Intentar resolver x²+1=0 en los reales no produce soluciones. La ecuación no es incorrecta: el sistema numérico elegido es demasiado pequeño. Esta primera etapa construye el lenguaje despacio: el problema, después i y finalmente a+bi y su punto en el plano. No hace falta trigonometría ni cálculo.
Índice del recorrido de números complejos · Laboratorio: primeros pasos con complejos
1. Cuando un sistema numérico no basta
La ecuación x+3=1 no tiene solución natural, pero en los enteros funciona x=−2. La ecuación 2x=1 requiere el racional x=1/2. La ecuación x²=2 requiere reales irracionales. Cada ampliación conserva los números anteriores y responde a preguntas nuevas.
Ahora pedimos x²=−1. Ningún real funciona: el cuadrado de un real positivo, negativo o nulo es no negativo. En particular, (−1)²=1, no −1. Para responder ampliamos otra vez el sistema.
2. La unidad imaginaria: la regla i²=−1
Introducimos un número nuevo llamado unidad imaginaria, denotado i. Su regla fundamental es:
i² = −1
i no es un número real: es la unidad imaginaria. Su opuesto −i también tiene cuadrado −1: (−i)²=(−1)²i²=1·(−1)=−1. Por tanto, x²+1=0 tiene dos soluciones complejas:
x = i o x = −i
Comprobamos ambas: i²+1=−1+1=0; (−i)²+1=−1+1=0. Escribir √(−1)=i selecciona por convenio la raíz principal; no elimina la segunda solución de la ecuación.
3. La forma a+bi: dos componentes reales, un número complejo
Un complejo se escribe z=a+bi, con a y b reales. z representa el número completo, no solo una componente. El conjunto de los complejos se denota ℂ.
z = a+bi; a,b ∈ ℝ
Re(z) = a; Im(z) = b
Para z=3+2i, la parte real es 3 y la imaginaria es 2, no 2i. El término imaginario es 2i. Reescribimos z=−4−5i como −4+(−5)i: parte real −4, parte imaginaria −5. Ambas partes son reales, aunque z no lo sea.
4. Los reales no desaparecen: casos particulares
Si b=0, z=a+0i=a es real: todo real es también complejo. Si a=0 y b≠0, z=bi es imaginario puro. Si a=b=0, z=0 es el origen y ambas partes son nulas. Aquí reservamos «imaginario puro» para el caso no nulo.
- 5=5+0i: real.
- −3i=0−3i: imaginario puro.
- i=0+1i y −i=0−1i.
- 2−i=2+(−1)i: ni real ni imaginario puro.
Tenemos ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ. Escribir un número en un sistema mayor no lo cambia: 5 y 5+0i son el mismo número.
5. De la recta al plano complejo
Representamos a+bi mediante el punto (a,b). El eje horizontal indica a, la parte real; el vertical indica b, la parte imaginaria. Son dos coordenadas reales del mismo punto, no «metros imaginarios». Esta representación es el plano complejo, o de Argand–Gauss.
Para 3+2i: partimos de (0,0), avanzamos 3 unidades a la derecha y 2 hacia arriba, y llegamos a (3,2). Para −2+3i: 2 a la izquierda y 3 arriba. Para 3−4i: 3 a la derecha y 4 abajo. Los reales están en el eje horizontal; los imaginarios puros no nulos están en el vertical.
a+bi ↔ (a,b)
En el laboratorio puedes tocar el plano, arrastrar el punto, editar a y b o construir el desplazamiento paso a paso. Las coordenadas siguen conectadas con la forma algebraica.
Laboratorio: primeros pasos con complejos
6. Cuándo son iguales dos complejos
Dos puntos coinciden solo si coinciden sus dos coordenadas. Para a,b,c,d reales:
a+bi = c+di ⇔ a=c y b=d
Si 2+ki=2−3i, las partes imaginarias dan k=−3. Si x+4i=7+yi, deben cumplirse x=7 e y=4 a la vez. En cambio, 2+3i y 3+2i no son iguales: intercambiar coordenadas cambia el punto.
La igualdad no es lo mismo que un orden como «mayor». No existe en ℂ un orden total compatible con suma y producto como en ℝ: en un cuerpo ordenado todo cuadrado es no negativo, pero i²=−1. Podemos comparar coordenadas o distancias si indicamos el criterio.
7. Un ejemplo completo: x²+9=0
Buscamos todas las soluciones, no una raíz elegida. De x²+9=0 obtenemos x²=−9. Como (3i)²=3²i²=9×(−1)=−9, funciona x=3i. También (−3i)²=(−3)²i²=−9, así que funciona x=−3i.
x²+9=0 ⇒ x=3i o x=−3i
No hay más: x²+9=(x−3i)(x+3i), de modo que el producto nulo exige x−3i=0 o x+3i=0. Los puntos (0,3) y (0,−3) están en el eje imaginario. En cambio, √(−9)=3i designa solo la raíz principal.
Compara en el laboratorio x²+c=0 para c=−9, c=0 y c=9: dos soluciones reales, solo cero y dos soluciones imaginarias puras, respectivamente. Así se ve exactamente qué aportan los complejos.
Laboratorio: primeros pasos con complejos
8. Por qué no es solo un truco de símbolos
Podemos construir los complejos como parejas de reales: a+bi corresponde a (a,b), i a (0,1) y cada real a a (a,0). Definimos:
(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)
(a,b)·(c,d) = (ac−bd,ad+bc)
Entonces (0,1)·(0,1)=(−1,0), es decir, i²=−1. En las parejas (a,0) recuperamos exactamente la aritmética real. Esta construcción explícita cumple las propiedades usuales de un cuerpo; no convierte en negativo ningún cuadrado real. La siguiente etapa explicará y utilizará estas operaciones una por una.
«Imaginario» es un nombre histórico, no un juicio de utilidad. Una ampliación matemática necesita reglas coherentes: no basta atribuir a un símbolo cualquier propiedad deseada.
9. Errores que evitar desde el principio
- i²=−1 no significa i=−1: (−1)² vale 1.
- Im(2−3i)=−3, no −3i.
- 5 es complejo porque 5=5+0i.
- Las soluciones de x²+4=0 son ±2i, no solo 2i.
- No apliques sin cuidado √u√v=√(uv) a raíces principales complejas: para u=v=−1, el lado izquierdo vale i·i=−1, mientras √1=1.
- Parte imaginaria nula significa número real, no necesariamente el número cero.
La advertencia sobre radicales importa: las fórmulas reales tienen hipótesis. Cambiar de sistema numérico no las elimina.
Doce ejercicios con soluciones ocultas
1. ¿Por qué x²+1=0 no tiene soluciones reales?
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Todo real x cumple x²≥0, así que x²+1≥1>0. El lado izquierdo no puede ser cero. En ℂ funcionan i y −i, porque ambos tienen cuadrado −1.
2. Halla Re(z) e Im(z) para z=−7+4i.
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Re(z)=−7; Im(z)=4. El término imaginario es 4i, pero la parte imaginaria es el coeficiente real 4.
3. ¿Cuál es la parte imaginaria de 2−i?
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Escribimos 2+(−1)i: la parte imaginaria es −1, no −i. La parte real es 2.
4. ¿El número 6 pertenece a ℂ? ¿Dónde lo dibujas?
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Sí: 6=6+0i. El punto (6,0) está en el eje real. Ser real no impide ser complejo.
5. Representa −3−2i indicando los dos desplazamientos.
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Partimos del origen, avanzamos 3 unidades a la izquierda y 2 hacia abajo: llegamos a (−3,−2). Ambas coordenadas son negativas.
6. ¿Qué complejo representa el punto (−2,5)?
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La primera coordenada es la parte real y la segunda la imaginaria: z=−2+5i, no 5−2i, cuyas coordenadas serían (5,−2).
7. Halla todas las soluciones de x²+16=0 y verifica una.
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x=4i o x=−4i. Comprobación: (4i)²+16=16i²+16=−16+16=0. En cambio, √(−16)=4i designa solo la raíz principal.
8. Si x+yi=−5+3i, ¿cuánto valen los reales x e y?
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Igualamos las coordenadas por separado: x=−5 e y=3. Deben cumplirse ambas condiciones.
9. Un complejo tiene parte imaginaria cero. ¿Debe ser cero?
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No. Es real, por ejemplo 8+0i=8. Para ser cero deben anularse ambas partes.
10. ¿2+3i y 3+2i son el mismo número?
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No: representan (2,3) y (3,2). La igualdad exigiría 2=3 para las partes reales y 3=2 para las imaginarias.
11. ¿Por qué no se puede sustituir √(−1)√(−1) por √1?
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Con raíces principales, el producto izquierdo es i·i=−1, mientras √1=1. La regla real √u√v=√(uv), válida para u,v≥0, no se extiende sin condiciones a ℂ.
12. Compara −i² y (−i)²: ¿importan los paréntesis?
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Sí. −i²=−(i²)=−(−1)=1, mientras (−i)²=(−1)²i²=−1. En el primero se toma el opuesto después del cuadrado; en el segundo el signo menos forma parte de la base.
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