Problemi senza equazioni: 13 metodi aritmetici e 36 esercizi ragionati

Per risolvere molti problemi non serve cominciare con una lettera o con un’equazione. Possiamo disegnare, tornare indietro, correggere una prima ipotesi o cercare ciò che non cambia. L’obiettivo non è indovinare l’operazione, ma capire perché funziona.

Questo percorso raccoglie 10 metodi di ragionamento aritmetico con due esempi ciascuno, aggiunge completamento, elenco sistematico e raggruppamenti intelligenti, e propone 16 esercizi nuovi: 36 problemi in tutto. Anche gli esempi guidati hanno la soluzione inizialmente nascosta.

È pensato soprattutto per la scuola primaria. Frazioni, rapporti, giornate-operaio e guadagni o perdite sono sfide per le ultime classi, eventualmente con un adulto. Non è necessario affrontare tutto in una sola volta.

Prima di calcolare: come scegliere un metodo

Leggi la domanda, racconta la situazione con parole tue e distingui i dati da ciò che devi trovare. Disegna gli oggetti o una barra; scrivi sempre l’unità di misura. Poi chiediti quale relazione lega le quantità.

Le 13 voci non sono compartimenti separati: segmenti e parti proporzionali sono parenti; differenza costante e totale conservato sono esempi di invarianti; falsa posizione e scambi descrivono spesso lo stesso ragionamento. Uno stesso problema può avere più di una soluzione corretta.

I 36 problemi: osserva, prova, poi apri la soluzione

Ogni riquadro «Mostra soluzione e verifica» è chiuso all’inizio. Prima prova sul quaderno; poi tocca o fai clic sul titolo per aprirlo, e premi di nuovo per richiuderlo. Da tastiera usa Tab, poi Invio o spazio. L’ultimo problema di ciascun metodo è un esercizio da provare da soli.

1. Metodo a ritroso

Parti dalla fine e annulla le operazioni nell’ordine inverso: l’ultima azione diventa la prima da disfare. Aggiungere si annulla sottraendo; moltiplicare si annulla dividendo.

Attenzione all’ordine: non basta cambiare i segni. Se prima raddoppi e poi aggiungi, devi prima togliere e poi dimezzare.

1. Il numero misterioso

   Esempio. Un numero viene raddoppiato, poi aumentato di 14: il risultato è 50. Qual era il numero?

   Mostra soluzione e verifica

   1. Annulliamo l’ultima aggiunta: 50 − 14 = 36.
   2. Annulliamo il raddoppio: 36 : 2 = 18. Il numero iniziale era 18.

   Verifica. Rifacciamo le azioni in avanti: 18 × 2 + 14 = 50.

2. Le caramelle di Lucia

   Esempio. Lucia regala metà delle caramelle che ha, poi ne regala altre 5; gliene restano 9. Quante ne aveva?

   Mostra soluzione e verifica

   1. Prima dell’ultimo regalo aveva 9 + 5 = 14 caramelle.
   2. Le 14 rimaste erano metà della quantità iniziale: 14 × 2 = 28. Aveva 28 caramelle.

   Verifica. Metà viene regalata, poi altre 5: 28 : 2 − 5 = 9.

3. La macchina dei numeri

   Prova tu. Una macchina triplica un numero e aggiunge 9. Sul display compare 45. Quale numero è entrato?

   Mostra soluzione e verifica

   1. Togliamo l’ultima aggiunta: 45 − 9 = 36.
   2. Prima della triplicazione: 36 : 3 = 12. È entrato 12.

   Verifica. 12 × 3 + 9 = 45: il display torna a 45.

2. Metodo della falsa posizione

Immagina una situazione semplice, anche se non è quella reale. Calcola quanto manca e quanto cambia il totale sostituendo un solo elemento: lo scarto ti dice quante correzioni servono.

Non sono tentativi a caso: ogni sostituzione deve produrre sempre lo stesso cambiamento. Se lo scarto non è divisibile per quel cambiamento, non esiste una soluzione con quei numeri interi.

4. Galline e conigli

   Esempio. Ci sono 12 animali, tutti galline o conigli, con 34 zampe in totale. Quanti sono i conigli e quante le galline?

   Mostra soluzione e verifica

   1. Immaginiamo tutte galline: 12 × 2 = 24. Mancano 34 − 24 = 10 zampe.
   2. Ogni coniglio al posto di una gallina aggiunge 4 − 2 = 2 zampe. Servono 10 : 2 = 5 conigli.
   3. Le galline sono 12 − 5 = 7.

   Verifica. Le teste sono 12 e le zampe sono 5 × 4 + 7 × 2 = 34.

5. Due prezzi per i biglietti

   Esempio. Sono stati venduti 20 biglietti, da 4 o 7 euro, incassando 104 euro. Quanti biglietti sono di ciascun prezzo?

   Mostra soluzione e verifica

   1. Se fossero tutti da 4 euro: 20 × 4 = 80. Mancano 104 − 80 = 24 euro.
   2. Una sostituzione aggiunge 7 − 4 = 3 euro: 24 : 3 = 8 biglietti da 7 euro.
   3. Restano 20 − 8 = 12 biglietti da 4 euro.

   Verifica. 8 × 7 + 12 × 4 = 104; i biglietti restano 20.

6. Le matite del negozio

   Prova tu. Sono vendute 15 matite, alcune da 2 euro e altre da 5 euro. L’incasso è 48 euro. Quante sono di ciascun tipo?

   Mostra soluzione e verifica

   1. Con sole matite da 2 euro: 15 × 2 = 30. Scarto: 48 − 30 = 18.
   2. Ogni sostituzione aggiunge 5 − 2 = 3 euro. Quindi 18 : 3 = 6 matite da 5 euro.
   3. Quelle da 2 euro sono 15 − 6 = 9.

   Verifica. 6 × 5 + 9 × 2 = 48; in tutto sono 15 matite.

3. Metodo dei segmenti

Disegna una barra per la quantità più piccola e più barre uguali per l’altra. Se c’è un pezzo aggiuntivo, separalo. Trova il valore di una parte e ricostruisci le quantità.

Le parti uguali devono rappresentare la stessa quantità. Un pezzo aggiunto, come 10 cm, non diventa automaticamente una parte uguale alle altre.

7. Due fratelli

   Esempio. Due fratelli hanno insieme 80 euro; il maggiore ha il triplo del minore. Quanto ha ciascuno?

   Mostra soluzione e verifica

   1. Disegniamo una parte per il minore e tre per il maggiore: 1 + 3 = 4 parti.
   2. Una parte vale 80 : 4 = 20 euro. Il minore ha 20 euro; il maggiore ha 20 × 3 = 60 euro.

   Verifica. Il totale è 20 + 60 = 80 e il rapporto è 60 : 20 = 3.

   

8. Due nastri

   Esempio. Due nastri misurano insieme 70 cm. Il secondo misura il doppio del primo, più 10 cm. Quanto misurano?

   Mostra soluzione e verifica

   1. Separiamo il pezzo aggiunto: 70 − 10 = 60 cm.
   2. Restano 1 + 2 = 3 parti uguali. Una parte misura 60 : 3 = 20 cm.
   3. Il primo nastro è 20 cm; il secondo è 20 × 2 + 10 = 50 cm.

   Verifica. 20 + 50 = 70; il secondo supera il doppio del primo di 10 cm.

9. Le due scatole

   Prova tu. Due scatole contengono 54 gettoni in tutto. La seconda ne contiene il doppio della prima, più 6. Quanti gettoni ci sono in ciascuna?

   Mostra soluzione e verifica

   1. Togliamo idealmente i 6 in più: 54 − 6 = 48.
   2. Le parti sono 1 + 2 = 3; ciascuna vale 48 : 3 = 16 gettoni.
   3. Prima scatola: 16; seconda scatola: 16 × 2 + 6 = 38 gettoni.

   Verifica. 16 + 38 = 54; la relazione del doppio più 6 è rispettata.

4. Metodo della differenza costante

Se aggiungi lo stesso numero a due quantità, la loro differenza non cambia. Le età crescono entrambe di un anno ogni anno: lo scarto resta fermo, anche se il rapporto cambia.

Una differenza non resta costante in ogni situazione: se trasferisci denaro dall’uno all’altro, una quantità scende e l’altra sale. Qui invece devono cambiare entrambe allo stesso modo.

10. Padre e figlio

    Esempio. Un padre ha 42 anni, suo figlio 12. Fra quanti anni il padre avrà il doppio degli anni del figlio?

    Mostra soluzione e verifica

    1. La differenza è 42 − 12 = 30 anni e non cambia.
    2. Quando il padre avrà due parti e il figlio una, la differenza sarà proprio una parte: il figlio avrà 30 anni.
    3. Devono trascorrere 30 − 12 = 18 anni.

    Verifica. 42 + 18 = 60 e 12 + 18 = 30; quindi 60 : 30 = 2.

11. Due sorelle

    Esempio. Anna ha 25 euro più di Bea. Entrambe ricevono 10 euro. Quale sarà la differenza fra i loro risparmi?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Entrambe aggiungono la stessa somma: nessuna recupera terreno sull’altra.
    2. La differenza resta 25 euro. Possiamo rappresentare il cambiamento dello scarto così: 25 + 10 − 10 = 25.

    Verifica. Se scegliamo, per controllo, 40 euro e 15 euro, dopo il regalo diventano 50 e 25: la differenza è ancora 25 euro.

12. Quando sarà il triplo?

    Prova tu. Un padre ha 36 anni e sua figlia 8. Fra quanti anni il padre avrà il triplo dell’età della figlia?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Lo scarto è 36 − 8 = 28 anni.
    2. Tre parti meno una fanno 3 − 1 = 2 parti: ogni parte vale 28 : 2 = 14 anni. La figlia dovrà avere 14 anni.
    3. L’attesa è 14 − 8 = 6 anni.

    Verifica. Il padre avrà 36 + 6 = 42 anni; 42 : 14 = 3.

5. Metodo della somma e differenza

Togli idealmente dal totale il pezzo in più. Ciò che resta è formato da due quantità uguali: dividi per due per trovare la minore; riaggiungi l’eccedenza per trovare la maggiore.

Il pezzo in più si sottrae una sola volta dal totale. Con oggetti interi, la parte rimasta deve potersi dividere in due gruppi interi uguali.

13. Le figurine

    Esempio. Due amici hanno 86 figurine in totale; uno ne ha 24 più dell’altro. Quante ne ha ciascuno?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Eliminiamo l’eccedenza: 86 − 24 = 62 figurine.
    2. Due gruppi uguali: 62 : 2 = 31. È la quantità minore.
    3. La quantità maggiore è 31 + 24 = 55 figurine.

    Verifica. Somma: 31 + 55 = 86. Differenza: 55 − 31 = 24.

14. I due percorsi

    Esempio. Due sentieri sono lunghi insieme 18 km; il primo è più lungo di 4 km. Quanto misurano?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Togliamo i 4 km aggiuntivi: 18 − 4 = 14 km.
    2. Il sentiero corto misura 14 : 2 = 7 km.
    3. Il primo, più lungo, misura 7 + 4 = 11 km.

    Verifica. 7 + 11 = 18 e 11 − 7 = 4.

15. Libri sui ripiani

    Prova tu. Due ripiani ospitano 48 libri in tutto. Quello superiore ha 10 libri più dell’inferiore. Quanti libri ci sono su ciascun ripiano?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Togliamo i 10 in più: 48 − 10 = 38.
    2. Il ripiano inferiore ha 38 : 2 = 19 libri.
    3. Quello superiore ha 19 + 10 = 29 libri.

    Verifica. 19 + 29 = 48; inoltre 29 − 19 = 10.

6. Metodo della riduzione all’unità

Passa prima da molti a uno, poi da uno alla quantità richiesta. Prezzo per quaderno, litri per bottiglia o lavoro per persona rendono visibile ciò che rimane uguale.

Chiediti che cosa resta costante. Più quaderni costano di più; più operai possono impiegare meno tempo. Per il lavoro supponiamo ritmi uguali, nessuna interferenza e compiti perfettamente divisibili.

16. I quaderni

    Esempio. Sette quaderni uguali costano 21 euro. Quanto costano 11 quaderni dello stesso tipo, senza sconti?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Prezzo di uno: 21 : 7 = 3 euro.
    2. Prezzo di 11: 3 × 11 = 33 euro.

    Verifica. Il prezzo unitario resta 33 : 11 = 3 euro.

17. Gli operai: una sfida

    Esempio. Cinque operai completano un lavoro in 12 giorni. Quanto impiegano 3 operai, allo stesso ritmo, senza interferenze e con un lavoro perfettamente divisibile?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Il lavoro totale richiede 5 × 12 = 60 giornate-operaio: una giornata-operaio è il lavoro di una persona in un giorno.
    2. Un solo operaio impiegherebbe 60 giorni; tre operai si dividono quel lavoro: 60 : 3 = 20 giorni.

    Verifica. 3 × 20 = 60 giornate-operaio: stesso lavoro. Meno operai richiedono più giorni, non meno.

18. Il nastro al metro

    Prova tu. Se 6 metri di nastro costano 18 euro, quanto costano 9 metri dello stesso nastro al medesimo prezzo al metro?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Un metro costa 18 : 6 = 3 euro.
    2. Nove metri costano 3 × 9 = 27 euro.

    Verifica. Il prezzo al metro è 27 : 9 = 3 euro.

7. Metodo delle parti proporzionali

Traduci ogni rapporto in parti della stessa grandezza. Conta tutte le parti, trova il valore di una e assegna a ciascuno il giusto numero di parti.

«Il triplo del secondo» non significa «il triplo del primo». Se il secondo ha due parti, il triplo del secondo ne ha sei.

19. Tre fratelli

    Esempio. Tre fratelli dividono 270 euro: il secondo prende il doppio del primo e il terzo il triplo del secondo. Quanto prende ciascuno?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Al primo assegniamo 1 parte, al secondo 2, al terzo 2 × 3 = 6 parti.
    2. Le parti totali sono 1 + 2 + 6 = 9; una parte vale 270 : 9 = 30 euro.
    3. Le quote sono 30 euro, 30 × 2 = 60 euro e 30 × 6 = 180 euro.

    Verifica. 30 + 60 + 180 = 270; il terzo ha proprio il triplo del secondo: 180 : 60 = 3.

20. Libri a due scuole

    Esempio. Due scuole ricevono 120 libri da dividere nel rapporto 2 a 3. Quanti libri spettano alla prima e alla seconda scuola?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Le parti sono 2 + 3 = 5.
    2. Una parte vale 120 : 5 = 24 libri.
    3. Prima scuola: 24 × 2 = 48 libri; seconda scuola: 24 × 3 = 72 libri.

    Verifica. 48 + 72 = 120; le quote sono due e tre gruppi da 24 libri.

21. Due sacchetti di caramelle

    Prova tu. Dividi 96 caramelle fra due sacchetti nel rapporto 3 a 5. Quante vanno nel primo e quante nel secondo?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Le parti sono 3 + 5 = 8; una parte vale 96 : 8 = 12 caramelle.
    2. Nel primo sacchetto: 12 × 3 = 36; nel secondo: 12 × 5 = 60.

    Verifica. 36 + 60 = 96; ci sono tre e cinque gruppi da 12.

8. Metodo degli scambi

Tieni fermo il numero di oggetti e immagina scambi uno a uno. Una moneta da 1 euro sostituita con una da 2 euro aumenta il valore di 1 euro, non di 2.

È la stessa famiglia della falsa posizione: qui l’accento è sul singolo scambio. Ricorda di contare anche gli oggetti del tipo che non hai sostituito.

22. Le monete

    Esempio. In un salvadanaio ci sono 18 monete da 1 o 2 euro, per 29 euro. Quante monete sono di ciascun tipo?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Partiamo da sole monete da 1 euro: 18 × 1 = 18. Servono 29 − 18 = 11 euro in più.
    2. Ogni scambio aumenta il valore di 2 − 1 = 1 euro: 11 : 1 = 11 scambi, quindi 11 monete da 2 euro.
    3. Quelle da 1 euro sono 18 − 11 = 7.

    Verifica. 11 × 2 + 7 × 1 = 29; le monete restano 18.

23. I tavoli

    Esempio. In una sala ci sono 12 tavoli, alcuni da 4 posti e altri da 6, per un totale di 58 posti. Quanti tavoli sono di ciascun tipo?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Immaginiamo tutti tavoli da 4: 12 × 4 = 48 posti. Mancano 58 − 48 = 10 posti.
    2. Ogni scambio aggiunge 6 − 4 = 2 posti. Occorrono 10 : 2 = 5 tavoli da 6.
    3. I tavoli da 4 sono 12 − 5 = 7.

    Verifica. 5 × 6 + 7 × 4 = 58; i tavoli sono 12.

24. Penne singole e confezioni doppie

    Prova tu. Sono vendute 10 confezioni: quelle singole costano 3 euro, quelle doppie 5 euro. L’incasso è 42 euro. Quante confezioni sono di ciascun tipo?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Con tutte confezioni singole: 10 × 3 = 30 euro. Scarto: 42 − 30 = 12 euro.
    2. Ogni scambio aumenta l’incasso di 5 − 3 = 2 euro: 12 : 2 = 6 confezioni doppie.
    3. Restano 10 − 6 = 4 confezioni singole.

    Verifica. 6 × 5 + 4 × 3 = 42; contiamo le confezioni, non il numero di penne.

9. Metodo dell’invariante

Cerca una quantità che resta uguale. Se sposti palline da una scatola all’altra, cambia la distribuzione ma non il totale; puoi ricostruire il prima annullando il trasferimento.

Specifica il confine: se qualcuno regala oggetti a una persona esterna, il totale dei due gruppi iniziali può diminuire. «Non cambia» va sempre motivato.

25. Le palline nelle scatole

    Esempio. Due scatole hanno in totale 100 palline. Dopo averne trasferite 15 dalla prima alla seconda, ne hanno 50 ciascuna. Quante ne avevano inizialmente?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Il totale resta 100. Per annullare il trasferimento rimettiamo 15 palline nella prima: 50 + 15 = 65.
    2. Togliamo quelle stesse 15 dalla seconda: 50 − 15 = 35. All’inizio erano 65 e 35.

    Verifica. 65 + 35 = 100; rifacendo il trasferimento otteniamo 65 − 15 = 50 e 35 + 15 = 50.

26. La somma nascosta

    Esempio. Marco e Sara hanno complessivamente 74 figurine. Marco ne dà 9 a Sara. Quante figurine hanno insieme dopo lo scambio?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Le 9 figurine non spariscono: escono dal gruppo di Marco ma entrano in quello di Sara.
    2. Nel totale l’effetto è 74 − 9 + 9 = 74. Hanno ancora 74 figurine; non serve conoscere quante ne avesse ciascuno.

    Verifica. Nessuna figurina entra o esce dal gruppo formato da Marco e Sara.

27. Due recipienti

    Prova tu. Due recipienti contengono insieme 60 litri d’acqua. Dopo aver travasato 8 litri dal primo al secondo, contengono la stessa quantità. Quanto contenevano all’inizio?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Alla fine ogni recipiente contiene 60 : 2 = 30 litri.
    2. Torniamo indietro: il primo conteneva 30 + 8 = 38 litri, il secondo 30 − 8 = 22 litri.

    Verifica. 38 + 22 = 60; dopo il travaso 38 − 8 = 30 e 22 + 8 = 30. Non abbiamo perso acqua.

10. Metodo delle differenze successive

Confronta due situazioni dello stesso gruppo: quanto cambia il totale? Quanto cambia il contributo di una persona o di un oggetto? Dividi il cambiamento totale per quello singolo.

Da una mancanza a un avanzo attraversi lo zero: devi sommare le due distanze. Questi problemi sono una sfida; puoi disegnare una linea con lo zero al centro.

28. Il negoziante: una sfida

    Esempio. Un negoziante vende tutti gli oggetti allo stesso prezzo. Vendendo ciascuno a 7 euro perderebbe 30 euro rispetto alla spesa totale; a 9 euro guadagnerebbe 50 euro. Quanti oggetti sono?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Per passare dalla perdita al guadagno il ricavo cresce di 30 + 50 = 80 euro.
    2. Ogni oggetto produce 9 − 7 = 2 euro in più. Gli oggetti sono 80 : 2 = 40.
    3. La spesa totale, se vogliamo ricostruirla, è 310 euro.

    Verifica. Dallo scenario a 7 euro: 40 × 7 + 30 = 310. Dallo scenario a 9 euro: 40 × 9 − 50 = 310. La spesa è la stessa.

29. La gita

    Esempio. Per pagare una gita, se ciascun partecipante versa 12 euro mancano 24 euro; se ciascuno versa 15 euro avanzano 18 euro. Il costo resta lo stesso. Quanti partecipanti ci sono?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Il passaggio da una mancanza a un avanzo vale 24 + 18 = 42 euro.
    2. Ogni partecipante versa 15 − 12 = 3 euro in più. I partecipanti sono 42 : 3 = 14.

    Verifica. Il costo è 14 × 12 + 24 = 192 euro oppure 14 × 15 − 18 = 192 euro: coincide.

30. Il regalo di classe

    Prova tu. Se ogni bambino versa 4 euro mancano 7 euro per un regalo; versando 5 euro a testa avanzano 6 euro. Quanti bambini partecipano?

    Mostra soluzione e verifica

    1. La differenza fra le due raccolte è 7 + 6 = 13 euro.
    2. Ogni bambino aggiunge 5 − 4 = 1 euro. Quindi partecipano 13 : 1 = 13 bambini.

    Verifica. Il regalo costa 13 × 4 + 7 = 59 euro; anche 13 × 5 − 6 = 59 euro.

11. Completare il tutto

Immagina il totale come una scatola piena o una barra completa. Prima raccogli le parti conosciute; poi sottraile dal totale. Se conosci una frazione, trova prima a quanti oggetti corrisponde.

Controlla che le parti non si sovrappongano: non puoi sottrarre due volte gli stessi oggetti. Nelle frazioni le parti del tutto devono essere uguali.

31. Le caselle colorate

    Esempio. Un foglio contiene 28 caselle uguali. Ne colori tre quarti. Quante caselle restano bianche?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Dividiamo il tutto in quattro parti: 28 : 4 = 7 caselle per parte.
    2. Tre parti colorate contengono 7 × 3 = 21 caselle.
    3. Il complemento è 28 − 21 = 7 caselle bianche. In alternativa basta osservare che manca un quarto.

    Verifica. 21 + 7 = 28: colorate e bianche ricostruiscono tutte le caselle.

32. L’album da completare

    Prova tu. Un album ha 100 spazi. Lunedì incolli 37 figurine e martedì altre 28, tutte diverse e in spazi prima vuoti. Quanti spazi restano vuoti?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Gli spazi occupati sono 37 + 28 = 65.
    2. Gli spazi ancora da completare sono 100 − 65 = 35.

    Verifica. 65 + 35 = 100; non ci sono doppioni né spazi contati due volte.

12. Elenco sistematico delle possibilità

Scegli un ordine e rispettalo: fissa una prima scelta e varia la seconda, poi passa alla successiva. Una lista o una tabella aiuta a non dimenticare casi e a non contarli due volte.

Decidi prima se l’ordine conta e se zero è ammesso. Fragola e vaniglia è lo stesso gusto doppio di vaniglia e fragola se non importa l’ordine delle palline.

33. Due gusti di gelato

    Esempio. Sono disponibili vaniglia, cioccolato e fragola. Vuoi due gusti diversi e non importa l’ordine. Quante coppie puoi scegliere?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Fissiamo vaniglia: vaniglia-cioccolato e vaniglia-fragola.
    2. Senza vaniglia rimane cioccolato-fragola. Sono 3 coppie; non aggiungiamo fragola-vaniglia perché è già presente.

    Verifica. Se contassimo l’ordine avremmo 3 × 2 = 6 scelte; ogni coppia comparirebbe due volte. Quindi 6 : 2 = 3.

34. Spendere esattamente 12 euro

    Prova tu. Una penna costa 2 euro e un quaderno 3 euro. In quanti modi puoi spendere esattamente 12 euro? Puoi comprare anche zero penne oppure zero quaderni; conta solo il numero di oggetti, non l’ordine di acquisto.

    Mostra soluzione e verifica

    1. Proviamo 0, 1, 2, 3, 4 quaderni: oltre 4 spenderemmo più di 12 euro.
    2. Con 0 quaderni compriamo 12 : 2 = 6 penne; con 2 quaderni compriamo (12 − 2 × 3) : 2 = 3 penne; con 12 : 3 = 4 quaderni compriamo zero penne.
    3. Con 1 o 3 quaderni rimangono 9 o 3 euro, che non pagano un numero intero di penne da 2 euro. I modi sono 3.

    Verifica. Le coppie (penne, quaderni) sono (6, 0), (3, 2), (0, 4). Ognuna costa 12 euro; la tabella esaurisce i casi.

    Tutte le possibilità, in ordine di numero di quaderni

    Quaderni	Euro rimasti per le penne	Penne acquistabili
    0	12 €	6
    1	9 €	Non intero: da scartare
    2	6 €	3
    3	3 €	Non intero: da scartare
    4	0 €	0

13. Raggruppamenti intelligenti

Cambia il raggruppamento degli addendi senza cambiarli: cerca coppie che fanno 10, 20, 100 o un’altra somma comoda. Conta i gruppi e moltiplica quando sono uguali.

Ogni numero deve comparire una volta sola. Questa libertà vale per somme; non puoi riordinare liberamente sottrazioni o divisioni.

35. Somma da 1 a 20

    Esempio. Devi sommare tutti i numeri interi da 1 a 20 compresi. Come puoi farlo senza una lunga catena di addizioni?

    Mostra soluzione e verifica

    1. Abbiniamo primo e ultimo: 1 + 20 = 21. Poi secondo e penultimo: 2 + 19 = 21. Ogni coppia ha lo stesso totale.
    2. Ci sono 20 : 2 = 10 coppie. La somma vale 10 × 21 = 210.

    Verifica. Le coppie sono (1, 20), (2, 19), fino a (10, 11): 10 coppie, nessun numero ripetuto.

36. I quattro cestini

    Prova tu. Quattro cestini contengono 19, 21, 18 e 22 mele. Quante mele ci sono in tutto? Cerca due coppie comode.

    Mostra soluzione e verifica

    1. Raggruppiamo 19 + 21 = 40 e 18 + 22 = 40.
    2. Il totale è 40 + 40 = 80 mele.

    Verifica. Abbiamo usato una volta ciascuna delle quantità 19, 21, 18, 22. Nessuna mela è stata aggiunta o tolta.

Che cosa portare con sé

Non cercare subito «la formula giusta». Cerca prima una struttura: qualcosa da disfare, una parte uguale, uno scarto, un totale che si conserva o una lista da organizzare. Un disegno e una frase possono spiegare più di una pagina di calcoli.

Prima di aprire la soluzione scrivi almeno un tentativo motivato. Dopo averla letta, richiudila e prova a raccontare il ragionamento senza guardare. Verifica sempre totale, differenza, rapporto e unità di misura richiesti: un numero plausibile non basta.

Per approfondire segmenti e parti uguali: altri 25 problemi illustrati