Problèmes sans équations : 13 méthodes arithmétiques et 36 exercices raisonnés

Pour résoudre de nombreux problèmes, inutile de commencer par une lettre ou une équation. On peut dessiner, remonter les étapes, corriger une première hypothèse ou chercher ce qui reste inchangé. Le but n’est pas de deviner une opération, mais de comprendre pourquoi elle fonctionne.

Ce parcours rassemble 10 méthodes de raisonnement arithmétique, avec deux exemples chacune, ajoute le complément au tout, l’énumération systématique et les regroupements astucieux, puis propose 16 exercices nouveaux : 36 problèmes au total. Même les exemples guidés ont leur solution masquée au départ.

Il s’adresse surtout à l’école primaire. Les fractions, rapports, journées-ouvrier et bénéfices ou pertes sont des défis pour les dernières classes, éventuellement avec un adulte. Il n’est pas nécessaire de tout faire en une seule séance.

Avant de calculer : comment choisir une méthode

Lis la question, raconte la situation avec tes mots et distingue les données de ce que tu cherches. Dessine les objets ou une barre ; indique toujours l’unité. Demande-toi ensuite quelle relation relie les quantités.

Les 13 rubriques ne sont pas des compartiments étanches : segments et parts proportionnelles sont proches ; différence constante et total conservé sont des invariants ; fausse position et échanges décrivent souvent le même raisonnement. Un problème peut admettre plusieurs démarches correctes.

Les 36 problèmes : observe, essaie, puis ouvre la solution

Chaque volet « Afficher la solution et la vérification » est fermé au départ. Essaie d’abord sur ton cahier ; touche ou clique ensuite sur son titre pour l’ouvrir, puis de nouveau pour le fermer. Au clavier, utilise Tab, puis Entrée ou espace. Le dernier problème de chaque méthode est un exercice à essayer seul.

1. Raisonnement à rebours

Pars de la fin et annule les opérations dans l’ordre inverse : la dernière action est la première à défaire. Une addition s’annule par une soustraction, une multiplication par une division.

Attention à l’ordre : changer les signes ne suffit pas. Si on double puis on ajoute, il faut d’abord soustraire, puis diviser par deux.

1. Le nombre mystérieux

   Exemple. On double un nombre, puis on lui ajoute 14 : le résultat est 50. Quel était ce nombre ?

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   1. Annulons le dernier ajout : 50 − 14 = 36.
   2. Annulons le doublement : 36 : 2 = 18. Le nombre initial était 18.

   Vérification. Refaisons les actions dans le sens normal : 18 × 2 + 14 = 50.

2. Les bonbons de Lucia

   Exemple. Lucia donne la moitié de ses bonbons, puis encore 5 ; il lui en reste 9. Combien en avait-elle ?

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   1. Avant le dernier don, elle avait 9 + 5 = 14 bonbons.
   2. Les 14 restants étaient la moitié de la quantité initiale : 14 × 2 = 28. Elle avait 28 bonbons.

   Vérification. Elle donne la moitié, puis encore 5 : 28 : 2 − 5 = 9.

3. La machine à nombres

   À toi. Une machine triple un nombre et ajoute 9. L’écran affiche 45. Quel nombre est entré ?

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   1. Enlevons le dernier ajout : 45 − 9 = 36.
   2. Avant le triplement : 36 : 3 = 12. Le nombre entré est 12.

   Vérification. 12 × 3 + 9 = 45 : l’écran retrouve 45.

2. Méthode de fausse position

Imagine une situation simple, même si elle n’est pas réelle. Calcule ce qui manque et de combien le total change en remplaçant un seul élément : l’écart indique le nombre de corrections nécessaires.

Ce ne sont pas des essais au hasard : chaque remplacement doit produire le même changement. Si l’écart n’est pas divisible par ce changement, il n’existe pas de solution entière avec ces données.

4. Poules et lapins

   Exemple. Il y a 12 animaux, uniquement des poules et des lapins, avec 34 pattes au total. Combien y a-t-il de lapins et de poules ?

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   1. Imaginons uniquement des poules : 12 × 2 = 24. Il manque 34 − 24 = 10 pattes.
   2. Chaque lapin remplaçant une poule ajoute 4 − 2 = 2 pattes. Il faut 10 : 2 = 5 lapins.
   3. Il reste 12 − 5 = 7 poules.

   Vérification. Il y a 12 têtes et 5 × 4 + 7 × 2 = 34 pattes.

5. Deux prix de billets

   Exemple. On a vendu 20 billets à 4 ou 7 euros, pour une recette de 104 euros. Combien de billets de chaque prix ont été vendus ?

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   1. S’ils coûtaient tous 4 euros : 20 × 4 = 80. Il manque 104 − 80 = 24 euros.
   2. Un remplacement ajoute 7 − 4 = 3 euros : 24 : 3 = 8 billets à 7 euros.
   3. Il reste 20 − 8 = 12 billets à 4 euros.

   Vérification. 8 × 7 + 12 × 4 = 104 ; il y a toujours 20 billets.

6. Les crayons du magasin

   À toi. On vend 15 crayons, certains à 2 euros et d’autres à 5 euros. La recette est de 48 euros. Combien de chaque sorte a-t-on vendus ?

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   1. Avec seulement des crayons à 2 euros : 15 × 2 = 30. Écart : 48 − 30 = 18.
   2. Chaque remplacement ajoute 5 − 2 = 3 euros. Il y a donc 18 : 3 = 6 crayons à 5 euros.
   3. Les crayons à 2 euros sont au nombre de 15 − 6 = 9.

   Vérification. 6 × 5 + 9 × 2 = 48 ; il y a 15 crayons au total.

3. Méthode des segments

Dessine une barre pour la plus petite quantité et plusieurs barres identiques pour l’autre. Sépare le morceau supplémentaire s’il existe. Trouve la valeur d’une part et reconstruis les quantités.

Les parts égales doivent représenter la même quantité. Un morceau ajouté, par exemple 10 cm, ne devient pas automatiquement une part égale aux autres.

7. Deux frères

   Exemple. Deux frères ont ensemble 80 euros ; l’aîné a le triple du cadet. Combien chacun possède-t-il ?

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   1. Dessinons une part pour le cadet et trois pour l’aîné : 1 + 3 = 4 parts.
   2. Une part vaut 80 : 4 = 20 euros. Le cadet a 20 euros ; l’aîné a 20 × 3 = 60 euros.

   Vérification. Le total est 20 + 60 = 80 et le rapport est 60 : 20 = 3.

   

8. Deux rubans

   Exemple. Deux rubans mesurent ensemble 70 cm. Le deuxième mesure le double du premier, plus 10 cm. Quelle est la longueur de chacun ?

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   1. Séparons le morceau ajouté : 70 − 10 = 60 cm.
   2. Il reste 1 + 2 = 3 parts égales. Une part mesure 60 : 3 = 20 cm.
   3. Le premier ruban mesure 20 cm ; le deuxième 20 × 2 + 10 = 50 cm.

   Vérification. 20 + 50 = 70 ; le deuxième dépasse le double du premier de 10 cm.

9. Les deux boîtes

   À toi. Deux boîtes contiennent 54 jetons au total. La deuxième en contient le double de la première, plus 6. Combien chaque boîte contient-elle de jetons ?

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   1. Enlevons mentalement les 6 en plus : 54 − 6 = 48.
   2. Il y a 1 + 2 = 3 parts ; chacune vaut 48 : 3 = 16 jetons.
   3. Première boîte : 16 ; deuxième boîte : 16 × 2 + 6 = 38 jetons.

   Vérification. 16 + 38 = 54 ; la relation du double plus 6 est respectée.

4. Différence constante

Ajouter le même nombre à deux quantités ne modifie pas leur différence. Les âges augmentent tous les deux d’un an chaque année : l’écart reste fixe, même si le rapport change.

Une différence ne reste pas constante dans toutes les situations : transférer de l’argent de l’un à l’autre diminue une somme et augmente l’autre. Ici, les deux doivent évoluer de la même manière.

10. Père et fils

    Exemple. Un père a 42 ans et son fils 12 ans. Dans combien d’années le père aura-t-il le double de l’âge de son fils ?

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    1. La différence est de 42 − 12 = 30 ans et ne change pas.
    2. Quand le père aura deux parts et le fils une, la différence sera exactement une part : le fils aura 30 ans.
    3. Il faut attendre 30 − 12 = 18 ans.

    Vérification. 42 + 18 = 60 et 12 + 18 = 30 ; donc 60 : 30 = 2.

11. Deux sœurs

    Exemple. Anna a 25 euros de plus que Bea. Toutes deux reçoivent 10 euros. Quelle sera la différence entre leurs économies ?

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    1. Toutes deux ajoutent la même somme : aucune ne rattrape l’autre.
    2. La différence reste de 25 euros. On peut représenter l’évolution de l’écart ainsi : 25 + 10 − 10 = 25.

    Vérification. Choisissons, pour vérifier, 40 euros et 15 euros : après le cadeau, cela donne 50 et 25 euros, toujours 25 euros d’écart.

12. Quand sera-ce le triple ?

    À toi. Un père a 36 ans et sa fille 8 ans. Dans combien d’années le père aura-t-il le triple de l’âge de sa fille ?

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    1. L’écart est de 36 − 8 = 28 ans.
    2. Trois parts moins une donnent 3 − 1 = 2 parts : chaque part vaut 28 : 2 = 14 ans. La fille devra avoir 14 ans.
    3. L’attente est de 14 − 8 = 6 ans.

    Vérification. Le père aura 36 + 6 = 42 ans ; 42 : 14 = 3.

5. Somme et différence

Retire mentalement du total le morceau en plus. Il reste deux quantités égales : divise par deux pour trouver la plus petite, puis remets l’excédent pour trouver la plus grande.

L’excédent se soustrait une seule fois du total. Pour des objets entiers, le reste doit se partager en deux groupes entiers égaux.

13. Les images à collectionner

    Exemple. Deux amis possèdent 86 images au total ; l’un en a 24 de plus que l’autre. Combien chacun en possède-t-il ?

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    1. Éliminons l’excédent : 86 − 24 = 62 images.
    2. Deux groupes égaux : 62 : 2 = 31. C’est la plus petite quantité.
    3. La plus grande quantité est de 31 + 24 = 55 images.

    Vérification. Somme : 31 + 55 = 86. Différence : 55 − 31 = 24.

14. Les deux parcours

    Exemple. Deux sentiers mesurent ensemble 18 km ; le premier dépasse l’autre de 4 km. Quelle est la longueur de chacun ?

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    1. Enlevons les 4 km supplémentaires : 18 − 4 = 14 km.
    2. Le sentier court mesure 14 : 2 = 7 km.
    3. Le premier, plus long, mesure 7 + 4 = 11 km.

    Vérification. 7 + 11 = 18 et 11 − 7 = 4.

15. Livres sur les étagères

    À toi. Deux étagères accueillent 48 livres au total. Celle du haut a 10 livres de plus que celle du bas. Combien de livres y a-t-il sur chacune ?

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    1. Enlevons les 10 en plus : 48 − 10 = 38.
    2. L’étagère du bas a 38 : 2 = 19 livres.
    3. Celle du haut a 19 + 10 = 29 livres.

    Vérification. 19 + 29 = 48 ; de plus 29 − 19 = 10.

6. Réduction à l’unité

Passe de plusieurs unités à une seule, puis d’une seule au nombre demandé. Prix par cahier, litres par bouteille ou travail par personne rendent visible ce qui reste constant.

Demande-toi ce qui reste constant. Plus de cahiers coûtent davantage ; plus d’ouvriers peuvent travailler moins longtemps. Pour le travail, on suppose des rythmes égaux, aucune gêne mutuelle et des tâches parfaitement divisibles.

16. Les cahiers

    Exemple. Sept cahiers identiques coûtent 21 euros. Combien coûtent 11 cahiers du même modèle, sans réduction ?

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    1. Prix d’un cahier : 21 : 7 = 3 euros.
    2. Prix de 11 cahiers : 3 × 11 = 33 euros.

    Vérification. Le prix unitaire reste de 33 : 11 = 3 euros.

17. Les ouvriers : un défi

    Exemple. Cinq ouvriers terminent un travail en 12 jours. Combien de temps faut-il à 3 ouvriers, au même rythme, sans gêne mutuelle et avec un travail parfaitement divisible ?

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    1. Le travail total demande 5 × 12 = 60 journées-ouvrier : une journée-ouvrier est le travail d’une personne en une journée.
    2. Un ouvrier seul mettrait 60 jours ; trois ouvriers se partagent ce travail : 60 : 3 = 20 jours.

    Vérification. 3 × 20 = 60 journées-ouvrier : le même travail. Moins d’ouvriers demandent plus de jours, pas moins.

18. Le ruban au mètre

    À toi. Si 6 mètres de ruban coûtent 18 euros, combien coûtent 9 mètres du même ruban au même prix par mètre ?

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    1. Un mètre coûte 18 : 6 = 3 euros.
    2. Neuf mètres coûtent 3 × 9 = 27 euros.

    Vérification. Le prix par mètre est de 27 : 9 = 3 euros.

7. Parts proportionnelles

Traduis chaque rapport en parts de même taille. Compte toutes les parts, trouve la valeur d’une seule, puis attribue à chacun le bon nombre de parts.

« Le triple du deuxième » ne signifie pas « le triple du premier ». Si le deuxième reçoit deux parts, le triple du deuxième correspond à six parts.

19. Trois frères

    Exemple. Trois frères partagent 270 euros : le deuxième reçoit le double du premier et le troisième le triple du deuxième. Combien chacun reçoit-il ?

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    1. Attribuons 1 part au premier, 2 au deuxième et 2 × 3 = 6 parts au troisième.
    2. Le total est de 1 + 2 + 6 = 9 parts ; une part vaut 270 : 9 = 30 euros.
    3. Les sommes sont 30 euros, 30 × 2 = 60 euros et 30 × 6 = 180 euros.

    Vérification. 30 + 60 + 180 = 270 ; le troisième a bien le triple du deuxième : 180 : 60 = 3.

20. Livres pour deux écoles

    Exemple. Deux écoles reçoivent 120 livres à partager dans le rapport 2 à 3. Combien de livres reviennent à la première école et à la seconde ?

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    1. Il y a 2 + 3 = 5 parts.
    2. Une part vaut 120 : 5 = 24 livres.
    3. Première école : 24 × 2 = 48 livres ; seconde école : 24 × 3 = 72 livres.

    Vérification. 48 + 72 = 120 ; les parts représentent deux et trois groupes de 24 livres.

21. Deux sachets de bonbons

    À toi. Partage 96 bonbons entre deux sachets dans le rapport 3 à 5. Combien vont dans le premier et dans le second ?

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    1. Il y a 3 + 5 = 8 parts ; une part vaut 96 : 8 = 12 bonbons.
    2. Premier sachet : 12 × 3 = 36 ; second sachet : 12 × 5 = 60.

    Vérification. 36 + 60 = 96 ; il y a trois et cinq groupes de 12.

8. Méthode des échanges

Garde le nombre d’objets fixe et imagine des échanges un pour un. Remplacer une pièce de 1 euro par une pièce de 2 euros augmente la valeur de 1 euro, pas de 2.

C’est la même famille que la fausse position : on insiste ici sur chaque échange individuel. Pense aussi à compter les objets que tu n’as pas remplacés.

22. Les pièces

    Exemple. Une tirelire contient 18 pièces de 1 ou 2 euros, pour 29 euros. Combien de pièces de chaque sorte contient-elle ?

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    1. Partons de pièces de 1 euro uniquement : 18 × 1 = 18. Il faut 29 − 18 = 11 euros de plus.
    2. Chaque échange augmente la valeur de 2 − 1 = 1 euros : 11 : 1 = 11 échanges, donc 11 pièces de 2 euros.
    3. Les pièces de 1 euro sont au nombre de 18 − 11 = 7.

    Vérification. 11 × 2 + 7 × 1 = 29 ; il y a toujours 18 pièces.

23. Les tables

    Exemple. Une salle compte 12 tables, certaines de 4 places et d’autres de 6, pour un total de 58 places. Combien y a-t-il de tables de chaque sorte ?

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    1. Imaginons seulement des tables de 4 places : 12 × 4 = 48 places. Il manque 58 − 48 = 10 places.
    2. Chaque échange ajoute 6 − 4 = 2 places. Il faut 10 : 2 = 5 tables de 6.
    3. Les tables de 4 sont au nombre de 12 − 5 = 7.

    Vérification. 5 × 6 + 7 × 4 = 58 ; il y a 12 tables.

24. Paquets simples et doubles de stylos

    À toi. On vend 10 paquets : les paquets simples coûtent 3 euros et les doubles 5 euros. La recette est de 42 euros. Combien de paquets de chaque sorte sont vendus ?

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    1. Avec seulement des paquets simples : 10 × 3 = 30 euros. Écart : 42 − 30 = 12 euros.
    2. Chaque échange augmente la recette de 5 − 3 = 2 euros : 12 : 2 = 6 paquets doubles.
    3. Il reste 10 − 6 = 4 paquets simples.

    Vérification. 6 × 5 + 4 × 3 = 42 ; on compte les paquets, pas le nombre de stylos.

9. Méthode de l’invariant

Cherche une quantité qui ne change pas. Déplacer des billes d’une boîte à l’autre change la répartition, mais pas le total ; annuler le transfert permet de retrouver le début.

Précise la frontière : donner des objets à une personne extérieure peut diminuer le total des deux groupes initiaux. Il faut toujours justifier ce qui « ne change pas ».

25. Les billes dans les boîtes

    Exemple. Deux boîtes contiennent 100 billes au total. Après le transfert de 15 billes de la première à la seconde, chacune en contient 50. Combien en avaient-elles au début ?

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    1. Le total reste 100. Pour annuler le transfert, remettons 15 billes dans la première : 50 + 15 = 65.
    2. Enlevons ces mêmes 15 billes de la seconde : 50 − 15 = 35. Au début, il y en avait 65 et 35.

    Vérification. 65 + 35 = 100 ; en refaisant le transfert, on obtient 65 − 15 = 50 et 35 + 15 = 50.

26. La somme cachée

    Exemple. Marco et Sara ont ensemble 74 images. Marco en donne 9 à Sara. Combien d’images ont-ils ensemble après l’échange ?

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    1. Les 9 images ne disparaissent pas : elles quittent le groupe de Marco mais entrent dans celui de Sara.
    2. Sur le total, l’effet est 74 − 9 + 9 = 74. Ils ont toujours 74 images ; inutile de connaître le nombre de chacun au départ.

    Vérification. Aucune image n’entre dans le groupe formé par Marco et Sara ni n’en sort.

27. Deux récipients

    À toi. Deux récipients contiennent ensemble 60 litres d’eau. Après avoir versé 8 litres du premier dans le second, les quantités sont égales. Combien contenaient-ils au départ ?

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    1. À la fin, chacun contient 60 : 2 = 30 litres.
    2. Revenons en arrière : le premier contenait 30 + 8 = 38 litres et le second 30 − 8 = 22 litres.

    Vérification. 38 + 22 = 60 ; après le transvasement, 38 − 8 = 30 et 22 + 8 = 30. Aucune eau n’a été perdue.

10. Différences successives

Compare deux situations du même groupe : de combien le total change-t-il ? De combien la contribution d’une personne ou d’un objet change-t-elle ? Divise le changement total par le changement individuel.

Passer d’un manque à un excédent fait traverser zéro : additionne les deux distances. Ces problèmes sont des défis ; dessiner une ligne avec zéro au centre peut aider.

28. Le commerçant : un défi

    Exemple. Un commerçant vend tous ses objets au même prix. À 7 euros l’objet, il perdrait 30 euros par rapport à la dépense totale ; à 9 euros, il gagnerait 50 euros. Combien a-t-il d’objets ?

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    1. Pour passer de la perte au bénéfice, la recette augmente de 30 + 50 = 80 euros.
    2. Chaque objet apporte 9 − 7 = 2 euros de plus. Le nombre d’objets est 80 : 2 = 40.
    3. Si l’on veut aussi retrouver la dépense totale, elle est de 310 euros.

    Vérification. Avec le prix de 7 euros : 40 × 7 + 30 = 310. Avec celui de 9 euros : 40 × 9 − 50 = 310. La dépense est identique.

29. La sortie

    Exemple. Pour payer une sortie, si chaque participant verse 12 euros, il manque 24 euros ; si chacun verse 15 euros, il reste 18 euros. Le coût ne change pas. Combien y a-t-il de participants ?

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    1. Passer d’un manque à un excédent représente 24 + 18 = 42 euros.
    2. Chaque participant verse 15 − 12 = 3 euros de plus. Il y a 42 : 3 = 14 participants.

    Vérification. Le coût est de 14 × 12 + 24 = 192 euros ou de 14 × 15 − 18 = 192 euros : les résultats coïncident.

30. Le cadeau de la classe

    À toi. Si chaque enfant verse 4 euros, il manque 7 euros pour un cadeau ; avec 5 euros chacun, il reste 6 euros. Combien d’enfants participent ?

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    1. La différence entre les collectes est de 7 + 6 = 13 euros.
    2. Chaque enfant ajoute 5 − 4 = 1 euros. Il y a donc 13 : 1 = 13 enfants.

    Vérification. Le cadeau coûte 13 × 4 + 7 = 59 euros, et aussi 13 × 5 − 6 = 59 euros.

11. Compléter le tout

Imagine le total comme une boîte pleine ou une barre complète. Réunis d’abord les parties connues, puis soustrais-les du total. Si tu connais une fraction, cherche d’abord combien d’objets elle représente.

Vérifie que les parties ne se recouvrent pas : on ne peut pas soustraire deux fois les mêmes objets. Les parts d’une fraction doivent être égales.

31. Les cases coloriées

    Exemple. Une feuille comporte 28 cases égales. Tu en colories les trois quarts. Combien restent blanches ?

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    1. Partageons le tout en quatre parts : 28 : 4 = 7 cases par part.
    2. Les trois parts coloriées contiennent 7 × 3 = 21 cases.
    3. Le complément est de 28 − 21 = 7 cases blanches. On peut aussi remarquer qu’il manque un quart.

    Vérification. 21 + 7 = 28 : cases coloriées et blanches reconstituent toute la feuille.

32. L’album à compléter

    À toi. Un album possède 100 emplacements. Lundi, tu colles 37 images et mardi 28 autres, toutes différentes et sur des emplacements auparavant vides. Combien restent vides ?

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    1. Les emplacements occupés sont au nombre de 37 + 28 = 65.
    2. Il reste à compléter 100 − 65 = 35 emplacements.

    Vérification. 65 + 35 = 100 ; il n’y a ni doublon ni emplacement compté deux fois.

12. Énumération systématique

Choisis un ordre et respecte-le : fixe un premier choix, fais varier le second, puis passe au premier choix suivant. Une liste ou un tableau évite les oublis et les doubles comptes.

Décide d’abord si l’ordre compte et si zéro est autorisé. Fraise-vanille est le même choix de deux parfums que vanille-fraise si l’ordre des boules ne compte pas.

33. Deux parfums de glace

    Exemple. Vanille, chocolat et fraise sont disponibles. Tu veux deux parfums différents, sans tenir compte de l’ordre. Combien de paires peux-tu choisir ?

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    1. Fixons vanille : vanille-chocolat et vanille-fraise.
    2. Sans vanille, il reste chocolat-fraise. Cela fait 3 paires ; n’ajoutons pas fraise-vanille, déjà présente.

    Vérification. Si l’ordre comptait, on aurait 3 × 2 = 6 choix ; chaque paire apparaîtrait deux fois. Donc 6 : 2 = 3.

34. Dépenser exactement 12 euros

    À toi. Un stylo coûte 2 euros et un cahier 3 euros. De combien de façons peux-tu dépenser exactement 12 euros ? Tu peux acheter zéro stylo ou zéro cahier ; seuls les nombres d’objets comptent, pas l’ordre d’achat.

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    1. Essayons 0, 1, 2, 3, 4 cahiers : au-delà de 4, on dépasserait 12 euros.
    2. Avec 0 cahier, on achète 12 : 2 = 6 stylos ; avec 2 cahiers, (12 − 2 × 3) : 2 = 3 stylos ; avec 12 : 3 = 4 cahiers, zéro stylo.
    3. Avec 1 ou 3 cahiers, il reste 9 ou 3 euros, qui ne permettent pas un nombre entier de stylos à 2 euros. Il y a 3 façons.

    Vérification. Les couples (stylos, cahiers) sont (6, 0), (3, 2), (0, 4). Chacun coûte 12 euros ; le tableau épuise les cas.

    Toutes les possibilités, par nombre croissant de cahiers

    Cahiers	Euros restants pour les stylos	Stylos achetables
    0	12 €	6
    1	9 €	Non entier : à écarter
    2	6 €	3
    3	3 €	Non entier : à écarter
    4	0 €	0

13. Regroupements astucieux

Change les regroupements sans changer les termes : cherche des paires donnant 10, 20, 100 ou une autre somme pratique. Compte les groupes et multiplie s’ils sont égaux.

Chaque nombre doit apparaître une seule fois. Cette liberté vaut pour les additions ; on ne peut pas réordonner librement les soustractions ou les divisions.

35. Somme de 1 à 20

    Exemple. Additionne tous les nombres entiers de 1 à 20 inclus. Comment éviter une longue chaîne d’additions ?

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    1. Associons premier et dernier : 1 + 20 = 21. Puis deuxième et avant-dernier : 2 + 19 = 21. Chaque paire donne le même total.
    2. Il y a 20 : 2 = 10 paires. La somme vaut 10 × 21 = 210.

    Vérification. Les paires sont (1, 20), (2, 19), jusqu’à (10, 11) : 10 paires, sans nombre répété.

36. Les quatre paniers

    À toi. Quatre paniers contiennent 19, 21, 18 et 22 pommes. Combien de pommes y a-t-il au total ? Cherche deux paires pratiques.

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    1. Regroupons 19 + 21 = 40 et 18 + 22 = 40.
    2. Le total est de 40 + 40 = 80 pommes.

    Vérification. Nous avons utilisé une fois chacune des quantités 19, 21, 18, 22. Aucune pomme n’a été ajoutée ou retirée.

Ce qu’il faut retenir

Ne cherche pas immédiatement « la bonne formule ». Cherche d’abord une structure : une action à défaire, une part égale, un écart, un total conservé ou une liste à organiser. Un dessin et une phrase peuvent expliquer davantage qu’une page de calculs.

Avant d’ouvrir la solution, écris au moins une tentative justifiée. Après l’avoir lue, referme-la et essaie de raconter le raisonnement sans regarder. Vérifie toujours total, différence, rapport et unités demandés : un nombre plausible ne suffit pas.

Pour approfondir segments et parts égales : 25 autres problèmes illustrés