L’étape 2 a appris à multiplier a+bi ; l’étape 3 a mesuré longueurs et angles. Relions ces lectures. La forme trigonométrique montre qu’un multiplicateur fixé applique à chaque point la même rotation et le même facteur d’échelle autour de l’origine. Démontrons pourquoi, précisons les exceptions et déplaçons le centre.
Index du parcours · Laboratoire : forme trigonométrique et rotations · Revoir module et argument
1. Un produit visible : multiplier par i
Partons de z=3+2i. Multiplier par i donne i(3+2i)=3i+2i²=−2+3i. Le point passe de (3,2) à (−2,3) : les coordonnées échangent leurs rôles et un signe change.
Les deux distances à l’origine valent √13. Le vecteur final est perpendiculaire au premier, un quart de tour dans le sens antihoraire. Ce n’est pas un hasard : i(a+bi)=−b+ai pour tous réels a,b. Comprenons cette rotation de 90° puis les autres multiplicateurs.
2. La forme trigonométrique vient des projections
Pour z≠0 posons r=|z| et choisissons un argument θ. Diviser les coordonnées par r donne un point du cercle unité : cosθ=a/r et sinθ=b/r. Sinus et cosinus sont des coordonnées signées, pas des longueurs forcément positives.
a = r cosθ; b = r sinθ
z = a+bi = r(cosθ+i sinθ), r=|z|>0
Mettre r en facteur change la représentation, pas le nombre. θ+2kπ donne le même point. Zéro a pour module 0 et formellement 0(cosθ+i sinθ)=0 pour tout θ, sans que cela définisse un argument de zéro.
3. Des coordonnées à la forme trigonométrique
Énoncé : écrire −1+i sous forme trigonométrique. D’abord r=√((−1)²+1²)=√2. Ensuite le point est dans le deuxième quadrant, avec des composantes de même valeur absolue. L’angle de référence vaut 45°, donc θ=180°−45°=135°=3π/4.
−1+i = √2[cos(3π/4)+i sin(3π/4)]
Vérification : cos(3π/4)=−√2/2 et sin(3π/4)=√2/2 ; multiplier par √2 redonne −1 et 1. arctan(b/a) seul donnerait le mauvais quadrant. Le laboratoire utilise atan2(b,a) et l’intervalle principal (−π,π].
4. Le trajet inverse : de r et θ à a+bi
Énoncé : trouver les coordonnées de 4[cos(π/6)+i sin(π/6)]. π/6=30°, cos(π/6)=√3/2 et sin(π/6)=1/2. Distribuons 4 : a=4×√3/2=2√3, b=4×1/2=2.
4[cos(π/6)+i sin(π/6)] = 2√3+2i
Le résultat est exact. Remplacer √3 par une décimale donne des coordonnées approchées. Ne pas saisir 30 dans une fonction attendant des radians : 30°=π/6 rad, pas 30 rad. Dans le laboratoire, choisir degrés ou multiples de π : pour π/6 saisir 1/6 et sélectionner cette seconde unité.
5. Pourquoi les modules se multiplient et les angles s’ajoutent
Soient z=r(cosθ+i sinθ) et w=ρ(cosφ+i sinφ), non nuls. Développons les quatre termes avec i²=−1 :
zw = rρ[cosθ cosφ − sinθ sinφ + i(sinθ cosφ + cosθ sinφ)]
Les identités d’addition donnent cos(θ+φ)=cosθ cosφ−sinθ sinφ et sin(θ+φ)=sinθ cosφ+cosθ sinφ. En remplaçant, nous reconnaissons une forme trigonométrique :
zw = rρ[cos(θ+φ)+i sin(θ+φ)]
|zw| = |z| |w|
La règle des modules reste valable si un facteur est nul ; additionner les arguments exige deux facteurs non nuls. La règle géométrique découle de l’algèbre et des identités trigonométriques, pas d’une nouvelle convention.
6. Un multiplicateur fixé transforme tout le plan
Fixons w=ρ(cosφ+i sinφ), avec ρ>0. Tout z tourne de φ et sa distance à l’origine est multipliée par ρ. Le centre reste fixe. La règle concerne tous les points, pas seulement quelques exemples.
z ↦ wz : rotation φ + facteur d’échelle ρ
ρ=1 : rotation seule ; 01 : agrandissement
Pour w=i, φ=90° et ρ=1 ; pour w=−i, φ=−90°. Pour w=−1, φ=180°, pas une réflexion par rapport à un axe. Pour w=2i, tourner de 90° puis doubler : (3+2i)2i=−4+6i. Rotation et dilatation de même centre peuvent être effectuées dans l’ordre inverse avec le même résultat.
7. Exemple complet : (1+i)(1+i)
Chaque 1+i a pour module √2 et argument π/4. Le produit a pour module √2×√2=2 et pour argument π/4+π/4=π/2.
(1+i)(1+i) = 2[cos(π/2)+i sin(π/2)] = 2i
Vérification algébrique : 1+i+i+i²=1+2i−1=2i. Le second facteur tourne le premier de 45° et multiplie sa longueur par √2. La somme donnerait (1+i)+(1+i)=2+2i : ne pas confondre ces opérations.
8. La somme n’est pas toujours l’argument principal
L’argument principal de −1+i vaut 135°. Son carré a un argument 270° puisque 135°+135°=270°. Mais 270° est hors de (−180°,180°] ; le même point a pour argument principal −90°.
(−1+i)² = −2i
Arg(zw) ≡ Arg(z)+Arg(w) (mod 2π), z,w≠0
≡ signifie ici « différer d’un nombre entier de tours », pas égalité de nombres réels. Le laboratoire montre l’angle avant normalisation et l’argument principal final. Avec un facteur nul, on n’additionne pas des arguments indéfinis.
9. Diviser inverse la rotation et l’échelle
Si w=ρ(cosφ+i sinφ)≠0, son inverse a pour module 1/ρ et argument −φ. Pour z≠0 :
z/w = (r/ρ)[cos(θ−φ)+i sin(θ−φ)]
Énoncé : diviser 3+2i par i. Le diviseur a module 1 et argument π/2 : tourner de −90° sans changer de longueur. Algébriquement 1/i=−i et (3+2i)(−i)=2−3i. Multiplier par i redonne 3+2i.
Pour z=0 et w≠0 le quotient vaut 0, sans argument. Diviser par w=0 est indéfini : ni zéro ni l’infini.
10. Tourner autour d’un autre centre
La multiplication simple wz fixe l’origine. Pour un autre centre c : soustraire c pour ramener le centre à l’origine, multiplier par w, puis ajouter c pour revenir.
z′ = c+w(z−c)
Énoncé : tourner z=3+i de 90° autour de c=1+i. D’abord z−c=2 ; puis i×2=2i ; enfin z′=(1+i)+2i=1+3i. La distance au centre reste 2. Utiliser iz donnerait −1+3i, une rotation de mauvais centre. Le laboratoire permet de modifier c et d’ajouter un facteur d’échelle λ≥0.
11. Rotation, réflexion et cas dégénérés
Ajouter un complexe fixé produit une translation, pas la règle d’addition des angles du produit. Conjuguer réfléchit par rapport à l’axe réel : 2+i devient 2−i. Multiplier par i donne −1+2i. Les deux conservent les longueurs, mais sont différentes.
Pour w≠0 le produit conserve l’orientation et multiplie les aires par |w|² : ce n’est pas une réflexion. Pour w=0 tout s’écrase à l’origine ; autour de c, c+0(z−c) envoie tout en c. Zéro n’a pas d’argument déterminant une rotation. Un réel négatif comme −2 a module positif 2 et rotation 180°, pas un module −2.
12. Garder le sens des formules et du laboratoire
- Distinguer conversion, produit, quotient et transformation autour de c.
- Calculer le module et tester zéro avant les arguments.
- Préciser degrés ou radians et choisir le bon quadrant.
- Produit : multiplier les modules, ajouter les angles ; quotient : diviser et soustraire.
- Normaliser l’angle principal à la fin.
- Contrôler coordonnées et distance au bon centre.
L’animation sépare rotation et variation linéaire d’échelle : c’est un trajet pédagogique entre les extrémités, pas une loi temporelle du produit. Un facteur nul montre seulement l’écrasement. Les produits cartésiens avec fractions sont exacts ; coordonnées trigonométriques générales et dessins sont approchés. L’étape 5 traitera Euler et De Moivre, inutiles pour démontrer la règle présente.
Douze exercices : cherchez avant d’ouvrir la solution
1. Écrire 2−2i sous forme trigonométrique.
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r=√8=2√2. Quatrième quadrant : θ=−π/4. Donc 2−2i=2√2[cos(−π/4)+i sin(−π/4)].
2. Convertir 6[cos(π/3)+i sin(π/3)].
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cos(π/3)=1/2 et sin(π/3)=√3/2. Multiplier par 6 donne 3+3√3i.
3. Calculer i(2−i) et interpréter.
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2i−i²=1+2i. (2,−1) devient (1,2) : 90° antihoraire, module √5 inchangé.
4. Calculer (−i)(2−i).
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−2i+i²=−1−2i. Une rotation horaire de 90° envoie (2,−1) sur (−1,−2).
5. Que fait 2i au point 2−i ?
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(2i)(2−i)=2+4i. Tourner de 90° et doubler : le module passe de √5 à 2√5, pas √5+2.
6. Pourquoi Arg((−1+i)²) n’est-il pas 270° ?
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Le carré vaut −2i. 270° est un argument valable, mais son représentant principal dans (−180°,180°] est 270°−360°=−90°.
7. Multiplier 3[cos(π/6)+i sin(π/6)] par 2[cos(−π/3)+i sin(−π/3)].
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Module 3×2=6, angle π/6−π/3=−π/6. Résultat 6[cos(−π/6)+i sin(−π/6)]=3√3−3i.
8. Diviser le complexe de module 4, angle π/3 par celui de module 2, angle π/6.
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Module 4/2=2, angle π/3−π/6=π/6. Quotient 2[cos(π/6)+i sin(π/6)]=√3+i.
9. Multiplier par 1+i est-il une rotation seule ?
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Non. L’angle vaut 45°, mais le module est √2 et non 1 : il y a aussi une dilatation de facteur √2.
10. Tourner 3+i de 90° autour de 1+i.
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Soustraire le centre : 2. Multiplier par i : 2i. Ajouter le centre : (1+i)+2i=1+3i. Les distances au centre valent 2.
11. Comparer le conjugué de 2+i et i(2+i).
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Le conjugué est 2−i, réflexion sur l’axe réel. i(2+i)=−1+2i est une rotation de 90°. Même longueur √5, points et transformations différents.
12. Quelle rotation décrit la multiplication par zéro ?
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Aucune rotation déterminée : zéro n’a pas d’argument. Tout point est envoyé sur 0 et la transformation n’est pas inversible. L’animation d’écrasement ne fait qu’illustrer ce résultat.
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