Se proviamo a risolvere x²+1=0 nei numeri reali, non troviamo soluzioni. Questo non rende sbagliata l’equazione: indica un limite dell’insieme numerico in cui stiamo lavorando. La prima tappa del percorso costruisce il nuovo linguaggio con calma: prima il problema, poi i, infine il numero a+bi e il suo punto nel piano. Non serve conoscere trigonometria o analisi.
Indice del percorso sui numeri complessi · Laboratorio: primi passi nei numeri complessi
1. Quando un insieme di numeri non basta
L’equazione x+3=1 non ha soluzione nei naturali, ma negli interi ha x=−2. L’equazione 2x=1 richiede x=1/2, quindi i razionali. L’equazione x²=2 richiede numeri reali non razionali. Ogni ampliamento conserva i numeri precedenti e permette di risolvere nuove domande.
Ora chiediamo x²=−1. Nessun reale funziona: il quadrato di un reale positivo, negativo o nullo è sempre maggiore o uguale a zero. In particolare, (−1)²=1, non −1. Per rispondere dobbiamo ampliare ancora il sistema numerico.
2. L’unità immaginaria: la regola i²=−1
Introduciamo un nuovo numero, chiamato unità immaginaria e indicato con i, la cui proprietà fondamentale è:
i² = −1
i non è un numero reale: è l’unità immaginaria. Anche il suo opposto −i ha quadrato −1: (−i)²=(−1)²i²=1·(−1)=−1. Pertanto l’equazione x²+1=0 ha due soluzioni complesse:
x = i oppure x = −i
Verifica separata: i²+1=−1+1=0; (−i)²+1=−1+1=0. La scrittura √(−1)=i indica la radice principale, una scelta convenzionale; non elimina la seconda soluzione dell’equazione.
3. La forma a+bi: due numeri reali, un solo numero complesso
Un numero complesso si scrive z=a+bi, dove a e b sono reali. Il simbolo z rappresenta l’intero numero, non soltanto una sua componente. L’insieme dei complessi si indica con ℂ.
z = a+bi; a,b ∈ ℝ
Re(z) = a; Im(z) = b
Per z=3+2i, la parte reale è 3 e la parte immaginaria è 2, non 2i. Il termine immaginario è 2i. Per z=−4−5i riscriviamo −4+(−5)i: la parte reale è −4 e quella immaginaria è −5. Entrambe le parti sono numeri reali, anche quando z non lo è.
4. I reali non scompaiono: casi particolari
Se b=0, z=a+0i=a è reale: ogni reale è anche un complesso. Se a=0 e b≠0, z=bi è un immaginario puro. Se a=b=0, z=0 è l’origine: ha entrambe le parti nulle. Qui riserviamo «immaginario puro» al caso non nullo.
- 5=5+0i: reale.
- −3i=0−3i: immaginario puro.
- i=0+1i e −i=0−1i.
- 2−i=2+(−1)i: né reale né immaginario puro.
Abbiamo ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ. Un numero non diventa diverso quando lo scriviamo in un insieme più ampio: 5 e 5+0i sono lo stesso numero.
5. Dalla retta al piano complesso
Per rappresentare a+bi usiamo il punto di coordinate (a,b). Sull’asse orizzontale leggiamo a, la parte reale; sull’asse verticale leggiamo b, la parte immaginaria. Non stiamo misurando «numeri immaginari di metri»: sono due coordinate reali del medesimo punto. Questa rappresentazione si chiama piano complesso, o piano di Argand–Gauss.
Per 3+2i: parto da (0,0), vado 3 unità a destra e 2 in alto; arrivo a (3,2). Per −2+3i: 2 a sinistra e 3 in alto. Per 3−4i: 3 a destra e 4 in basso. I reali stanno sull’asse orizzontale; gli immaginari puri sull’asse verticale, esclusa l’origine secondo la convenzione scelta.
a+bi ↔ (a,b)
Nel laboratorio puoi toccare il piano o trascinare il punto, modificare a e b oppure costruire lo spostamento un passaggio alla volta. Le due coordinate e la scrittura algebrica rimangono collegate.
Laboratorio: primi passi nei numeri complessi
6. Quando due complessi sono uguali
Due punti del piano coincidono soltanto quando coincidono entrambe le coordinate. Perciò, con a,b,c,d reali:
a+bi = c+di ⇔ a=c e b=d
Se 2+ki=2−3i, uguagliamo le parti immaginarie: k=−3. Se x+4i=7+yi, devono valere contemporaneamente x=7 e y=4. Invece 2+3i e 3+2i non sono uguali: scambiare le coordinate cambia il punto.
L’uguaglianza è una cosa; un ordine come «maggiore» è un’altra. Non esiste un ordine totale sui complessi compatibile con somma e prodotto come quello dei reali: in un campo ordinato ogni quadrato è non negativo, mentre i²=−1. Si possono confrontare coordinate o distanze, ma va dichiarato quale criterio si sta usando.
7. Un esempio completo: x²+9=0
Vogliamo tutte le soluzioni, non solo una radice scelta. Partiamo da x²+9=0, dunque x²=−9. Poiché (3i)²=3²i²=9×(−1)=−9, funziona x=3i. Anche (−3i)²=(−3)²i²=−9, quindi funziona x=−3i.
x²+9=0 ⇒ x=3i oppure x=−3i
Non ci sono altre soluzioni: x²+9=(x−3i)(x+3i), quindi un prodotto nullo richiede x−3i=0 oppure x+3i=0. I due punti sono (0,3) e (0,−3), sull’asse immaginario. Invece √(−9)=3i denota soltanto la radice principale.
Nel laboratorio confronta x²+c=0 per c=−9, c=0 e c=9. Troverai rispettivamente due soluzioni reali, la sola soluzione zero, due soluzioni immaginarie pure. Questo confronto mostra esattamente che cosa aggiungono i complessi.
Laboratorio: primi passi nei numeri complessi
8. Perché non è soltanto un trucco di simboli
Possiamo costruire i complessi come coppie di reali. Identifichiamo a+bi con (a,b), i con (0,1) e ogni reale a con (a,0). Definiamo:
(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)
(a,b)·(c,d) = (ac−bd,ad+bc)
Con queste regole (0,1)·(0,1)=(−1,0): cioè i²=−1. Sulle coppie (a,0) ritroviamo esattamente le operazioni dei reali. È una costruzione esplicita che soddisfa le usuali proprietà di campo; non abbiamo reso negativo il quadrato di un numero reale. Nella prossima tappa useremo e spiegheremo queste operazioni una alla volta.
«Immaginario» è un nome storico, non un giudizio sull’utilità. Un ampliamento matematico deve avere regole coerenti: non basta attribuire a un simbolo qualsiasi proprietà desiderata.
9. Errori da evitare fin dall’inizio
- Da i²=−1 non segue i=−1: (−1)² vale 1.
- Im(2−3i)=−3, non −3i.
- 5 è complesso, perché 5=5+0i.
- Le soluzioni di x²+4=0 sono ±2i, non soltanto 2i.
- Non estendere indiscriminatamente √u√v=√(uv) alle radici principali complesse: con u=v=−1 il primo membro vale i·i=−1, mentre √1=1.
- «Parte immaginaria nulla» significa numero reale; non significa necessariamente numero zero.
La regola sui radicali è particolarmente importante: le formule reali hanno ipotesi. Cambiare insieme numerico non autorizza a ignorarle.
Dodici esercizi con soluzione nascosta
1. Perché x²+1=0 non ha soluzioni reali?
Mostra la soluzione
Per ogni reale x vale x²≥0, quindi x²+1≥1>0. Il membro sinistro non può essere zero. Nei complessi funzionano i e −i, perché entrambi hanno quadrato −1.
2. Trova Re(z) e Im(z) per z=−7+4i.
Mostra la soluzione
Re(z)=−7; Im(z)=4. Il termine immaginario è 4i, ma la parte immaginaria è il coefficiente reale 4.
3. Qual è la parte immaginaria di 2−i?
Mostra la soluzione
Scriviamo 2+(−1)i: la parte immaginaria è −1, non −i. La parte reale è 2.
4. Il numero 6 appartiene a ℂ? Dove lo disegni?
Mostra la soluzione
Sì: 6=6+0i. Il punto è (6,0), sull’asse reale. Essere reale non impedisce di essere complesso.
5. Rappresenta −3−2i indicando i due spostamenti.
Mostra la soluzione
Parto dall’origine, vado 3 unità a sinistra e 2 in basso: arrivo a (−3,−2). Sono negative entrambe le coordinate.
6. Quale complesso rappresenta il punto (−2,5)?
Mostra la soluzione
La prima coordinata è la parte reale e la seconda la parte immaginaria: z=−2+5i. Non 5−2i, che avrebbe coordinate (5,−2).
7. Trova tutte le soluzioni di x²+16=0 e verificane una.
Mostra la soluzione
x=4i oppure x=−4i. Verifica: (4i)²+16=16i²+16=−16+16=0. Il simbolo √(−16)=4i indica invece la sola radice principale.
8. Se x+yi=−5+3i, quanto valgono i reali x e y?
Mostra la soluzione
Uguagliamo separatamente le coordinate: x=−5 e y=3. Occorre soddisfare entrambe le condizioni.
9. Un complesso ha parte immaginaria zero. Deve essere zero?
Mostra la soluzione
No. È un reale, per esempio 8+0i=8. Il numero zero richiede che siano nulle sia la parte reale sia quella immaginaria.
10. 2+3i e 3+2i sono lo stesso numero?
Mostra la soluzione
No: rappresentano (2,3) e (3,2). Un’uguaglianza richiederebbe 2=3 per le parti reali e 3=2 per quelle immaginarie.
11. Perché √(−1)√(−1) non si può sostituire con √1?
Mostra la soluzione
Con le radici principali il prodotto a sinistra è i·i=−1, mentre √1=1. La regola reale √u√v=√(uv), valida per u,v≥0, non si estende senza condizioni ai complessi.
12. Confronta −i² e (−i)²: le parentesi cambiano qualcosa?
Mostra la soluzione
Sì. −i²=−(i²)=−(−1)=1. Invece (−i)²=(−1)²i²=−1. Nel primo caso l’opposto si applica dopo il quadrato; nel secondo il segno meno è incluso nella base.
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