Un polinomio di grado quattro deve avere quattro soluzioni diverse? No: una radice può comparire più volte. In questa tappa colleghiamo tre modi di leggere lo stesso oggetto: un’equazione da risolvere, un prodotto di fattori e un insieme di punti nel piano complesso.
Indice del percorso · Laboratorio: equazioni, fattori e molteplicità · Tappa 6: tutte le radici complesse
1. Che cosa stiamo risolvendo
Un polinomio è P(z)=a_n zⁿ+a_(n−1)z^(n−1)+…+a₁z+a₀, con coefficienti complessi e a_n≠0. Il grado n è il massimo esponente con coefficiente non nullo. Una radice r è un numero per cui P(r)=0. La variabile z ricorda che cerchiamo soluzioni anche fuori dalla retta reale.
Per P(z)=z²+1, nessun reale annulla il polinomio, ma i e −i sì. Non significa che il polinomio sia impossibile: significa che bisogna dichiarare in quale insieme si risolve. Gli esponenti di un polinomio sono interi non negativi: 1/z e √z non sono termini polinomiali.
2. Da una radice a un fattore
Dividendo P(z) per z−r otteniamo P(z)=(z−r)Q(z)+c, con resto costante c. Sostituendo z=r: P(r)=c. Perciò:
P(r)=0 ⇔ P(z)=(z−r)Q(z).
Questa equivalenza è il teorema del fattore, o teorema di Ruffini. Non basta che un numero assomigli a una radice sul grafico: il resto deve essere zero. Per z²+1, il fattore associato a i è z−i e quello associato a −i è z+i: (z−i)(z+i)=z²−i²=z²+1. Il segno del fattore è l’opposto del segno della radice.
3. Il teorema fondamentale dell’algebra
Ogni polinomio non costante a coefficienti complessi ha almeno una radice complessa. Enunciamo questo teorema senza dimostrarlo: la sua dimostrazione richiede strumenti ulteriori. Possiamo però dedurne la scomposizione: trovata una radice, dividiamo per il suo fattore; il grado scende di uno. Ripetendo, arriviamo a una costante non nulla.
P(z)=a_n∏(z−r_j)^(m_j), con ∑m_j=n.
Qui r_j sono le radici distinte e m_j i loro interi positivi di molteplicità. Il grado conta le radici con le ripetizioni, non necessariamente punti diversi. Il teorema garantisce esistenza, non una formula semplice o un algoritmo immediato per trovarle.
4. Il secondo grado, anche con discriminante negativo
Per Az²+Bz+C=0 con A,B,C reali e A≠0, moltiplichiamo per 4A e completiamo il quadrato: (2Az+B)²=B²−4AC=Δ. Se Δ≥0 usiamo le radici reali; se Δ<0, le radici quadrate di Δ sono ±i√(−Δ).
z₁,₂=(−B±√Δ)/(2A)
Per Δ<0: z₁,₂=(−B±i√(−Δ))/(2A).
Esempio: z²−2z+5=0. Δ=4−20=−16, quindi z=(2±4i)/2=1±2i. La scomposizione è [z−(1+2i)][z−(1−2i)]. Se Δ=0 c’è una sola radice distinta −B/(2A), doppia. Se A=0 non è più un’equazione di secondo grado: si risolve il caso lineare o costante.
5. Radice doppia non significa due punti
Problema: risolvere P(z)=(z−1)²(z²+1)=0. Un prodotto è zero se almeno un fattore è zero. Quindi r=1 ha molteplicità 2; i e −i hanno molteplicità 1. Ci sono tre soluzioni distinte, ma 2+1+1=4 radici contando le molteplicità, come richiede il grado.
Sviluppando: P(z)=z⁴−2z³+2z²−2z+1. La molteplicità m di r è l’esponente massimo per cui (z−r)^m divide P: P(z)=(z−r)^m Q(z), con Q(r)≠0. Sul piano disegniamo un solo punto per r e scriviamo m=2: non due punti separati o leggermente spostati.
6. Come misurare la molteplicità
Dividiamo ripetutamente per z−r finché il resto è zero. Per P(z)=z⁴−2z³+2z²−2z+1 e r=1: la prima divisione dà z³−z²+z−1; la seconda dà z²+1; la terza ha resto 2. Dunque 1 è esattamente doppia, non tripla.
Il resto non nullo dell’ultimo tentativo è importante: senza di esso sapremmo soltanto che la molteplicità è almeno due. In alternativa, per un polinomio non nullo, r ha molteplicità m se P(r)=P′(r)=…=P^(m−1)(r)=0 ma P^(m)(r)≠0. Qui P′(1)=0 e P″(1)=4≠0. Le divisioni del laboratorio usano frazioni esatte, non soglie numeriche per decidere se un resto è zero.
7. Perché compaiono le coniugate
Se tutti i coefficienti di P sono reali, P(conj(z))=conj(P(z)), perché coniugare conserva somme e prodotti e non cambia i coefficienti reali. Se P(r)=0, anche P(conj(r))=0. Le radici non reali compaiono dunque in coppie coniugate, con la stessa molteplicità: coniugando una scomposizione si conservano gli esponenti dei fattori.
Se r=a+bi con b≠0, il coniugato è a−bi: stessi a, segni opposti per b. Un reale coincide invece con il proprio coniugato e non va raddoppiato. L’ipotesi sui coefficienti è necessaria: P(z)=z−i ha coefficiente costante −i, radice i, ma non radice −i. Nel laboratorio puoi costruire questo controesempio.
8. Scomporre in ℂ oppure in ℝ
Su ℂ ogni polinomio non costante si scompone in fattori lineari. Su ℝ possono rimanere fattori quadratici irriducibili. Una coppia coniugata si raggruppa così:
[z−(a+bi)][z−(a−bi)]=z²−2az+(a²+b²).
Per b≠0 il discriminante è −4b²<0: quel fattore non ha radici reali. Per le radici 1±2i troviamo z²−2z+5. Dunque “non scomponibile” non è un’affermazione assoluta: occorre dire in quale insieme ammettiamo i coefficienti dei fattori. Nel caso di coefficienti reali, i fattori lineari reali e queste coppie quadratiche ricostruiscono tutto il polinomio, conservando il coefficiente principale.
9. Somma e prodotto: attenzione ai segni
Sviluppando (z−r₁)(z−r₂) si ottiene z²−(r₁+r₂)z+r₁r₂. Pertanto z²+bz+c ha radici con somma −b e prodotto c. Per z²+5z+6 le radici sono −2 e −3: non 2 e 3. I fattori sono (z+2)(z+3).
∑r_j=−a_(n−1)/a_n; ∏r_j=(−1)ⁿa₀/a_n.
In queste formule di Viète le radici sono elencate con le ripetizioni. Per (z−1)²(z²+1), la somma è 1+1+i−i=2 e il prodotto 1·1·i·(−i)=1, coerenti con i coefficienti. Sono ottimi controlli, ma per gradi maggiori di due somma e prodotto da soli non bastano a certificare tutte le radici.
10. Horner: moltiplica, somma e controlla
Problema: verificare r=1 per P(z)=z³−z²+z−1. Scriviamo i coefficienti in ordine decrescente: 1,−1,1,−1. Abbassiamo 1; poi ogni volta moltiplichiamo l’ultimo risultato per r e sommiamo il coefficiente successivo. Otteniamo 1,0,1,0. L’ultimo numero è il resto P(1)=0; i precedenti sono i coefficienti di Q(z)=z²+1.
Quindi P(z)=(z−1)(z²+1)=(z−1)(z−i)(z+i). Non saltare coefficienti nulli: per z³+1 la lista è 1,0,0,1. Lo stesso algoritmo funziona con r complesso, usando somme e prodotti complessi. Il laboratorio permette di seguire ciascuna operazione e di ripetere la divisione sul quoziente.
11. Trovare radici senza indovinare
Prima cerchiamo struttura. Per z⁴+5z²+4=0 poniamo t=z²: t²+5t+4=(t+1)(t+4)=0. Quindi z²=−1 oppure z²=−4, da cui z=±i,±2i. Il polinomio si scompone in (z²+1)(z²+4), oppure in quattro fattori lineari su ℂ. Nel laboratorio ricostruiamo questi fattori e controlliamo i coefficienti.
Con coefficienti interi, una radice razionale p/q in forma ridotta ha p divisore del termine costante e q divisore del coefficiente principale. Sono solo candidati, da verificare; prima va raccolta l’eventuale potenza di z se il termine costante è zero. Non trovare candidati razionali non dimostra che manchino radici reali o complesse. Per zⁿ=w si usa direttamente la tappa 6.
12. Che cosa certifica il laboratorio
Tre attività: risolvere tutte le equazioni reali di grado al massimo due nei limiti degli input; costruire un polinomio da radici razionali complesse e molteplicità scelte; verificare esattamente una radice candidata per un polinomio a coefficienti reali razionali di grado al massimo otto. Nell’ultima attività non si promette di trovare tutte le altre radici: un quoziente rimasto è indicato come non ancora scomposto.
Un resto piccolo ma non nullo non certifica una radice. Per esempio z²−2z+9999/10000=(z−99/100)(z−101/100) ha due radici vicine ma distinte, non una doppia. Le frazioni distinguono esattamente questi casi. Il polinomio zero si annulla per ogni z e non ha una molteplicità finita da assegnare a ogni punto; una costante non nulla non ha radici. Contare bene richiede sempre di riconoscere questi casi.
Dodici esercizi da provare
1. Risolvi z²+5z+6=0 e controlla i segni.
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Le radici sono −2 e −3: somma −5, prodotto 6. I fattori sono (z+2)(z+3), non (z−2)(z−3).
2. Risolvi z²−4z+13=0.
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Δ=16−52=−36. z=(4±6i)/2=2±3i. Quindi P(z)=[z−(2+3i)][z−(2−3i)]. Il prodotto delle radici è 13.
3. Quante soluzioni distinte ha (z+2)³(z−i)²=0?
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Due: −2 con molteplicità 3 e i con molteplicità 2. Contando le ripetizioni sono 5, come il grado. Non è obbligatorio aggiungere −i: i coefficienti non sono tutti reali.
4. Costruisci il polinomio monico con radici 1 doppia e ±i semplici.
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P=(z−1)²(z−i)(z+i)=(z−1)²(z²+1)=z⁴−2z³+2z²−2z+1. Le molteplicità sommano 4 e il coefficiente principale è 1.
5. Un polinomio reale ha radice 3−2i doppia: che cosa segue?
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Anche 3+2i è doppia. Il grado è almeno 4 e P è divisibile per [(z−3)²+4]²=(z²−6z+13)². Non conosciamo eventuali altre radici.
6. Applica Horner a z³+1 con r=−1.
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Coefficienti 1,0,0,1; risultati 1,−1,1,0. Quoziente z²−z+1, resto 0. Quindi P=(z+1)(z²−z+1), con ulteriori radici (1±i√3)/2.
7. Risolvi z⁴+5z²+4=0.
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t=z² dà (t+1)(t+4)=0. Da z²=−1 e z²=−4 otteniamo i,−i,2i,−2i, tutte semplici. La scomposizione reale è (z²+1)(z²+4).
8. P(2)=0 e P′(2)=0 bastano per dire radice esattamente doppia?
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No: per un polinomio non nullo dicono almeno doppia. Serve P″(2)≠0, oppure due divisioni esatte seguite da un resto non nullo. Per (z−2)³ anche P″(2)=0.
9. Costruisci P con coefficiente principale 2 e radici ±i.
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P=2(z−i)(z+i)=2z²+2. Il fattore 2 non va perso: le radici da sole determinano il polinomio solo a meno di un fattore costante non nullo.
10. Il resto 1/100000 è zero per il teorema del fattore?
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No. È positivo e non nullo, quindi il candidato non è una radice esatta. Un’approssimazione numerica richiede una dichiarazione separata e non certifica una molteplicità.
11. Confronta P(z)=0 e P(z)=7 come polinomi costanti.
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L’equazione P(z)=0 è un’identità nel primo caso: ogni z è soluzione, senza molteplicità finita usuale. Nel secondo chiede 7=0 e non ha soluzioni. Il teorema fondamentale riguarda polinomi non costanti.
12. P(z)=z⁵−3z⁴+2: somma e prodotto delle radici?
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Con le ripetizioni, somma −(−3)/1=3 e prodotto (−1)⁵·2=−2. Questi dati non forniscono da soli le singole radici né le loro molteplicità.
Indice del percorso · Laboratorio: equazioni, fattori e molteplicità