Les complexes ne servent pas seulement à résoudre des équations sans racines réelles. Ils réunissent longueur et direction, amplitude et phase, ou deux coordonnées d’un calcul répété. Nous concluons les huit étapes par trois applications concrètes.
Index du parcours · Laboratoire : à quoi servent les complexes · Étape 7 : équations et polynômes
1. Pas de magie : un langage compact
Un point (x,y) devient z=x+iy ; un produit change module et argument ; une exponentielle complexe décrit une rotation. Il ne s’agit pas de remplacer les réels par du mystère, mais d’organiser deux informations réelles avec des règles utiles.
Tous les problèmes ne deviennent pas faciles, mais certaines opérations s’écrivent et se composent mieux. Le laboratoire distingue modèle exact, valeurs numériques approchées et dessin fini. Une belle image ne constitue pas à elle seule une preuve ni un modèle physique complet.
2. Une oscillation est la projection d’une rotation
Un point tournant sur un cercle s’écrit Z(t)=A e^(i(ωt+φ)), avec A≥0, ω=2πf et phase initiale φ. Euler donne Z(t)=A cos(ωt+φ)+iA sin(ωt+φ). Sa projection horizontale est x(t)=Re Z(t)=A cos(ωt+φ).
x(t)=A cos(2πft+φ), T=1/f pour f>0.
A est l’amplitude, f la fréquence en hertz, T la période en secondes et φ un angle en radians. Pour f=0, aucune rotation : x(t) est constante, sans période 1/0. Pour A=0, la projection est nulle. Ce modèle décrit une sinusoïde idéale, pas toute vibration réelle.
3. Additionner des ondes de même fréquence
Pour deux sinusoïdes de même ω, factorisons le temps : Z₁(t)+Z₂(t)=[A₁e^(iφ₁)+A₂e^(iφ₂)]e^(iωt). Posons C=A₁e^(iφ₁)+A₂e^(iφ₂). Si C≠0, la somme a amplitude |C| et phase Arg(C). C est le phaseur résultant, avec amplitudes de crête ici.
A_tot²=A₁²+A₂²+2A₁A₂ cos(φ₂−φ₁).
Développer |C|²=C·conj(C) donne la formule. Pour A₁=2,A₂=1 et mêmes phases, l’amplitude vaut 3. Si C=0, la somme est nulle et n’a pas de phase résultante définie. Des fréquences différentes ne partagent pas un même e^(iωt) : leur somme n’est généralement pas une seule sinusoïde de cette forme.
4. Deux exemples : quadrature et annulation
Problème : additionner 2cos(πt) et cos(πt+π/2). Fréquence commune f=1/2 Hz, donc T=2 s. Les phaseurs 2 et i donnent C=2+i, |C|=√5 et Arg(C)=atan2(1,2)≈0,463648 rad. La somme est √5 cos(πt+Arg(C)), pas d’amplitude 3. À t=0 elle vaut 2 ; à t=1/2, −1.
Deuxième problème : 2cos(πt)+2cos(πt+π)=0 pour tout t. L’annulation exige amplitudes égales et phases opposées. π/3 et 4π/3 s’annulent aussi à amplitudes égales : le laboratoire reconnaît cette relation sans inventer une phase à partir d’un petit résidu numérique.
5. Transformer une figure avec w=αz+β
La transformation w=αz+β agit sur chaque point. Pour α=ρe^(iθ)≠0, le produit tourne de θ autour de l’origine et multiplie les longueurs par ρ ; β translate ensuite. Les angles sont conservés et les aires multipliées par |α|². Autour d’un autre centre h, utiliser w=h+α(z−h), pas la même formule centrée à l’origine.
Exemple : α=i, β=1−i, z=2+i. i(2+i)=−1+2i, donc w=i. Une rotation de 90° puis une translation envoient (2,1) sur (0,1). Le laboratoire transforme un triangle et un point choisi ; les images intermédiaires illustrent les opérations, pas d’autres formules finales.
6. Miroir, orientation et inverse
La conjugaison z↦conj(z) change (x,y) en (x,−y) : réflexion dans l’axe réel. w=αconj(z)+β avec α≠0 combine miroir, rotation, échelle et translation en inversant l’orientation du triangle. Multiplier par −1 tourne de 180° sans inverser l’orientation : ce n’est pas ce miroir.
w=αz+β ⇒ z=(w−β)/α.
w=αconj(z)+β ⇒ z=conj((w−β)/α).
Les inverses exigent α≠0. Pour α=0, tous les points deviennent β : figure réduite à un point, aire nulle, origine impossible à retrouver. Le déterminant vaut |α|² sans miroir et −|α|² avec miroir ; zéro indique la perte de l’inverse.
7. Répéter une règle : z_(k+1)=z_k²+c
Une orbite est une suite issue d’une règle : fixer c et z₀, calculer z₁=z₀²+c, puis z₂=z₁²+c, etc. Chaque point vient du précédent, sans choix indépendant. Pour z_k=x+iy et c=a+ib :
x_next=x²−y²+a; y_next=2xy+b.
Exemple : c=1 et z₀=0 donnent 0,1,2,5,26,… . Pour c=−1 : 0,−1,0,−1,… . Les lignes sont des instants différents du calcul ; des points confondus peuvent avoir des indices différents. Le laboratoire montre z_k et explique le pas suivant.
8. Mandelbrot : varier le paramètre c
Pour Mandelbrot, fixer z₀=0 et varier c. Un paramètre appartient à l’ensemble si son orbite reste bornée. L’image est donc le plan des paramètres c, pas le trajet d’une orbite. Notre laboratoire suit un c ; celui des fractales répète le test sur de nombreux pixels.
Pour c=0, orbite fixe ; c=−1, périodique ; c=−2 : 0,−2,2,2,… . Dépasser strictement le module 2 indique la fuite dans ce test. L’égalité ne suffit pas, comme le montre c=−2. La définition porte sur tous les pas, pas seulement les cent premiers.
9. Julia : varier le point initial
Fixer c et varier z₀ : les points initiaux d’orbite bornée forment l’ensemble de Julia rempli K_c ; son bord est J_c. Un pixel de Mandelbrot représente c ; un pixel de Julia représente z₀. Même formule, question différente.
Pour c=0, |z_k|=|z₀|^(2^k). Si |z₀|<1, cela tend vers zéro ; si |z₀|=1, cela reste un ; si |z₀|>1, cela diverge. K₀ est donc le disque unité et J₀ son cercle : pas toujours un bord déchiqueté. Comparer z₀=i, z₀=1/2 et z₀=2 sans confondre point d’orbite et ensemble entier.
10. Un test fini ne prouve pas l’infini
Pour c fixé et départ quelconque, utiliser R=max(2,|c|). Si r=|z|>R, alors |z²+c|≥r²−|c|>r(r−1)>r. Les modules suivants croissent avec un facteur au moins supérieur à un : l’orbite diverge. L’inégalité est stricte. Pour le départ spécial z₀=0 de Mandelbrot, la borne 2 suffit ; ne pas l’étendre sans contrôle à toute variante.
Aucune fuite en N pas signifie « pas de fuite observée en N », pas appartenance prouvée. Les couleurs codent temps de fuite ou données choisies, pas des couleurs intrinsèques. La virgule flottante arrondit aussi : près d’une frontière, précision et vérifications supplémentaires sont nécessaires.
11. Le lien avec le parcours sur les fractales
L’article et le laboratoire existants sur les fractales explorent Sierpiński, Cantor, Koch, arbres, Mandelbrot et Julia. Nous ne les remplaçons pas : nous expliquons leurs opérations complexes. Choisir Mandelbrot ou Julia dans ce laboratoire pour passer d’une orbite à de nombreux points du plan.
Le lien dépasse z²+c. Le triangle de Sierpiński utilise trois contractions : f₁(z)=z/2, f₂(z)=z/2+1/2, f₃(z)=z/2+(1+i√3)/4. Chacune divise les longueurs par deux et place une copie à un sommet. Ce sont trois applications sur des copies d’un ensemble, pas l’orbite quadratique unique étudiée plus haut.
Article : fractales, géométrie et nature · Ouvrir le laboratoire des fractales
12. Conclusions : choisir la représentation utile
Nous sommes partis de i²=−1 pour relier calculs, géométrie, puissances, racines et équations. Choisir maintenant la forme cartésienne pour sommes et vérifications, polaire ou exponentielle pour rotations et puissances, les facteurs pour racines et multiplicités, l’itération pour la dynamique. Aucune formule unique ne convient à tout.
Une expérience change une donnée, prévoit un résultat et compare dessin et calcul. Demander ce qui est fixe, variable, et ce que le calcul peut certifier. Les huit étapes sont disponibles : fin du parcours introductif, pas de toute l’analyse complexe. Signaux, oscillations et dynamiques plus générales demandent d’autres modèles et théorèmes.
Douze exercices à chercher
1. Pour x(t)=3cos(4πt), trouver la période et x(1/8).
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ω=4π=2πf donne f=2 Hz et T=1/2 s. À t=1/8, angle π/2 donc x=0. L’amplitude reste 3 malgré la projection instantanée nulle.
2. Additionner 2cos(ωt+φ) et 3cos(ωt+φ).
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Les phaseurs ont même direction : C=(2+3)e^(iφ). La somme est 5cos(ωt+φ), fréquence et phase inchangées.
3. Phases opposées, amplitudes 2 et 1 : annulation ?
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Non. C=2e^(iφ)+e^(i(φ+π))=(2−1)e^(iφ). Il reste une amplitude 1. L’annulation totale exige des amplitudes égales.
4. Pour les phaseurs 2 et i, trouver amplitude et phase.
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C=2+i, |C|=√5, Arg(C)=atan2(1,2)≈0,463648 rad. La somme des modules 3 n’est pas l’amplitude résultante.
5. Appliquer w=iz à z=1+i.
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w=i+i²=−1+i : rotation de 90°, longueurs conservées. (1,1) devient (−1,1), pas une translation ni un miroir.
6. Pour w=2z+1−i et z=3i, trouver image et facteur des aires.
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w=6i+1−i=1+5i. Les longueurs doublent, les aires sont multipliées par |2|²=4. La translation ne les change pas.
7. Comparer conj(2−3i) et −(2−3i).
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La conjugaison donne 2+3i, miroir dans l’axe réel. L’opposé −2+3i est une rotation de 180° autour de l’origine. Les transformations diffèrent.
8. w=0·z+(1+2i) possède-t-elle une inverse ?
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Non : tout point devient 1+2i, sans pouvoir retrouver un z unique. Déterminant et aire du triangle image sont nuls.
9. Calculer cinq termes de z²−1 à partir de z₀=0.
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z₀=0,z₁=−1,z₂=0,z₃=−1,z₄=0. Cycle de période 2 : cinq termes ne sont pas cinq points distincts.
10. Pour Mandelbrot avec c=1, quand dépasse-t-on 2 ?
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0→1→2→5 : au pas 3. Le pas 2 atteint 2 sans dépasser. Pour c=−2, l’orbite atteint 2 et y reste : ≥2 serait faux.
11. Que représente un pixel dans Mandelbrot et Julia ?
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Mandelbrot fait varier c avec z₀=0 fixé. Julia fait varier z₀ avec c fixé. Même règle z_next=z²+c, mais autre question et autre plan.
12. Aucune fuite en 100 pas prouve-t-elle une orbite bornée ?
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Non : cela indique seulement l’observation finie à la précision utilisée. Pour c=0, on prouve séparément K₀=disque unité et J₀=cercle grâce à |z_k|=|z₀|^(2^k).
Index du parcours · Laboratoire : à quoi servent les complexes