En la etapa 1 aprendimos a leer z=a+bi y el punto (a,b). Ahora calcularemos. La regla nueva sigue siendo i²=−1; distribución, paréntesis y fracciones requieren el mismo cuidado que en álgebra. Para cada operación plantearemos la pregunta, deduciremos la fórmula y comprobaremos el resultado.
Índice del recorrido · Laboratorio: operaciones con complejos · Repasar la etapa 1
1. Antes de calcular: qué significan las letras
Escribimos z=a+bi y w=c+di con a,b,c,d reales. a y c son las partes reales; b y d las imaginarias, no bi y di. La respuesta debe volver a A+Bi con A y B reales. Las mayúsculas solo nombran los coeficientes del resultado, no nuevos tipos de números.
Para z=3+2i, a=3 y b=2; para w=1−4i, c=1 y d=−4. Es esencial conservar el signo de d. Cada ejemplo del laboratorio tiene enunciado completo. Puedes cambiar los cuatro coeficientes, incluso con fracciones como 1/2, y seguir cálculos exactos.
2. Sumar: agrupar partes correspondientes
Enunciado: calcula (3+2i)+(1−4i). Quitamos paréntesis y agrupamos: 3+1+2i−4i=(3+1)+(2−4)i=4−2i. No agrupamos 3 y 2i como términos semejantes: 3+2i es un único complejo, pero no un único término real.
(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i
La distributiva da bi+di=(b+d)i. En el plano sumamos coordenadas: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d). El paralelogramo lleva de (3,2) y (1,−4) a (4,−2). Comprobación inversa: (4−2i)−(1−4i)=3+2i.
3. Restar: el menos cambia ambos signos
Enunciado: calcula (3+2i)−(1−4i). El menos delante del segundo paréntesis afecta a todos sus términos: 3+2i−1+4i=(3−1)+(2+4)i=2+6i. El opuesto de w=c+di es −w=−c−di.
(a+bi)−(c+di) = (a−c)+(b−d)i
Con d=−4, la parte imaginaria es b−d=2−(−4)=6, no 2−4. Geométricamente sumamos a z el opuesto de w. Comprobación: (2+6i)+(1−4i)=3+2i. Suma y resta se comprueban mutuamente.
4. Multiplicar: cuatro productos y después i²=−1
Enunciado: calcula (2+3i)(4−i). Distribuimos cada término del primer paréntesis entre cada término del segundo:
(2+3i)(4−i)=2×4+2×(−i)+3i×4+3i×(−i)
=8−2i+12i−3i²
=8−2i+12i+3
=11+10i.
El término final es +3 porque −3i²=−3×(−1)=3. En general:
(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi²
= (ac−bd)+(ad+bc)i
Multiplicar solo a por c y b por d pierde ambos términos cruzados. Por ejemplo, (1+i)²=1+2i+i²=2i, no 1−1=0. El cuadrado de una suma contiene el doble producto.
| × | 4 | −i |
|---|---|---|
| 2 | 8 | −2i |
| 3i | 12i | −3i²=3 |
5. El conjugado no es el opuesto
El conjugado de z=a+bi, escrito z̄, cambia solo el signo de la parte imaginaria. El opuesto −z cambia ambos signos.
z̄ = a−bi; −z = −a−bi
Enunciado: halla el conjugado y el opuesto de 3−4i. Conjugado: 3+4i; opuesto: −3+4i. El conjugado refleja respecto del eje real; el opuesto, respecto del origen. Conjugar dos veces devuelve z. Además, z+z̄=2a y z−z̄=2bi.
La identidad esencial para dividir es:
(a+bi)(a−bi)=a²−abi+abi−b²i²=a²+b²
Es un real no negativo y vale cero solo si a=b=0. Para 3−4i, (3−4i)(3+4i)=9+16=25. Esto no significa z²=a²+b²: los factores son conjugados, no iguales.
6. Dividir: por qué multiplicar por el conjugado
Enunciado: calcula (3+2i)/(1−2i). Podemos dividir por cualquier complejo no nulo, incluso imaginario puro. Solo se prohíbe cero. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, 1+2i. La fracción conserva su valor porque (1+2i)/(1+2i)=1.
Numerador: (3+2i)(1+2i)=3+6i+2i+4i²=−1+8i.
Denominador: (1−2i)(1+2i)=1+4=5.
Cociente: (−1+8i)/5=−1/5+(8/5)i.
(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)+(bc−ad)i]/(c²+d²)
= (ac+bd)/(c²+d²) + [(bc−ad)/(c²+d²)]i
c+di ≠ 0
Los signos +bd y −ad proceden del producto por c−di, no de una excepción arbitraria. c²+d² es positivo porque c y d no son ambos cero. Comprobación: [−1/5+(8/5)i](1−2i)=3+2i. Multiplicar el cociente por el divisor debe recuperar el dividendo.
7. El caso 1/i y el inverso de un complejo
Enunciado: calcula 1/i. El conjugado de i es −i, así que 1/i=(−i)/(i×(−i))=(−i)/1=−i. Comprobación inmediata: (−i)i=−i²=1. Dividir por i está permitido y no equivale a multiplicar por i.
1/i = −i
1/(a+bi) = (a−bi)/(a²+b²), con a+bi≠0
Por ejemplo, 1/(2+i)=(2−i)/5=2/5−(1/5)i. En cambio, 1/0 no está definido: ningún número multiplicado por cero da 1. También 0/0 es indefinido porque no determina un cociente único.
8. Potencias de i: un ciclo de cuatro valores
Partimos de i⁰=1 porque i es no nulo. Multiplicando por i: i¹=i; i²=−1; i³=i²i=−i; i⁴=i²i²=1. El ciclo se repite. Para un entero n≥0, escribimos n=4q+r con r=0,1,2,3:
i^n = (i^4)^q · i^r = i^r
r=0 → 1; r=1 → i; r=2 → −1; r=3 → −i
Enunciado: calcula i²⁰²⁶. La división da 2026=4×506+2, luego i²⁰²⁶=i²=−1. No hacen falta 2026 multiplicaciones. Para i⁴⁰⁰¹, el resto es 1 y el resultado es i.
9. Exponentes negativos: el mismo ciclo, con cuidado
Un exponente negativo indica un recíproco: i⁻¹=1/i=−i e i⁻²=1/i²=−1. La regla del resto sigue valiendo para cualquier entero n si elegimos un resto no negativo: n=4q+r con 0≤r<4.
Enunciado: calcula i⁻⁵. Escribimos −5=4×(−2)+3. Entonces i⁻⁵=(i⁴)⁻²i³=1×(−i)=−i. Comprobación: i⁵=i, así que i⁻⁵=1/i=−i.
En algunos lenguajes, % devuelve un resto negativo para un dividendo negativo: comprueba la convención antes de copiarlo. El laboratorio muestra q y r y comprueba n=4q+r con r entre 0 y 3. No confundas i⁻²=−1 con −i²=1: en el segundo caso el menos está fuera de la potencia.
10. Un procedimiento reutilizable
- Identifica la operación y conserva los signos.
- Escribe la fórmula antes de sustituir los datos.
- Distribuye todos los productos o cambia todos los signos necesarios.
- Sustituye i² por −1 y agrupa partes reales e imaginarias.
- Reduce las fracciones; usa decimales solo como aproximaciones.
- Comprueba con la operación inversa cuando sea posible.
El laboratorio usa fracciones exactas en resultados y pasos; solo el dibujo usa coordenadas decimales aproximadas. Suma y resta tienen un paralelogramo de comprobación; el conjugado, una reflexión. Para productos y cocientes el gráfico compara puntos: la interpretación geométrica completa llegará en la etapa 4. La próxima etapa introducirá módulo, distancia y argumento.
Doce ejercicios: inténtalo antes de abrir la solución
1. Calcula (2−3i)+(−5+7i).
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Sumamos partes correspondientes: (2−5)+(−3+7)i=−3+4i. La parte imaginaria del resultado es 4.
2. Calcula (1+2i)−(−3−4i).
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Cambiamos ambos signos del segundo paréntesis: 1+2i+3+4i=4+6i. Comprobación: (4+6i)+(−3−4i)=1+2i.
3. Calcula (2+i)(3−2i).
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Distribuimos: 6−4i+3i−2i²=6−i+2=8−i. El término −2i² aporta +2.
4. ¿Es cierto que (1+i)²=0?
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No: (1+i)²=1+2i+i²=2i. El error es omitir el doble producto 2i.
5. Halla el conjugado y el opuesto de −2+5i.
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Conjugado: −2−5i, cambiando solo el signo imaginario. Opuesto: 2−5i, cambiando ambos signos.
6. Calcula (−2+5i)(−2−5i).
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Son conjugados: el producto es (−2)²+5²=4+25=29. No es el cuadrado del primer factor.
7. Calcula (2+i)/(1−i).
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Multiplicamos arriba y abajo por 1+i. Numerador: (2+i)(1+i)=2+3i+i²=1+3i. Denominador: 1+1=2. Resultado: 1/2+(3/2)i.
8. Calcula 1/i y compruébalo.
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1/i=−i. Comprobación: (−i)i=−i²=1. Como i no es cero, la división está permitida.
9. Calcula (3+2i)/0 y 0/0.
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Ambos son indefinidos. Ningún cociente multiplicado por cero da 3+2i; para 0/0 cualquier número daría cero, así que no hay cociente único. No se asigna cero ni infinito.
10. Calcula i^2026 e i^4001.
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2026=4×506+2, así que i^2026=i²=−1. 4001=4×1000+1, así que i^4001=i. Usamos el resto al dividir entre 4.
11. Calcula i^(-5) sin usar un resto negativo.
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−5=4×(−2)+3. Por tanto, i^(-5)=(i⁴)^(-2)i³=−i. Alternativamente, i⁵=i, así que su recíproco es 1/i=−i.
12. Calcula [1/2+(1/3)i]/(1−i).
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Multiplicamos por 1+i. Parte real del numerador: 1/2−1/3=1/6; parte imaginaria: 1/2+1/3=5/6. Denominador: 2. Resultado: 1/12+(5/12)i. Multiplicarlo por 1−i recupera 1/2+(1/3)i.
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