Problemas sin ecuaciones: 13 métodos aritméticos y 36 ejercicios razonados

Para resolver muchos problemas no hace falta empezar con una letra o una ecuación. Podemos dibujar, retroceder, corregir una primera hipótesis o buscar lo que no cambia. El objetivo no es adivinar una operación, sino comprender por qué funciona.

Este recorrido reúne 10 métodos de razonamiento aritmético con dos ejemplos cada uno, añade completar el todo, enumeración sistemática y agrupaciones inteligentes, y propone 16 ejercicios nuevos: 36 problemas en total. Incluso los ejemplos guiados tienen la solución oculta al principio.

Está pensado sobre todo para primaria. Las fracciones, razones, jornadas de trabajo y ganancias o pérdidas son retos para los últimos cursos, quizá con ayuda de un adulto. No hace falta abordarlo todo de una vez.

Antes de calcular: cómo elegir un método

Lee la pregunta, explica la situación con tus palabras y distingue los datos de lo que necesitas encontrar. Dibuja los objetos o una barra; escribe siempre la unidad de medida. Pregúntate después qué relación une las cantidades.

Los 13 apartados no son compartimentos aislados: segmentos y partes proporcionales están relacionados; diferencia constante y total conservado son invariantes; falsa posición e intercambios describen a menudo el mismo razonamiento. Un problema puede tener más de un procedimiento correcto.

Los 36 problemas: observa, intenta y después abre la solución

Cada panel «Mostrar solución y comprobación» empieza cerrado. Primero inténtalo en tu cuaderno; después toca o pulsa su título para abrirlo y vuelve a pulsar para cerrarlo. Con teclado usa Tab y luego Intro o espacio. El último problema de cada método es un ejercicio para intentar sin ayuda.

1. Método hacia atrás

Parte del final y deshaz las operaciones en orden inverso: la última acción es la primera que debes deshacer. Una suma se deshace restando; una multiplicación, dividiendo.

Cuidado con el orden: no basta cambiar los signos. Si primero duplicas y después sumas, debes primero restar y luego dividir entre dos.

1. El número misterioso

   Ejemplo. Un número se duplica y después se le suman 14: el resultado es 50. ¿Cuál era el número?

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   1. Deshacemos la última suma: 50 − 14 = 36.
   2. Deshacemos la duplicación: 36 : 2 = 18. El número inicial era 18.

   Comprobación. Repetimos las acciones hacia delante: 18 × 2 + 14 = 50.

2. Los caramelos de Lucia

   Ejemplo. Lucia regala la mitad de sus caramelos y después otros 5; le quedan 9. ¿Cuántos tenía?

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   1. Antes del último regalo tenía 9 + 5 = 14 caramelos.
   2. Los 14 restantes eran la mitad de la cantidad inicial: 14 × 2 = 28. Tenía 28 caramelos.

   Comprobación. Regala la mitad y después otros 5: 28 : 2 − 5 = 9.

3. La máquina de números

   Inténtalo tú. Una máquina triplica un número y suma 9. La pantalla muestra 45. ¿Qué número entró?

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   1. Quitamos la última suma: 45 − 9 = 36.
   2. Antes de triplicar: 36 : 3 = 12. Entró el 12.

   Comprobación. 12 × 3 + 9 = 45: la pantalla vuelve a mostrar 45.

2. Método de falsa posición

Imagina una situación sencilla, aunque no sea la real. Calcula cuánto falta y cuánto cambia el total al sustituir un solo elemento: la diferencia indica cuántas correcciones hacen falta.

No son intentos al azar: cada sustitución debe producir siempre el mismo cambio. Si la diferencia no es divisible por ese cambio, no existe una solución con esos números enteros.

4. Gallinas y conejos

   Ejemplo. Hay 12 animales, todos gallinas o conejos, con 34 patas en total. ¿Cuántos conejos y cuántas gallinas hay?

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   1. Imaginamos que todos son gallinas: 12 × 2 = 24. Faltan 34 − 24 = 10 patas.
   2. Cada conejo que sustituye a una gallina añade 4 − 2 = 2 patas. Hacen falta 10 : 2 = 5 conejos.
   3. Las gallinas son 12 − 5 = 7.

   Comprobación. Hay 12 cabezas y 5 × 4 + 7 × 2 = 34 patas.

5. Dos precios de entradas

   Ejemplo. Se han vendido 20 entradas de 4 o 7 euros y se han recaudado 104 euros. ¿Cuántas entradas de cada precio se vendieron?

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   1. Si todas fueran de 4 euros: 20 × 4 = 80. Faltan 104 − 80 = 24 euros.
   2. Una sustitución añade 7 − 4 = 3 euros: 24 : 3 = 8 entradas de 7 euros.
   3. Quedan 20 − 8 = 12 entradas de 4 euros.

   Comprobación. 8 × 7 + 12 × 4 = 104; el número de entradas sigue siendo 20.

6. Los lápices de la tienda

   Inténtalo tú. Se venden 15 lápices, algunos de 2 euros y otros de 5 euros. Se recaudan 48 euros. ¿Cuántos son de cada tipo?

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   1. Con solo lápices de 2 euros: 15 × 2 = 30. Diferencia: 48 − 30 = 18.
   2. Cada sustitución añade 5 − 2 = 3 euros. Por tanto, 18 : 3 = 6 lápices son de 5 euros.
   3. Los de 2 euros son 15 − 6 = 9.

   Comprobación. 6 × 5 + 9 × 2 = 48; hay 15 lápices en total.

3. Método de segmentos

Dibuja una barra para la cantidad menor y varias barras iguales para la otra. Separa cualquier trozo adicional. Encuentra el valor de una parte y reconstruye las cantidades.

Las partes iguales deben representar la misma cantidad. Un trozo añadido, como 10 cm, no se convierte automáticamente en una parte igual a las demás.

7. Dos hermanos

   Ejemplo. Dos hermanos tienen juntos 80 euros; el mayor tiene el triple que el menor. ¿Cuánto tiene cada uno?

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   1. Dibujamos una parte para el menor y tres para el mayor: 1 + 3 = 4 partes.
   2. Una parte vale 80 : 4 = 20 euros. El menor tiene 20 euros; el mayor, 20 × 3 = 60 euros.

   Comprobación. El total es 20 + 60 = 80 y la razón es 60 : 20 = 3.

   

8. Dos cintas

   Ejemplo. Dos cintas miden juntas 70 cm. La segunda mide el doble que la primera, más 10 cm. ¿Cuánto mide cada una?

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   1. Separamos el trozo añadido: 70 − 10 = 60 cm.
   2. Quedan 1 + 2 = 3 partes iguales. Una parte mide 60 : 3 = 20 cm.
   3. La primera cinta mide 20 cm y la segunda 20 × 2 + 10 = 50 cm.

   Comprobación. 20 + 50 = 70; la segunda supera en 10 cm el doble de la primera.

9. Las dos cajas

   Inténtalo tú. Dos cajas contienen 54 fichas en total. La segunda contiene el doble que la primera, más 6. ¿Cuántas fichas hay en cada caja?

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   1. Quitamos mentalmente las 6 de más: 54 − 6 = 48.
   2. Hay 1 + 2 = 3 partes, cada una de 48 : 3 = 16 fichas.
   3. Primera caja: 16; segunda caja: 16 × 2 + 6 = 38 fichas.

   Comprobación. 16 + 38 = 54; se cumple la relación del doble más 6.

4. Diferencia constante

Sumar el mismo número a dos cantidades no cambia su diferencia. Las edades aumentan ambas un año cada año: la distancia permanece fija, aunque cambie la razón entre ellas.

Una diferencia no es constante en cualquier situación: trasladar dinero de una persona a otra hace bajar una cantidad y subir la otra. Aquí ambas deben cambiar del mismo modo.

10. Padre e hijo

    Ejemplo. Un padre tiene 42 años y su hijo 12. ¿Dentro de cuántos años tendrá el padre el doble de la edad del hijo?

    Mostrar solución y comprobación

    1. La diferencia es de 42 − 12 = 30 años y no cambia.
    2. Cuando el padre tenga dos partes y el hijo una, la diferencia será exactamente una parte: el hijo tendrá 30 años.
    3. Deben pasar 30 − 12 = 18 años.

    Comprobación. 42 + 18 = 60 y 12 + 18 = 30; por tanto, 60 : 30 = 2.

11. Dos hermanas

    Ejemplo. Anna tiene 25 euros más que Bea. Ambas reciben 10 euros. ¿Cuál será la diferencia entre sus ahorros?

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    1. Ambas suman la misma cantidad: ninguna recorta la distancia con la otra.
    2. La diferencia sigue siendo 25 euros. Podemos representar el cambio de la diferencia así: 25 + 10 − 10 = 25.

    Comprobación. Para comprobarlo, elegimos 40 y 15 euros: después del regalo son 50 y 25, todavía con 25 euros de diferencia.

12. ¿Cuándo será el triple?

    Inténtalo tú. Un padre tiene 36 años y su hija 8. ¿Dentro de cuántos años tendrá el padre el triple de la edad de su hija?

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    1. La diferencia es de 36 − 8 = 28 años.
    2. Tres partes menos una son 3 − 1 = 2 partes: cada parte vale 28 : 2 = 14 años. La hija deberá tener 14 años.
    3. La espera es de 14 − 8 = 6 años.

    Comprobación. El padre tendrá 36 + 6 = 42 años; 42 : 14 = 3.

5. Suma y diferencia

Quita mentalmente del total el trozo de más. Lo que queda son dos cantidades iguales: divide entre dos para encontrar la menor y vuelve a sumar el exceso para obtener la mayor.

El trozo de más se resta una sola vez del total. Con objetos enteros, el resto debe poder dividirse en dos grupos enteros iguales.

13. Los cromos

    Ejemplo. Dos amigos tienen 86 cromos en total; uno tiene 24 más que el otro. ¿Cuántos tiene cada uno?

    Mostrar solución y comprobación

    1. Eliminamos el exceso: 86 − 24 = 62 cromos.
    2. Dos grupos iguales: 62 : 2 = 31. Es la cantidad menor.
    3. La cantidad mayor es de 31 + 24 = 55 cromos.

    Comprobación. Suma: 31 + 55 = 86. Diferencia: 55 − 31 = 24.

14. Los dos caminos

    Ejemplo. Dos senderos miden juntos 18 km; el primero es 4 km más largo. ¿Cuánto mide cada uno?

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    1. Quitamos los 4 km adicionales: 18 − 4 = 14 km.
    2. El sendero corto mide 14 : 2 = 7 km.
    3. El primero, más largo, mide 7 + 4 = 11 km.

    Comprobación. 7 + 11 = 18 y 11 − 7 = 4.

15. Libros en las baldas

    Inténtalo tú. Dos baldas contienen 48 libros en total. La superior tiene 10 libros más que la inferior. ¿Cuántos libros hay en cada balda?

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    1. Quitamos los 10 de más: 48 − 10 = 38.
    2. La balda inferior tiene 38 : 2 = 19 libros.
    3. La superior tiene 19 + 10 = 29 libros.

    Comprobación. 19 + 29 = 48; además, 29 − 19 = 10.

6. Reducción a la unidad

Pasa primero de muchas unidades a una y después de una a la cantidad pedida. Precio por cuaderno, litros por botella o trabajo por persona muestran lo que permanece constante.

Pregúntate qué permanece constante. Más cuadernos cuestan más; más trabajadores pueden necesitar menos tiempo. En el trabajo suponemos ritmos iguales, ninguna interferencia y tareas perfectamente divisibles.

16. Los cuadernos

    Ejemplo. Siete cuadernos iguales cuestan 21 euros. ¿Cuánto cuestan 11 cuadernos del mismo tipo, sin descuentos?

    Mostrar solución y comprobación

    1. Precio de uno: 21 : 7 = 3 euros.
    2. Precio de 11: 3 × 11 = 33 euros.

    Comprobación. El precio unitario sigue siendo 33 : 11 = 3 euros.

17. Los trabajadores: un reto

    Ejemplo. Cinco trabajadores terminan un trabajo en 12 días. ¿Cuánto tardan 3 trabajadores, al mismo ritmo, sin interferencias y con un trabajo perfectamente divisible?

    Mostrar solución y comprobación

    1. El trabajo total requiere 5 × 12 = 60 jornadas de una persona: una jornada-persona es el trabajo de una persona en un día.
    2. Una sola persona tardaría 60 días; tres se reparten ese trabajo: 60 : 3 = 20 días.

    Comprobación. 3 × 20 = 60 jornadas-persona: el mismo trabajo. Menos trabajadores necesitan más días, no menos.

18. La cinta por metros

    Inténtalo tú. Si 6 metros de cinta cuestan 18 euros, ¿cuánto cuestan 9 metros de la misma cinta al mismo precio por metro?

    Mostrar solución y comprobación

    1. Un metro cuesta 18 : 6 = 3 euros.
    2. Nueve metros cuestan 3 × 9 = 27 euros.

    Comprobación. El precio por metro es de 27 : 9 = 3 euros.

7. Partes proporcionales

Convierte cada razón en partes del mismo tamaño. Cuenta todas las partes, calcula el valor de una y asigna a cada persona el número correcto de partes.

«El triple del segundo» no significa «el triple del primero». Si el segundo tiene dos partes, el triple del segundo son seis partes.

19. Tres hermanos

    Ejemplo. Tres hermanos reparten 270 euros: el segundo recibe el doble que el primero y el tercero el triple que el segundo. ¿Cuánto recibe cada uno?

    Mostrar solución y comprobación

    1. Asignamos 1 parte al primero, 2 al segundo y 2 × 3 = 6 partes al tercero.
    2. Hay 1 + 2 + 6 = 9 partes en total; una parte vale 270 : 9 = 30 euros.
    3. Las cantidades son 30 euros, 30 × 2 = 60 euros y 30 × 6 = 180 euros.

    Comprobación. 30 + 60 + 180 = 270; el tercero tiene exactamente el triple que el segundo: 180 : 60 = 3.

20. Libros para dos escuelas

    Ejemplo. Dos escuelas reciben 120 libros para repartir en la razón 2 a 3. ¿Cuántos corresponden a la primera escuela y a la segunda?

    Mostrar solución y comprobación

    1. Hay 2 + 3 = 5 partes.
    2. Una parte vale 120 : 5 = 24 libros.
    3. Primera escuela: 24 × 2 = 48 libros; segunda escuela: 24 × 3 = 72 libros.

    Comprobación. 48 + 72 = 120; son dos y tres grupos de 24 libros.

21. Dos bolsas de caramelos

    Inténtalo tú. Reparte 96 caramelos entre dos bolsas en la razón 3 a 5. ¿Cuántos van en la primera y cuántos en la segunda?

    Mostrar solución y comprobación

    1. Hay 3 + 5 = 8 partes; una parte vale 96 : 8 = 12 caramelos.
    2. Primera bolsa: 12 × 3 = 36; segunda bolsa: 12 × 5 = 60.

    Comprobación. 36 + 60 = 96; hay tres y cinco grupos de 12.

8. Método de los intercambios

Mantén fijo el número de objetos e imagina intercambios de uno por uno. Cambiar una moneda de 1 euro por una de 2 euros aumenta el valor en 1 euro, no en 2.

Pertenece a la misma familia que la falsa posición: aquí se destaca cada intercambio individual. Recuerda contar también los objetos que no has sustituido.

22. Las monedas

    Ejemplo. Una hucha contiene 18 monedas de 1 o 2 euros que suman 29 euros. ¿Cuántas monedas hay de cada tipo?

    Mostrar solución y comprobación

    1. Partimos de monedas de 1 euro únicamente: 18 × 1 = 18. Necesitamos 29 − 18 = 11 euros más.
    2. Cada intercambio aumenta el valor en 2 − 1 = 1 euros: 11 : 1 = 11 intercambios, así que hay 11 monedas de 2 euros.
    3. Las de 1 euro son 18 − 11 = 7.

    Comprobación. 11 × 2 + 7 × 1 = 29; siguen siendo 18 monedas.

23. Las mesas

    Ejemplo. En una sala hay 12 mesas, algunas de 4 plazas y otras de 6, con 58 plazas en total. ¿Cuántas mesas hay de cada tipo?

    Mostrar solución y comprobación

    1. Imaginamos solo mesas de 4 plazas: 12 × 4 = 48 plazas. Faltan 58 − 48 = 10 plazas.
    2. Cada intercambio añade 6 − 4 = 2 plazas. Hacen falta 10 : 2 = 5 mesas de 6.
    3. Las de 4 son 12 − 5 = 7.

    Comprobación. 5 × 6 + 7 × 4 = 58; hay 12 mesas.

24. Paquetes simples y dobles de bolígrafos

    Inténtalo tú. Se venden 10 paquetes: los simples cuestan 3 euros y los dobles 5 euros. Se recaudan 42 euros. ¿Cuántos paquetes se venden de cada tipo?

    Mostrar solución y comprobación

    1. Con todos simples: 10 × 3 = 30 euros. Diferencia: 42 − 30 = 12 euros.
    2. Cada intercambio aumenta la recaudación en 5 − 3 = 2 euros: 12 : 2 = 6 paquetes dobles.
    3. Quedan 10 − 6 = 4 paquetes simples.

    Comprobación. 6 × 5 + 4 × 3 = 42; contamos los paquetes, no el número de bolígrafos.

9. Método del invariante

Busca una cantidad que no cambia. Trasladar canicas de una caja a otra cambia el reparto, pero no el total; puedes reconstruir el principio deshaciendo el traslado.

Define el límite: si alguien regala objetos a una persona externa, el total de los dos grupos iniciales puede disminuir. Siempre hay que explicar por qué algo «no cambia».

25. Las canicas en las cajas

    Ejemplo. Dos cajas contienen 100 canicas en total. Después de pasar 15 de la primera a la segunda, cada una contiene 50. ¿Cuántas tenían al principio?

    Mostrar solución y comprobación

    1. El total sigue siendo 100. Para deshacer el traslado, devolvemos 15 canicas a la primera: 50 + 15 = 65.
    2. Quitamos esas mismas 15 de la segunda: 50 − 15 = 35. Al principio eran 65 y 35.

    Comprobación. 65 + 35 = 100; al repetir el traslado obtenemos 65 − 15 = 50 y 35 + 15 = 50.

26. La suma escondida

    Ejemplo. Marco y Sara tienen juntos 74 cromos. Marco da 9 a Sara. ¿Cuántos cromos tienen juntos después del intercambio?

    Mostrar solución y comprobación

    1. Los 9 cromos no desaparecen: salen del grupo de Marco, pero entran en el de Sara.
    2. El efecto sobre el total es 74 − 9 + 9 = 74. Siguen teniendo 74 cromos; no hace falta conocer cuántos tenía cada uno.

    Comprobación. Ningún cromo entra ni sale del grupo formado por Marco y Sara.

27. Dos recipientes

    Inténtalo tú. Dos recipientes contienen juntos 60 litros de agua. Después de trasvasar 8 litros del primero al segundo, contienen la misma cantidad. ¿Cuánto contenían al principio?

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    1. Al final cada recipiente contiene 60 : 2 = 30 litros.
    2. Retrocedemos: el primero contenía 30 + 8 = 38 litros y el segundo 30 − 8 = 22 litros.

    Comprobación. 38 + 22 = 60; después del trasvase, 38 − 8 = 30 y 22 + 8 = 30. No hemos perdido agua.

10. Diferencias sucesivas

Compara dos situaciones del mismo grupo: ¿cuánto cambia el total? ¿Cuánto cambia la aportación de una persona u objeto? Divide el cambio total entre el cambio individual.

Pasar de una cantidad que falta a otra que sobra cruza el cero: debes sumar ambas distancias. Estos problemas son retos; ayuda dibujar una línea con el cero en el centro.

28. El comerciante: un reto

    Ejemplo. Un comerciante vende todos los objetos al mismo precio. A 7 euros por objeto perdería 30 euros respecto al gasto total; a 9 euros ganaría 50 euros. ¿Cuántos objetos hay?

    Mostrar solución y comprobación

    1. Para pasar de pérdida a ganancia, la recaudación aumenta en 30 + 50 = 80 euros.
    2. Cada objeto aporta 9 − 7 = 2 euros más. Hay 80 : 2 = 40 objetos.
    3. Si también queremos reconstruir el gasto total, es de 310 euros.

    Comprobación. Con el precio de 7 euros: 40 × 7 + 30 = 310. Con el de 9 euros: 40 × 9 − 50 = 310. El gasto es el mismo.

29. La excursión

    Ejemplo. Para pagar una excursión, si cada participante aporta 12 euros faltan 24 euros; si aporta 15 euros sobran 18 euros. El coste no cambia. ¿Cuántos participantes hay?

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    1. Pasar de una falta a un sobrante equivale a 24 + 18 = 42 euros.
    2. Cada participante aporta 15 − 12 = 3 euros más. Hay 42 : 3 = 14 participantes.

    Comprobación. El coste es de 14 × 12 + 24 = 192 euros o de 14 × 15 − 18 = 192 euros: coincide.

30. El regalo de la clase

    Inténtalo tú. Si cada niño aporta 4 euros faltan 7 euros para un regalo; aportando 5 euros cada uno sobran 6 euros. ¿Cuántos niños participan?

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    1. La diferencia entre ambas recaudaciones es de 7 + 6 = 13 euros.
    2. Cada niño añade 5 − 4 = 1 euros. Por tanto, participan 13 : 1 = 13 niños.

    Comprobación. El regalo cuesta 13 × 4 + 7 = 59 euros, y también 13 × 5 − 6 = 59 euros.

11. Completar el todo

Imagina el total como una caja llena o una barra completa. Reúne primero las partes conocidas y réstalas del total. Si conoces una fracción, calcula antes cuántos objetos representa.

Comprueba que las partes no se solapen: no puedes restar dos veces los mismos objetos. Las partes de una fracción del todo deben ser iguales.

31. Las casillas coloreadas

    Ejemplo. Una hoja contiene 28 casillas iguales. Coloreas tres cuartas partes. ¿Cuántas quedan blancas?

    Mostrar solución y comprobación

    1. Dividimos el todo en cuatro partes: 28 : 4 = 7 casillas por parte.
    2. Las tres partes coloreadas contienen 7 × 3 = 21 casillas.
    3. El complemento es de 28 − 21 = 7 casillas blancas. También podemos observar que falta una cuarta parte.

    Comprobación. 21 + 7 = 28: las casillas coloreadas y blancas reconstruyen toda la hoja.

32. El álbum por completar

    Inténtalo tú. Un álbum tiene 100 espacios. El lunes pegas 37 cromos y el martes otros 28, todos diferentes y en espacios antes vacíos. ¿Cuántos espacios quedan vacíos?

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    1. Los espacios ocupados son 37 + 28 = 65.
    2. Los espacios pendientes son 100 − 65 = 35.

    Comprobación. 65 + 35 = 100; no hay duplicados ni espacios contados dos veces.

12. Enumeración sistemática

Elige un orden y respétalo: fija una primera elección y cambia la segunda; después pasa a la siguiente primera elección. Una lista o tabla evita olvidar casos y contarlos dos veces.

Decide antes si el orden importa y si se permite cero. Fresa-vainilla es la misma pareja de sabores que vainilla-fresa si el orden de las bolas no importa.

33. Dos sabores de helado

    Ejemplo. Hay vainilla, chocolate y fresa. Quieres dos sabores distintos y no importa su orden. ¿Cuántas parejas puedes elegir?

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    1. Fijamos vainilla: vainilla-chocolate y vainilla-fresa.
    2. Sin vainilla queda chocolate-fresa. Son 3 parejas; no añadimos fresa-vainilla porque ya está incluida.

    Comprobación. Si contáramos el orden habría 3 × 2 = 6 elecciones; cada pareja aparecería dos veces. Por tanto, 6 : 2 = 3.

34. Gastar exactamente 12 euros

    Inténtalo tú. Un bolígrafo cuesta 2 euros y un cuaderno 3 euros. ¿De cuántas maneras puedes gastar exactamente 12 euros? Puedes comprar cero bolígrafos o cero cuadernos; solo cuenta el número de objetos, no el orden de compra.

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    1. Probamos 0, 1, 2, 3 y 4 cuadernos: con más de 4 superaríamos 12 euros.
    2. Con 0 cuadernos compramos 12 : 2 = 6 bolígrafos; con 2 cuadernos, (12 − 2 × 3) : 2 = 3 bolígrafos; con 12 : 3 = 4 cuadernos, cero bolígrafos.
    3. Con 1 o 3 cuadernos quedan 9 o 3 euros, que no permiten un número entero de bolígrafos de 2 euros. Hay 3 maneras.

    Comprobación. Las parejas (bolígrafos, cuadernos) son (6, 0), (3, 2), (0, 4). Cada una cuesta 12 euros; la tabla agota los casos.

    Todas las posibilidades, por número de cuadernos

    Cuadernos	Euros restantes para bolígrafos	Bolígrafos que se pueden comprar
    0	12 €	6
    1	9 €	No entero: descartar
    2	6 €	3
    3	3 €	No entero: descartar
    4	0 €	0

13. Agrupaciones inteligentes

Cambia la agrupación de los sumandos sin cambiarlos: busca parejas que sumen 10, 20, 100 u otra cantidad cómoda. Cuenta los grupos y multiplica cuando sean iguales.

Cada número debe aparecer una sola vez. Esta libertad sirve para sumas; no puedes reordenar libremente restas o divisiones.

35. Suma del 1 al 20

    Ejemplo. Suma todos los números enteros del 1 al 20, ambos incluidos. ¿Cómo puedes evitar una larga cadena de sumas?

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    1. Emparejamos primero y último: 1 + 20 = 21. Después segundo y penúltimo: 2 + 19 = 21. Cada pareja tiene el mismo total.
    2. Hay 20 : 2 = 10 parejas. La suma es 10 × 21 = 210.

    Comprobación. Las parejas son (1, 20), (2, 19), hasta (10, 11): 10 parejas sin ningún número repetido.

36. Las cuatro cestas

    Inténtalo tú. Cuatro cestas contienen 19, 21, 18 y 22 manzanas. ¿Cuántas manzanas hay en total? Busca dos parejas cómodas.

    Mostrar solución y comprobación

    1. Agrupamos 19 + 21 = 40 y 18 + 22 = 40.
    2. El total es de 40 + 40 = 80 manzanas.

    Comprobación. Hemos usado una vez cada cantidad: 19, 21, 18, 22. No se ha añadido ni quitado ninguna manzana.

Qué conviene recordar

No busques enseguida «la fórmula correcta». Busca primero una estructura: algo que deshacer, una parte igual, una diferencia, un total conservado o una lista que organizar. Un dibujo y una frase pueden explicar más que una página de cálculos.

Antes de abrir la solución, escribe al menos un intento razonado. Después de leerla, ciérrala e intenta explicar el razonamiento sin mirar. Comprueba siempre el total, la diferencia, la razón y las unidades que se piden: un número plausible no basta.

Para profundizar en segmentos y partes iguales: otros 25 problemas ilustrados