La forme trigonométrique a relié produit, rotation et changement d’échelle. Introduisons r e^(iθ), en expliquant d’abord l’exposant imaginaire. Euler relie exponentielle, sinus et cosinus ; De Moivre calcule les puissances sans longue chaîne de produits. Nous distinguons identités exactes, sommes finies et résultats numériques.
Index du parcours · Laboratoire : Euler, De Moivre et puissances · Revoir la forme trigonométrique
1. Une question concrète : comment calculer (1+i)^20 ?
On pourrait multiplier vingt fois, au risque d’une erreur de signe. Nous connaissons déjà le module √2 et un argument π/4 de 1+i. Répéter le produit répète vingt fois la même échelle et la même rotation.
Le module final vaut (√2)^20=2^10=1024 et un argument vaut 20×π/4=5π. Cinq demi-tours aboutissent sur l’axe réel négatif : le résultat est −1024. Ce chapitre justifie précisément ce raccourci, au lieu de demander de mémoriser une formule.
2. Que signifie e élevé à un complexe ?
L’exponentielle réelle e^x est connue pour x réel. On l’étend à z complexe par une série, limite de sommes de plus en plus longues :
e^z = 1+z+z²/2!+z³/3!+… = ∑m=0∞ z^m/m!
La factorielle m! vaut 1×2×…×m, avec 0!=1 ; par exemple 3!=6 et 4!=24. Le terme initial est défini comme 1 même en z=0, sans évaluer séparément 0^0. La série converge absolument pour tout complexe et coïncide avec l’exponentielle réelle habituelle. Cela ne rend pas i réel et n’impose pas e^(iθ)>0 : le domaine de la fonction est élargi.
3. La formule d’Euler, étape par étape
Remplaçons z par iθ, avec θ réel en radians. Les puissances de i suivent 1,i,−1,−i. Les termes pairs sont réels, les impairs multiples de i. La convergence absolue permet de les séparer :
e^(iθ) = [1−θ²/2!+θ⁴/4!−…] + i[θ−θ³/3!+θ⁵/5!−…]
Les parenthèses sont exactement les séries du cosinus et du sinus, donc pour tout θ réel :
e^(iθ) = cosθ+i sinθ
Les radians sont indispensables. Convertir 30° en π/6 avant la substitution ; θ=30 signifie 30 radians. Une somme arrêtée après quelques termes n’est pas déjà la valeur exacte.
4. Le cercle unité et e^(iπ)+1=0
Les coordonnées de e^(iθ) sont (cosθ,sinθ), donc son module vaut √(cos²θ+sin²θ)=1. Il n’est pas toujours sur l’axe imaginaire : à 0 il vaut 1, à π/2 i, à π −1, à 3π/2 −i et à 2π il revient à 1.
e^(iπ) = −1 ; donc e^(iπ)+1=0
e^(i(θ+2kπ)) = e^(iθ), k∈ℤ
La partie réelle vaut cosθ et l’imaginaire sinθ, pas i sinθ. Le conjugué vaut e^(−iθ). Un ordinateur peut produire un petit résidu au lieu de zéro à cause des approximations, sans réfuter l’identité. Le laboratoire reconnaît aussi les angles des axes exactement.
5. La forme exponentielle d’un complexe
Pour z≠0 choisissons r=|z|>0 et un argument θ. L’étape précédente donnait z=r(cosθ+i sinθ). Euler permet d’abréger :
z = r e^(iθ), r>0
Pour −1+i, r=√2 et θ=3π/4, donc −1+i=√2 e^(3πi/4). Pour −2 utiliser r=2 et θ=π, pas un module −2. Les angles θ+2kπ décrivent le même nombre.
Formellement zéro vaut 0×e^(iθ) pour tout θ, mais n’a pas d’argument. e^w n’est jamais nul : zéro ne peut pas être un seul exponentiel d’exposant complexe fini.
6. Pourquoi les exposants s’ajoutent
Euler et les identités d’addition donnent e^(iα)e^(iβ)=e^(i(α+β)), la règle géométrique de l’étape 4 sous une écriture plus courte.
(r e^(iθ))(ρ e^(iφ)) = rρ e^(i(θ+φ))
(r e^(iθ))/(ρ e^(iφ)) = (r/ρ)e^(i(θ−φ)), ρ>0
Par exemple e^(iπ/3)e^(iπ/6)=e^(iπ/2)=i. Ce sont des égalités de complexes. Pour l’argument principal, il peut falloir normaliser l’angle dans (−π,π]. La périodicité ne rend pas égaux les angles réels correspondants.
7. De Moivre pour les puissances entières
Pour n entier positif, multiplier n copies de r e^(iθ) produit n facteurs r et additionne n fois θ. Par récurrence : n=1 est immédiat ; multiplier le cas n par z transforme r^n en r^(n+1) et nθ en (n+1)θ.
z^n = r^n e^(inθ) = r^n[cos(nθ)+i sin(nθ)]
Pour r=1 : [cosθ+i sinθ]^n=cos(nθ)+i sin(nθ). Si z≠0 la formule s’étend à tous les entiers, dont zéro et les négatifs expliqués ensuite. Elle n’est pas une règle sans restriction pour les exposants fractionnaires.
8. Deux exemples par application de la formule
(1+i)^20. Écrire 1+i=√2 e^(iπ/4). Alors (1+i)^20=(√2)^20 e^(i5π)=1024(−1)=−1024, exactement sur l’axe réel négatif, sans petite composante imaginaire.
(√3+i)^6. Module √(3+1)=2, premier quadrant, angle π/6. Donc (√3+i)^6=2^6 e^(iπ)=−64. Dans le laboratoire choisir une base polaire, r=2 et θ=(1/6)π, sans saisir de radical dans les coordonnées.
Dans les deux cas on élève le module à la puissance, on ne le multiplie pas par n. Calculer nθ avant de normaliser l’argument final.
9. Exposant nul, exposants négatifs et base nulle
Si z≠0, z^0=1. Pour n=−m avec m positif, z^(−m)=1/z^m=r^(−m)e^(−imθ). L’inverse change le signe de l’angle et inverse le module.
Énoncé : calculer (1+i)^(−2). Comme (1+i)²=2i, l’inverse vaut 1/(2i)=−i/2. De Moivre donne r^(−2)=1/2 et −2θ=−π/2, donc (1/2)e^(−iπ/2)=−i/2.
Pour une base nulle et n positif, 0^n=0 sans argument. Les exposants négatifs diviseraient par zéro et sont refusés. Ce parcours et le laboratoire n’attribuent pas de valeur à 0^0 ; seuls les pas k≥1 sont montrés pour la base nulle, sans inventer un départ 0^0=1.
10. Les puissances comme suite de points
Pour z=r e^(iθ), z^k a module r^k et un argument kθ. Chaque pas multiplie encore par z. Si r=1 tout reste sur le cercle unité ; pour i le cycle est 1,i,−1,−i,1. Si r>1 les modules des puissances positives croissent ; si 0
Les exposants négatifs suivent les puissances de l’inverse. Chaque position du laboratoire correspond à un entier, pas à une puissance fractionnaire cachée. Les segments sont des guides visuels, pas d’autres puissances entières.
Des longueurs très différentes compriment certains points près de l’origine. « Directions seules » ramène les points non nuls sur le cercle unité pour comparer les angles, pas les modules. Zéro reste à l’origine sans acquérir de direction.
11. Une somme finie n’est pas l’identité d’Euler
S_M somme de m=0 à M : il y a M+1 termes. Pour θ=π/2 et M=3, S_3=(1−π²/8)+i(π/2−π³/48)≈−0,23370055+0,92483223i, contre la valeur exacte i. Le point de la somme n’est pas nécessairement déjà sur le cercle unité.
S_M = ∑m=0M (iθ)^m/m!
|e^(iθ)−S_M| ≤ e^|θ| |θ|^(M+1)/(M+1)!
La borne vient de la valeur absolue de la queue : après la première factorielle, les produits successifs au dénominateur sont au moins les factorielles correspondantes. Elle borne la troncature théorique, pas les arrondis du calculateur. Le laboratoire la distingue de l’écart numérique observé. « Zéro à la précision du calcul » ne signifie pas une erreur mathématique nulle.
12. Portée de la règle et méthode d’emploi
n entier rend le choix d’argument inoffensif : remplacer θ par θ+2kπ ajoute un nombre entier de tours à nθ. Ce n’est plus vrai pour un exposant fractionnaire. Pour −1, les arguments π et −π divisés par deux donnent i et −i, les deux solutions de x²=−1 ; la racine principale exige un choix supplémentaire. Les racines seront l’étape suivante.
En général e^(u+iv)=e^u(cosv+i sinv) : la partie réelle de l’exposant fixe le module e^u et l’imaginaire l’angle v. Pour u=0 on retrouve le cercle unité.
- Vérifier base nulle et exposant.
- Trouver module positif et argument de la base non nulle.
- Élever le module à n et multiplier l’angle par n.
- Normaliser à la fin.
- Contrôler par les produits cartésiens si possible.
- Pour les séries finies utiliser ≈ et distinguer troncature et arrondis.
Douze exercices : cherchez avant d’ouvrir la solution
1. Calculer e^(iπ/2) et e^(−iπ/2).
Afficher la solution
Euler donne cos(π/2)+i sin(π/2)=i. Pour l’angle négatif, cosinus 0 et sinus −1 donnent −i.
2. Pourquoi e^(iπ)+1=0 est-il exact ?
Afficher la solution
cosπ=−1 et sinπ=0 exactement, donc e^(iπ)=−1. Le résidu informatique vient de l’approximation, pas de l’identité.
3. Écrire 1−i en forme exponentielle.
Afficher la solution
Module √2 et argument principal −π/4 : 1−i=√2 e^(−iπ/4). Ajouter 2kπ conserve le nombre.
4. Calculer (1+i)^8.
Afficher la solution
r=√2 et θ=π/4. r^8=16 et 8θ=2π, donc (1+i)^8=16 e^(2πi)=16.
5. Calculer (1−i)^6.
Afficher la solution
r^6=(√2)^6=8 et 6θ=−3π/2, équivalent à π/2. Le résultat est 8i.
6. Calculer [2e^(iπ/3)]^3.
Afficher la solution
Élever 2 au cube et multiplier l’angle par 3 : 8e^(iπ)=−8. Le module vaut 8, pas 2×3=6.
7. Calculer (1+i)^(−2).
Afficher la solution
(1+i)^2=2i. Inverser : 1/(2i)=−i/2. En forme polaire : (√2)^(−2)e^(−iπ/2)=(1/2)(−i).
8. Comparer (2i)^0, 0^4, 0^(−1) et 0^0.
Afficher la solution
(2i)^0=1 car la base est non nulle ; 0^4=0. 0^(−1) diviserait par zéro. Ce parcours laisse 0^0 non attribué : la règle des bases non nulles ne s’applique pas automatiquement.
9. Trouver la puissance sixième de (1/2)e^(iπ/3).
Afficher la solution
Module (1/2)^6=1/64, angle 6×π/3=2π. Résultat 1/64 : direction réelle positive, beaucoup plus près de l’origine.
10. Pourquoi θ et θ+2π donnent-ils la même puissance entière ?
Afficher la solution
Après multiplication par n la différence vaut 2nπ, un nombre entier de tours. Pour n=1/2 elle vaudrait π et pourrait changer le point : les racines exigent une étude séparée.
11. Écrire S_2 pour θ=π/2 : combien de termes ?
Afficher la solution
S_2=1+iπ/2+(iπ/2)^2/2!=1−π²/8+iπ/2. Trois termes : m=0,1,2. Ce n’est pas encore i, valeur de la série infinie.
12. Un écart numérique nul prouve-t-il S_M=e^(iθ) exactement ?
Afficher la solution
Non : des valeurs distinctes peuvent être arrondies au même nombre. Distinguer identité, troncature et précision. Dans le cas particulier θ=0, la série vaut réellement 1 dès le terme initial car tous les autres sont nuls.
Index du parcours · Laboratoire : Euler, De Moivre et puissances
Sources et approfondissements
OpenStax · Polar Form of Complex Numbers
NIST DLMF · Exponential function · NIST DLMF · Sine and cosine series