¿Un polinomio de grado cuatro debe tener cuatro soluciones diferentes? No: una raíz puede repetirse. Esta etapa relaciona tres lecturas del mismo objeto: una ecuación, un producto de factores y puntos en el plano complejo.
Índice del recorrido · Laboratorio: ecuaciones, factores y multiplicidades · Etapa 6: todas las raíces complejas
1. ¿Qué resolvemos?
Un polinomio es P(z)=a_n zⁿ+a_(n−1)z^(n−1)+…+a₁z+a₀, con coeficientes complejos y a_n≠0. Su grado n es el mayor exponente de coeficiente no nulo. Una raíz r cumple P(r)=0. Usar z recuerda que buscamos también fuera de la recta real.
Ningún real anula P(z)=z²+1, pero i y −i sí. No es un polinomio imposible: hay que precisar el conjunto donde resolvemos. Los exponentes son enteros no negativos; 1/z y √z no son términos polinómicos.
2. De una raíz a un factor
Dividir P(z) entre z−r da P(z)=(z−r)Q(z)+c, con resto constante c. Sustituyendo z=r obtenemos P(r)=c. Por tanto:
P(r)=0 ⇔ P(z)=(z−r)Q(z).
Es el teorema del factor. No basta que un punto parezca una raíz en el dibujo: el resto debe ser cero. Para z²+1, i corresponde a z−i y −i a z+i: (z−i)(z+i)=z²−i²=z²+1. El signo del factor es opuesto al de la raíz.
3. El teorema fundamental del álgebra
Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. Enunciamos el teorema sin demostrarlo: su prueba requiere otras herramientas. Podemos deducir la factorización: al encontrar una raíz y dividir por su factor, el grado baja uno. Repitiendo se llega a una constante no nula.
P(z)=a_n∏(z−r_j)^(m_j), con ∑m_j=n.
Las r_j son distintas y los enteros positivos m_j sus multiplicidades. El grado cuenta raíces con repeticiones, no necesariamente puntos diferentes. El teorema garantiza existencia, no una fórmula sencilla ni un algoritmo inmediato.
4. Segundo grado, también con discriminante negativo
Para Az²+Bz+C=0 con A,B,C reales y A≠0, multiplicar por 4A y completar el cuadrado da (2Az+B)²=B²−4AC=Δ. Si Δ≥0 usamos raíces reales; si Δ<0, sus raíces cuadradas son ±i√(−Δ).
z₁,₂=(−B±√Δ)/(2A)
Para Δ<0: z₁,₂=(−B±i√(−Δ))/(2A).
Ejemplo: z²−2z+5=0. Δ=4−20=−16, luego z=(2±4i)/2=1±2i. Factorización: [z−(1+2i)][z−(1−2i)]. Si Δ=0, la única raíz distinta −B/(2A) es doble. Si A=0 hay que tratar el caso lineal o constante, no el segundo grado.
5. Una raíz doble no son dos puntos
Problema: resolver P(z)=(z−1)²(z²+1)=0. Un producto es cero si al menos un factor lo es. La raíz 1 tiene multiplicidad 2; i y −i tienen multiplicidad 1. Hay tres soluciones distintas, pero 2+1+1=4 raíces contando multiplicidades, como el grado.
Al desarrollar: P(z)=z⁴−2z³+2z²−2z+1. La multiplicidad m de r es el mayor exponente tal que (z−r)^m divide P: P(z)=(z−r)^m Q(z), con Q(r)≠0. Dibujamos un punto para r con m=2, no dos puntos separados o desplazados.
6. Cómo medir la multiplicidad
Dividimos sucesivamente entre z−r mientras el resto sea cero. Para P(z)=z⁴−2z³+2z²−2z+1 y r=1, el primer cociente es z³−z²+z−1; el segundo z²+1; el tercer intento tiene resto 2. Por tanto 1 es exactamente doble.
El último resto no nulo importa: sin él solo sabríamos que la multiplicidad es al menos dos. Para un polinomio no nulo, otro criterio es P(r)=P′(r)=…=P^(m−1)(r)=0 pero P^(m)(r)≠0. Aquí P′(1)=0 y P″(1)=4≠0. Las divisiones usan fracciones exactas, no tolerancias numéricas para decidir si un resto es cero.
7. Por qué aparecen conjugadas
Si todos los coeficientes de P son reales, P(conj(z))=conj(P(z)): conjugar conserva sumas y productos y deja fijos los reales. Así P(r)=0 implica P(conj(r))=0. Las raíces no reales forman parejas conjugadas con igual multiplicidad: conjugar la factorización conserva los exponentes.
Para r=a+bi con b≠0, su conjugada es a−bi: mismo a, b opuesto. Una raíz real coincide con su conjugada y no debe duplicarse. La hipótesis real es esencial: P(z)=z−i tiene constante −i y raíz i, pero no −i. Puedes construir este contraejemplo en el laboratorio.
8. Factorizar en ℂ o en ℝ
En ℂ todo polinomio no constante se factoriza en factores lineales. En ℝ pueden quedar factores cuadráticos irreducibles. Una pareja conjugada se agrupa así:
[z−(a+bi)][z−(a−bi)]=z²−2az+(a²+b²).
Para b≠0 el discriminante −4b²<0 excluye raíces reales. Para 1±2i obtenemos z²−2z+5. Decir «no se puede factorizar» exige precisar el conjunto de coeficientes admitidos. Con coeficientes reales, los factores lineales reales y estas parejas cuadráticas reconstruyen todo el polinomio, conservando el coeficiente principal.
9. Suma y producto: cuidado con los signos
Desarrollar (z−r₁)(z−r₂) da z²−(r₁+r₂)z+r₁r₂. Las raíces de z²+bz+c tienen suma −b y producto c. Para z²+5z+6 son −2 y −3, no 2 y 3. Los factores son (z+2)(z+3).
∑r_j=−a_(n−1)/a_n; ∏r_j=(−1)ⁿa₀/a_n.
Estas fórmulas de Viète cuentan raíces con repeticiones. Para (z−1)²(z²+1), la suma 1+1+i−i=2 y el producto 1·1·i·(−i)=1 coinciden con los coeficientes. Son controles útiles, pero para grados mayores que dos no certifican por sí solos todas las raíces.
10. Horner: multiplicar, sumar y comprobar
Problema: probar r=1 para P(z)=z³−z²+z−1. Ordenamos los coeficientes: 1,−1,1,−1. Bajamos 1; luego multiplicamos el último resultado por r y sumamos el siguiente coeficiente. Obtenemos 1,0,1,0. El último es el resto P(1)=0; los anteriores son coeficientes de Q(z)=z²+1.
Así P(z)=(z−1)(z²+1)=(z−1)(z−i)(z+i). No omitas coeficientes nulos: z³+1 necesita 1,0,0,1. El algoritmo también vale para r complejo con sumas y productos complejos. El laboratorio detalla cada operación y permite repetir la división sobre el cociente.
11. Encontrar raíces sin adivinar
Busca primero la estructura. Para z⁴+5z²+4=0 ponemos t=z²: t²+5t+4=(t+1)(t+4)=0. Así z²=−1 o z²=−4, y z=±i,±2i. La factorización es (z²+1)(z²+4), o cuatro factores lineales en ℂ. El laboratorio reconstruye estos factores y comprueba sus coeficientes.
Con coeficientes enteros, una raíz racional p/q reducida tiene p divisor del término independiente y q divisor del principal. Son solo candidatos que hay que comprobar; si la constante es cero, primero extrae la potencia de z. No encontrar raíces racionales no excluye raíces reales o complejas. Para zⁿ=w se usa la etapa 6.
12. Qué certifica el laboratorio
Tres actividades: resolver ecuaciones reales de grado como máximo dos dentro de los límites de entrada; construir un polinomio desde raíces racionales complejas y multiplicidades; comprobar exactamente una candidata para un polinomio real racional de grado máximo ocho. La última actividad no pretende encontrar las demás raíces: el cociente restante se marca como no factorizado todavía.
Un resto pequeño no nulo no certifica una raíz. Por ejemplo z²−2z+9999/10000=(z−99/100)(z−101/100) tiene dos raíces próximas distintas, no una doble. Las fracciones distinguen los casos exactamente. El polinomio cero se anula en todo z, sin multiplicidad finita para cada punto; una constante no nula no tiene raíces. Hay que reconocer estos casos.
Doce ejercicios para intentar
1. Resuelve z²+5z+6=0 y comprueba los signos.
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Raíces: −2 y −3; suma −5, producto 6. Factores: (z+2)(z+3), no (z−2)(z−3).
2. Resuelve z²−4z+13=0.
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Δ=16−52=−36. z=(4±6i)/2=2±3i. Así P(z)=[z−(2+3i)][z−(2−3i)]. El producto de raíces es 13.
3. ¿Cuántas soluciones distintas tiene (z+2)³(z−i)²=0?
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Dos: −2 de multiplicidad 3 e i de multiplicidad 2. Con repeticiones son 5, como el grado. No añadas −i automáticamente: los coeficientes no son todos reales.
4. Construye el polinomio mónico con raíz doble 1 y simples ±i.
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P=(z−1)²(z−i)(z+i)=(z−1)²(z²+1)=z⁴−2z³+2z²−2z+1. Las multiplicidades suman 4; el coeficiente principal es 1.
5. Un polinomio real tiene raíz doble 3−2i: ¿qué sigue?
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3+2i también es doble. El grado es al menos 4 y [(z−3)²+4]²=(z²−6z+13)² divide P. Puede haber otras raíces.
6. Aplica Horner a z³+1 con r=−1.
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Los coeficientes 1,0,0,1 dan 1,−1,1,0. Cociente z²−z+1, resto 0. Así P=(z+1)(z²−z+1), con otras raíces (1±i√3)/2.
7. Resuelve z⁴+5z²+4=0.
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Pon t=z²: (t+1)(t+4)=0. z²=−1 y z²=−4 dan i,−i,2i,−2i, todas simples. Factorización real: (z²+1)(z²+4).
8. ¿P(2)=0 y P′(2)=0 prueban una raíz exactamente doble?
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No: para un polinomio no nulo indican al menos doble. Hace falta P″(2)≠0, o dos divisiones exactas seguidas de resto no nulo. Para (z−2)³ también P″(2)=0.
9. Construye P con coeficiente principal 2 y raíces ±i.
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P=2(z−i)(z+i)=2z²+2. Conserva el factor 2: las raíces solo determinan el polinomio salvo un factor constante no nulo.
10. ¿El resto 1/100000 es cero para el teorema del factor?
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No. Es positivo no nulo: la candidata no es una raíz exacta. Una aproximación numérica es otra afirmación y no certifica multiplicidad.
11. Compara los polinomios constantes P(z)=0 y P(z)=7.
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La ecuación P(z)=0 es identidad en el primer caso: todo z sirve, sin multiplicidad finita usual. El segundo pide 7=0 y no tiene soluciones. El teorema fundamental trata polinomios no constantes.
12. Para P(z)=z⁵−3z⁴+2, halla suma y producto de raíces.
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Con repeticiones, suma −(−3)/1=3 y producto (−1)⁵·2=−2. Estos datos no dan por sí solos las raíces individuales ni sus multiplicidades.
Índice del recorrido · Laboratorio: ecuaciones, factores y multiplicidades