Numeri complessi, tappa 2: calcolare con a+bi

Nella prima tappa abbiamo imparato a leggere z=a+bi e il punto (a,b). Ora impariamo a calcolare. La regola nuova resta una sola, i²=−1; distribuzione dei prodotti, parentesi e frazioni si trattano con attenzione come in algebra. Per ogni operazione vedremo che cosa chiediamo, perché la formula funziona e come controllare il risultato.

Indice del percorso · Laboratorio: operazioni con i numeri complessi · Ripassa la tappa 1

1. Prima di calcolare: che cosa indicano le lettere

Scriviamo z=a+bi e w=c+di, con a,b,c,d reali. a e c sono le parti reali; b e d le parti immaginarie, non bi e di. Vogliamo sempre riportare il risultato nella forma A+Bi, dove A e B sono reali. Le lettere maiuscole non sono nuovi tipi di numeri: indicano soltanto i coefficienti del risultato.

Per esempio z=3+2i ha a=3, b=2; w=1−4i ha c=1, d=−4. Conservare il segno di d è essenziale. Nel laboratorio ogni esempio riporta l’enunciato completo; puoi modificare i quattro coefficienti, anche usando frazioni come 1/2, e leggere i passaggi con valori esatti.

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2. Sommare: reale con reale, immaginario con immaginario

Enunciato: calcola (3+2i)+(1−4i). Togliamo le parentesi e raggruppiamo termini dello stesso tipo: 3+1+2i−4i=(3+1)+(2−4)i=4−2i. Non sommiamo 3 e 2i come fossero termini simili: 3+2i è già un’unica quantità complessa, ma non un unico termine reale.

(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i

La formula deriva dalla proprietà distributiva: bi+di=(b+d)i. Nel piano, sommiamo le coordinate (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d): il parallelogramma porta da (3,2) e (1,−4) a (4,−2). Controllo inverso: (4−2i)−(1−4i)=3+2i.

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3. Sottrarre: il meno cambia entrambi i segni

Enunciato: calcola (3+2i)−(1−4i). Il segno meno davanti alla seconda parentesi riguarda tutti i suoi termini: 3+2i−1+4i=(3−1)+(2+4)i=2+6i. L’opposto di w=c+di è −w=−c−di.

(a+bi)−(c+di) = (a−c)+(b−d)i

Con d=−4, la parte immaginaria è b−d=2−(−4)=6, non 2−4. Geometricamente sommiamo a z il vettore opposto a w. Controllo: (2+6i)+(1−4i)=3+2i. Addizione e sottrazione si controllano l’una con l’altra.

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4. Moltiplicare: quattro prodotti e poi i²=−1

Enunciato: calcola (2+3i)(4−i). Distribuiamo ciascun termine della prima parentesi su ciascun termine della seconda:

(2+3i)(4−i)=2×4+2×(−i)+3i×4+3i×(−i)
=8−2i+12i−3i²
=8−2i+12i+3
=11+10i.

Il termine finale è +3 perché −3i²=−3×(−1)=3. In generale:

(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi²
= (ac−bd)+(ad+bc)i

Non basta moltiplicare separatamente a con c e b con d: si perderebbero i due prodotti incrociati. Per esempio (1+i)²=1+2i+i²=2i, non 1−1=0. Il quadrato della somma contiene il doppio prodotto.

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5. Il coniugato non è l’opposto

Il coniugato di z=a+bi si indica con z̄ e cambia soltanto il segno della parte immaginaria. L’opposto −z cambia invece entrambi i segni.

z̄ = a−bi; −z = −a−bi

Enunciato: trova coniugato e opposto di 3−4i. Coniugato: 3+4i; opposto: −3+4i. Nel piano, il coniugato è la riflessione rispetto all’asse reale; l’opposto è la simmetria rispetto all’origine. Coniugando due volte torniamo a z. Inoltre z+z̄=2a e z−z̄=2bi.

La proprietà decisiva per la divisione è:

(a+bi)(a−bi)=a²−abi+abi−b²i²=a²+b²

Il risultato è reale e non negativo; è zero soltanto quando a=b=0. Per 3−4i otteniamo (3−4i)(3+4i)=9+16=25. Non stiamo dicendo che z²=a²+b²: i due fattori qui sono coniugati, non uguali.

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6. Dividere: perché moltiplichiamo per il coniugato

Enunciato: calcola (3+2i)/(1−2i). Possiamo dividere per un complesso non nullo, anche se è immaginario puro. L’unico divisore vietato è zero. Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, cioè 1+2i: il valore della frazione non cambia perché moltiplichiamo per (1+2i)/(1+2i)=1.

Numeratore: (3+2i)(1+2i)=3+6i+2i+4i²=−1+8i.
Denominatore: (1−2i)(1+2i)=1+4=5.
Quoziente: (−1+8i)/5=−1/5+(8/5)i.

(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)+(bc−ad)i]/(c²+d²)
= (ac+bd)/(c²+d²) + [(bc−ad)/(c²+d²)]i
c+di ≠ 0

I segni +bd e −ad derivano dal prodotto con c−di, non sono un’eccezione da imparare a memoria. c²+d² è positivo perché c e d non sono entrambi zero. Controllo: [−1/5+(8/5)i](1−2i)=3+2i. La moltiplicazione per il divisore deve restituire il dividendo.

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7. Il caso 1/i e l’inverso di un complesso

Enunciato: calcola 1/i. Il coniugato di i è −i, dunque 1/i=(−i)/(i×(−i))=(−i)/1=−i. Controllo immediato: (−i)i=−i²=1. Dividere per i non è vietato e non significa moltiplicare per i.

1/i = −i
1/(a+bi) = (a−bi)/(a²+b²), con a+bi≠0

Per esempio 1/(2+i)=(2−i)/5=2/5−(1/5)i. Invece 1/0 non è definito: nessun numero moltiplicato per zero dà 1. Anche 0/0 è indefinito, perché non individua un quoziente unico.

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8. Le potenze di i: un ciclo di quattro risultati

Partiamo da i⁰=1, perché i è non nullo. Moltiplichiamo ogni volta per i: i¹=i; i²=−1; i³=i²i=−i; i⁴=i²i²=1. Da qui il ciclo ricomincia. Per un intero n≥0 scriviamo n=4q+r, con r=0,1,2,3:

i^n = (i^4)^q · i^r = i^r
r=0 → 1; r=1 → i; r=2 → −1; r=3 → −i

Enunciato: calcola i²⁰²⁶. Dividiamo 2026 per 4: 2026=4×506+2. Quindi i²⁰²⁶=i²=−1. Non occorre eseguire 2026 moltiplicazioni. Per i⁴⁰⁰¹, il resto è 1 e il risultato è i.

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9. Esponenti negativi: lo stesso ciclo, con attenzione al resto

Un esponente negativo indica un reciproco: i⁻¹=1/i=−i e i⁻²=1/i²=−1. La regola del resto continua a valere per ogni intero n se scegliamo il resto non negativo: n=4q+r con 0≤r<4.

Enunciato: calcola i⁻⁵. Scriviamo −5=4×(−2)+3. Allora i⁻⁵=(i⁴)⁻²i³=1×(−i)=−i. Controllo: i⁵=i, quindi i⁻⁵=1/i=−i.

Il simbolo % di alcuni linguaggi di programmazione restituisce un resto negativo per un dividendo negativo: non va copiato senza verificare la convenzione. Il laboratorio mostra q e r e controlla n=4q+r con r tra 0 e 3. Non confondere i⁻²=−1 con −i²=1: nel secondo caso il meno è esterno alla potenza.

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10. Una procedura da riutilizzare

1. Individua l’operazione e conserva i segni dei coefficienti.
2. Scrivi la formula prima di sostituire i dati.
3. Distribuisci tutti i prodotti o cambia tutti i segni richiesti.
4. Sostituisci i² con −1 e raggruppa le parti reali e immaginarie.
5. Riduci le frazioni; usa decimali soltanto come approssimazioni.
6. Controlla con l’operazione inversa quando possibile.

Nel laboratorio il risultato e i passaggi usano frazioni esatte; soltanto il disegno utilizza coordinate decimali approssimate. Somma e differenza hanno un parallelogramma di controllo, il coniugato una riflessione. Per prodotto e divisione il grafico confronta i punti: la spiegazione geometrica completa delle trasformazioni arriverà nella tappa 4. La prossima tappa introdurrà modulo, distanza e argomento.

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Dodici esercizi: prova prima di aprire la soluzione

1. Calcola (2−3i)+(−5+7i).

2. Calcola (1+2i)−(−3−4i).

3. Calcola (2+i)(3−2i).

4. È vero che (1+i)²=0?

5. Trova coniugato e opposto di −2+5i.

6. Calcola (−2+5i)(−2−5i).

7. Calcola (2+i)/(1−i).

8. Calcola 1/i e controlla il risultato.

9. Calcola (3+2i)/0 e 0/0.

10. Calcola i^2026 e i^4001.

11. Calcola i^(-5) senza usare un resto negativo.

12. Calcola [1/2+(1/3)i]/(1−i).

Indice del percorso · Laboratorio: operazioni con i numeri complessi

Fonti e approfondimenti

OpenStax · Complex Numbers