties nulles. Ici, « imaginaire pur » désigne le cas non nul.
- 5=5+0i : réel.
- −3i=0−3i : imaginaire pur.
- i=0+1i et −i=0−1i.
- 2−i=2+(−1)i : ni réel ni imaginaire pur.
On a ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ. Écrire un nombre dans un système plus grand ne le change pas : 5 et 5+0i sont le même nombre.
5. De la droite réelle au plan complexe
On représente a+bi par le point (a,b). L’axe horizontal indique a, la partie réelle ; l’axe vertical indique b, la partie imaginaire. Ce sont deux coordonnées réelles du même point, pas des « mètres imaginaires ». Cette représentation est le plan complexe, ou plan d’Argand–Gauss.
Pour 3+2i : partir de (0,0), avancer de 3 unités à droite puis 2 vers le haut, et arriver en (3,2). Pour −2+3i : 2 à gauche puis 3 en haut. Pour 3−4i : 3 à droite puis 4 en bas. Les réels sont sur l’axe horizontal ; les imaginaires purs non nuls sont sur l’axe vertical.
a+bi ↔ (a,b)
Dans le laboratoire, touchez le plan, déplacez le point, modifiez a et b ou construisez le déplacement pas à pas. Les coordonnées restent liées à l’écriture algébrique.
Laboratoire : premiers pas avec les complexes
6. Quand deux complexes sont égaux
Deux points coïncident si leurs deux coordonnées sont égales. Pour a,b,c,d réels :
a+bi = c+di ⇔ a=c et b=d
Si 2+ki=2−3i, les parties imaginaires donnent k=−3. Si x+4i=7+yi, on doit avoir à la fois x=7 et y=4. En revanche, 2+3i et 3+2i diffèrent : échanger les coordonnées change le point.
L’égalité diffère d’un ordre comme « plus grand ». Il n’existe pas sur ℂ d’ordre total compatible avec addition et multiplication comme sur ℝ : dans un corps ordonné tout carré est positif ou nul, mais i²=−1. On peut comparer des coordonnées ou des distances en précisant le critère.
7. Un exemple complet : x²+9=0
Nous cherchons toutes les solutions, pas une racine choisie. De x²+9=0 vient x²=−9. Comme (3i)²=3²i²=9×(−1)=−9, x=3i convient. De même, (−3i)²=(−3)²i²=−9 : x=−3i convient aussi.
x²+9=0 ⇒ x=3i ou x=−3i
Il n’y en a pas d’autres : x²+9=(x−3i)(x+3i), donc le produit nul impose x−3i=0 ou x+3i=0. Les points (0,3) et (0,−3) sont sur l’axe imaginaire. En revanche, √(−9)=3i désigne seulement la racine principale.
Comparez dans le laboratoire x²+c=0 pour c=−9, c=0 et c=9 : deux solutions réelles, la seule solution zéro, puis deux solutions imaginaires pures. Cela montre précisément l’apport des complexes.
Laboratoire : premiers pas avec les complexes
8. Pourquoi ce n’est pas une simple astuce de notation
On peut construire les complexes comme des couples de réels : a+bi correspond à (a,b), i à (0,1), et tout réel a à (a,0). Définissons :
(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)
(a,b)·(c,d) = (ac−bd,ad+bc)
Alors (0,1)·(0,1)=(−1,0), donc i²=−1. Sur les couples (a,0), on retrouve exactement l’arithmétique réelle. Cette construction explicite vérifie les propriétés usuelles d’un corps ; aucun carré réel n’est devenu négatif. La prochaine étape expliquera ces opérations une à une.
« Imaginaire » est un nom historique, pas un jugement d’utilité. Une extension mathématique exige des règles cohérentes : on ne peut pas attribuer arbitrairement toute propriété souhaitée à un symbole.
9. Erreurs à éviter dès le début
- i²=−1 ne signifie pas i=−1 : (−1)² vaut 1.
- Im(2−3i)=−3, pas −3i.
- 5 est complexe car 5=5+0i.
- Les solutions de x²+4=0 sont ±2i, pas seulement 2i.
- N’appliquez pas sans précaution √u√v=√(uv) aux racines principales complexes : pour u=v=−1, le membre gauche vaut i·i=−1, alors que √1=1.
- Une partie imaginaire nulle indique un réel, pas forcément le nombre zéro.
L’avertissement sur les radicaux est important : les formules réelles ont des hypothèses. Changer d’ensemble numérique ne les supprime pas.
Douze exercices avec solutions masquées
1. Pourquoi x²+1=0 n’a-t-elle pas de solution réelle ?
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Pour tout réel x, x²≥0, donc x²+1≥1>0 : le membre gauche ne peut être nul. Dans ℂ, i et −i conviennent car leur carré vaut −1.
2. Trouvez Re(z) et Im(z) pour z=−7+4i.
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Re(z)=−7 ; Im(z)=4. Le terme imaginaire est 4i, mais la partie imaginaire est le coefficient réel 4.
3. Quelle est la partie imaginaire de 2−i ?
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Écrivons 2+(−1)i : la partie imaginaire est −1, pas −i. La partie réelle vaut 2.
4. Le nombre 6 appartient-il à ℂ ? Où le placer ?
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Oui : 6=6+0i. Le point (6,0) est sur l’axe réel. Être réel n’empêche pas d’être complexe.
5. Représentez −3−2i en indiquant les deux déplacements.
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Partir de l’origine, aller 3 unités à gauche puis 2 vers le bas : on atteint (−3,−2). Les deux coordonnées sont négatives.
6. Quel complexe est représenté par (−2,5) ?
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La première coordonnée est la partie réelle et la seconde la partie imaginaire : z=−2+5i, pas 5−2i, qui serait (5,−2).
7. Trouvez toutes les solutions de x²+16=0 et vérifiez-en une.
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x=4i ou x=−4i. Vérification : (4i)²+16=16i²+16=−16+16=0. En revanche, √(−16)=4i désigne seulement la racine principale.
8. Si x+yi=−5+3i, que valent les réels x et y ?
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On identifie séparément les coordonnées : x=−5 et y=3. Les deux conditions sont nécessaires.
9. Un complexe a une partie imaginaire nulle. Est-il forcément nul ?
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Non. C’est un réel, par exemple 8+0i=8. Pour obtenir zéro, les parties réelle et imaginaire doivent être toutes deux nulles.
10. 2+3i et 3+2i sont-ils le même nombre ?
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Non : ils représentent (2,3) et (3,2). L’égalité exigerait 2=3 pour les parties réelles et 3=2 pour les parties imaginaires.
11. Pourquoi ne peut-on remplacer √(−1)√(−1) par √1 ?
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Avec les racines principales, le produit gauche vaut i·i=−1, tandis que √1=1. La règle réelle √u√v=√(uv), valable pour u,v≥0, ne s’étend pas sans conditions à ℂ.
12. Comparez −i² et (−i)² : les parenthèses changent-elles quelque chose ?
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Oui. −i²=−(i²)=−(−1)=1, tandis que (−i)²=(−1)²i²=−1. Dans le premier cas l’opposé vient après le carré ; dans le second, le signe moins fait partie de la base.
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