Un polynôme de degré quatre doit-il avoir quatre solutions différentes ? Non : une racine peut se répéter. Cette étape relie trois lectures du même objet : une équation à résoudre, un produit de facteurs et des points dans le plan complexe.
Index du parcours · Laboratoire : équations, facteurs et multiplicités · Étape 6 : toutes les racines complexes
1. Que résout-on ?
Un polynôme est P(z)=a_n zⁿ+a_(n−1)z^(n−1)+…+a₁z+a₀, à coefficients complexes et a_n≠0. Son degré n est le plus grand exposant de coefficient non nul. Une racine r vérifie P(r)=0. La variable z rappelle que l’on cherche aussi hors de la droite réelle.
Aucun réel n’annule P(z)=z²+1, mais i et −i l’annulent. Le polynôme n’est pas impossible : il faut préciser l’ensemble où résoudre. Les exposants sont des entiers positifs ou nuls ; 1/z et √z ne sont pas des termes polynomiaux.
2. D’une racine à un facteur
Diviser P(z) par z−r donne P(z)=(z−r)Q(z)+c, avec reste constant c. En posant z=r, on obtient P(r)=c. Ainsi :
P(r)=0 ⇔ P(z)=(z−r)Q(z).
C’est le théorème du facteur. Un point semblant être une racine sur un dessin ne suffit pas : le reste doit être nul. Pour z²+1, i correspond à z−i et −i à z+i : (z−i)(z+i)=z²−i²=z²+1. Le signe dans le facteur est opposé à celui de la racine.
3. Le théorème fondamental de l’algèbre
Tout polynôme non constant à coefficients complexes possède au moins une racine complexe. Nous énonçons ce théorème sans le démontrer : sa preuve demande d’autres outils. On en déduit la factorisation : une racine trouvée, diviser par son facteur réduit le degré de un. Répéter finit par laisser une constante non nulle.
P(z)=a_n∏(z−r_j)^(m_j), avec ∑m_j=n.
Les r_j sont distinctes et les entiers positifs m_j sont leurs multiplicités. Le degré compte les racines avec répétitions, pas forcément des points différents. Le théorème garantit l’existence, pas une formule simple ni un algorithme immédiat.
4. Le second degré, même à discriminant négatif
Pour Az²+Bz+C=0 avec A,B,C réels et A≠0, multiplier par 4A puis compléter le carré donne (2Az+B)²=B²−4AC=Δ. Si Δ≥0, utiliser les racines réelles ; si Δ<0, ses racines carrées sont ±i√(−Δ).
z₁,₂=(−B±√Δ)/(2A)
Pour Δ<0 : z₁,₂=(−B±i√(−Δ))/(2A).
Exemple : z²−2z+5=0. Δ=4−20=−16, donc z=(2±4i)/2=1±2i. Factorisation : [z−(1+2i)][z−(1−2i)]. Pour Δ=0, la seule racine distincte −B/(2A) est double. Si A=0, traiter le cas linéaire ou constant, pas le second degré.
5. Une racine double n’est pas deux points
Problème : résoudre P(z)=(z−1)²(z²+1)=0. Un produit est nul si au moins un facteur l’est. La racine 1 a multiplicité 2 ; i et −i ont multiplicité 1. Il y a trois solutions distinctes, mais 2+1+1=4 racines avec multiplicités, comme le degré.
En développant : P(z)=z⁴−2z³+2z²−2z+1. La multiplicité m de r est le plus grand exposant tel que (z−r)^m divise P : P(z)=(z−r)^m Q(z), avec Q(r)≠0. On trace un point pour r et on indique m=2, pas deux points séparés ou décalés.
6. Comment mesurer la multiplicité
Diviser successivement par z−r tant que le reste est nul. Pour P(z)=z⁴−2z³+2z²−2z+1 et r=1, le premier quotient est z³−z²+z−1 ; le deuxième z²+1 ; le troisième essai a pour reste 2. La racine 1 est donc exactement double.
Le dernier reste non nul compte : sinon on saurait seulement que la multiplicité vaut au moins deux. Pour un polynôme non nul, un autre critère est P(r)=P′(r)=…=P^(m−1)(r)=0 et P^(m)(r)≠0. Ici P′(1)=0 et P″(1)=4≠0. Les divisions du laboratoire utilisent des fractions exactes, pas un seuil numérique pour décider si un reste est nul.
7. Pourquoi les conjuguées apparaissent
Si tous les coefficients de P sont réels, P(conj(z))=conj(P(z)) : la conjugaison conserve sommes et produits et fixe les réels. Ainsi P(r)=0 implique P(conj(r))=0. Les racines non réelles vont par paires conjuguées de mêmes multiplicités : conjuguer une factorisation conserve les exposants.
Pour r=a+bi avec b≠0, la conjuguée est a−bi : même a et b opposé. Une racine réelle est sa propre conjuguée et ne se double pas. L’hypothèse réelle est essentielle : P(z)=z−i a pour constante −i et racine i, mais pas −i. Construisez ce contre-exemple dans le laboratoire.
8. Factoriser dans ℂ ou dans ℝ
Dans ℂ, tout polynôme non constant se factorise en facteurs linéaires. Dans ℝ, des facteurs quadratiques irréductibles peuvent subsister. Une paire conjuguée se regroupe ainsi :
[z−(a+bi)][z−(a−bi)]=z²−2az+(a²+b²).
Pour b≠0, le discriminant −4b²<0 exclut les racines réelles. Pour 1±2i on obtient z²−2z+5. Dire « non factorisable » exige donc un ensemble : quels coefficients autorise-t-on ? À coefficients réels, facteurs linéaires réels et paires quadratiques reconstruisent tout le polynôme, sans perdre le coefficient dominant.
9. Somme et produit : attention aux signes
Développer (z−r₁)(z−r₂) donne z²−(r₁+r₂)z+r₁r₂. Les racines de z²+bz+c ont donc somme −b et produit c. Pour z²+5z+6, elles sont −2 et −3, pas 2 et 3. Les facteurs sont (z+2)(z+3).
∑r_j=−a_(n−1)/a_n; ∏r_j=(−1)ⁿa₀/a_n.
Ces formules de Viète comptent les racines avec répétitions. Pour (z−1)²(z²+1), somme 1+1+i−i=2 et produit 1·1·i·(−i)=1 correspondent aux coefficients. Ce sont des contrôles utiles, mais au-delà du second degré, somme et produit seuls ne certifient pas toutes les racines.
10. Horner : multiplier, ajouter, vérifier
Problème : tester r=1 pour P(z)=z³−z²+z−1. Lister les coefficients décroissants : 1,−1,1,−1. Abaisser 1, puis multiplier le dernier résultat par r et ajouter le coefficient suivant. On obtient 1,0,1,0. Le dernier est le reste P(1)=0 ; les précédents sont les coefficients de Q(z)=z²+1.
Ainsi P(z)=(z−1)(z²+1)=(z−1)(z−i)(z+i). Ne pas omettre les coefficients nuls : z³+1 exige 1,0,0,1. L’algorithme vaut aussi pour r complexe, avec sommes et produits complexes. Le laboratoire détaille les opérations et permet de recommencer sur le quotient.
11. Trouver des racines sans deviner
Chercher d’abord une structure. Pour z⁴+5z²+4=0, poser t=z² : t²+5t+4=(t+1)(t+4)=0. Donc z²=−1 ou z²=−4, d’où z=±i,±2i. Factorisation : (z²+1)(z²+4), ou quatre facteurs linéaires dans ℂ. Le laboratoire reconstruit ces facteurs et contrôle les coefficients.
À coefficients entiers, une racine rationnelle p/q réduite a p divisant la constante et q divisant le coefficient dominant. Ce sont seulement des candidats à tester ; si la constante est nulle, factoriser d’abord la puissance de z. Ne pas trouver de racines rationnelles n’exclut pas les racines réelles ou complexes. Pour zⁿ=w, utiliser l’étape 6.
12. Ce que le laboratoire certifie
Trois activités : résoudre les équations réelles de degré au plus deux dans les limites des entrées ; construire un polynôme avec des racines rationnelles complexes et multiplicités choisies ; tester exactement une candidate pour un polynôme réel rationnel de degré au plus huit. Cette dernière activité ne prétend pas trouver toutes les autres racines : le quotient restant est indiqué comme non encore factorisé.
Un petit reste non nul ne certifie pas une racine. Par exemple z²−2z+9999/10000=(z−99/100)(z−101/100) a deux racines proches distinctes, pas une double. Les fractions les distinguent exactement. Le polynôme nul s’annule partout, sans multiplicité finie à attribuer à chaque point ; une constante non nulle n’a pas de racines. Il faut reconnaître ces cas.
Douze exercices à chercher
1. Résoudre z²+5z+6=0 en vérifiant les signes.
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Racines : −2 et −3 ; somme −5, produit 6. Facteurs : (z+2)(z+3), pas (z−2)(z−3).
2. Résoudre z²−4z+13=0.
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Δ=16−52=−36. z=(4±6i)/2=2±3i. Donc P(z)=[z−(2+3i)][z−(2−3i)]. Le produit des racines vaut 13.
3. Combien de solutions distinctes pour (z+2)³(z−i)²=0 ?
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Deux : −2 de multiplicité 3 et i de multiplicité 2. Avec répétitions, on compte 5, comme le degré. Ne pas ajouter automatiquement −i : les coefficients ne sont pas tous réels.
4. Construire le polynôme unitaire de racine double 1 et simples ±i.
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P=(z−1)²(z−i)(z+i)=(z−1)²(z²+1)=z⁴−2z³+2z²−2z+1. Les multiplicités somment à 4 ; le coefficient dominant vaut 1.
5. Un polynôme réel a pour racine double 3−2i : que déduire ?
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3+2i est double aussi. Le degré est au moins 4 et [(z−3)²+4]²=(z²−6z+13)² divise P. D’autres racines peuvent exister.
6. Appliquer Horner à z³+1 en r=−1.
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Les coefficients 1,0,0,1 donnent 1,−1,1,0. Quotient z²−z+1, reste 0. Donc P=(z+1)(z²−z+1), autres racines (1±i√3)/2.
7. Résoudre z⁴+5z²+4=0.
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Poser t=z² : (t+1)(t+4)=0. z²=−1 et z²=−4 donnent i,−i,2i,−2i, toutes simples. Factorisation réelle : (z²+1)(z²+4).
8. P(2)=0 et P′(2)=0 prouvent-ils une racine exactement double ?
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Non : pour un polynôme non nul, c’est au moins double. Il faut P″(2)≠0, ou deux divisions exactes puis un reste non nul. Pour (z−2)³, P″(2)=0 aussi.
9. Construire P de coefficient dominant 2 et racines ±i.
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P=2(z−i)(z+i)=2z²+2. Garder le facteur 2 : les racines seules déterminent un polynôme à une constante multiplicative non nulle près.
10. Le reste 1/100000 est-il nul pour le théorème du facteur ?
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Non. Il est positif non nul : la candidate n’est pas une racine exacte. Une approximation numérique est une autre affirmation et ne certifie pas la multiplicité.
11. Comparer les polynômes constants P(z)=0 et P(z)=7.
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L’équation P(z)=0 est une identité dans le premier cas : tout z convient, sans multiplicité finie usuelle. Le second demande 7=0, sans solution. Le théorème fondamental concerne les polynômes non constants.
12. Pour P(z)=z⁵−3z⁴+2, trouver somme et produit des racines.
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Avec répétitions, somme −(−3)/1=3 et produit (−1)⁵·2=−2. Ces données seules ne donnent ni les racines individuelles ni leurs multiplicités.
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