Una simmetria assiale è un ribaltamento rispetto a una retta, come in uno specchio. Per trovare l’immagine di un punto, traccia idealmente la perpendicolare alla retta e riporta la stessa distanza dall’altra parte. Un punto che si trova sulla retta non si muove. Nei primi esercizi bastano righello e quadretti; gli ultimi due, con le coordinate, sono una sfida in più.
La regola dello specchio
Lavora un punto alla volta: individua l’asse, raggiungilo ad angolo retto, conta la distanza e riportala dall’altra parte. Chiama A′ l’immagine di A. Solo dopo aver trovato tutti i vertici unisci i nuovi punti nello stesso ordine. Prima prova a disegnare, poi apri la soluzione.
1. Il segmento AB e la retta obliqua r
Costruisci il segmento simmetrico di AB rispetto alla retta r. Trova prima A′ e B′: non basta spostare il segmento verso destra.
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Da A e B traccia le perpendicolari a r. Continua ciascuna oltre r per la stessa distanza: ottieni A′ e B′. Unendoli ottieni il segmento specchiato.
2. Il triangolo appoggiato sulla retta r
Riproduci il triangolo ABC sui quadretti e specchialo rispetto alla retta orizzontale r. Osserva che B e C sono già sulla retta.
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B e C non si spostano: B′=B e C′=C. Il vertice A è tre quadretti sopra r, quindi A′ va tre quadretti sotto r, nella stessa colonna. Unisci A′ a B e a C.
3. Il segmento CD e l’asse y
Disegna C(3; −2) e D(2; 1), poi il segmento CD. Costruisci il suo simmetrico rispetto all’asse y e scrivi le nuove coordinate.
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Rispetto all’asse y cambia segno soltanto la prima coordinata: C′=(−3; −2) e D′=(−2; 1). La seconda coordinata non cambia; i punti restano sulle stesse righe.
4. Quattro lettere, quattro assi: L, V, T e K
Specchia ciascuna lettera rispetto al proprio asse: L rispetto a l (verticale), V rispetto a v (orizzontale), T rispetto a t (obliquo discendente), K rispetto a k (obliquo ascendente). Sono quattro disegni diversi.
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Per L e V puoi contare le caselle rispettivamente in orizzontale e in verticale. Per T e K, traccia da ogni angolo una perpendicolare all’asse inclinato e riporta la stessa distanza dall’altra parte. La L cambia verso; la V appare capovolta; anche T e K si ribaltano rispetto ai propri assi.
5. Un quadrilatero rispetto alla retta s
Disegna un quadrilatero ABCD come quello illustrato e costruisci la sua immagine rispetto alla retta obliqua s.
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Specchia separatamente i quattro vertici con perpendicolari a s e uguali distanze. Unisci A′, B′, C′ e D′ in quest’ordine. Il quadrilatero mantiene forma e dimensioni, ma è ribaltato.
6. Trova le immagini dei punti
Nel disegno con la retta s, quali punti sono le immagini di A, B, C, D ed E? Guarda anche i punti che sono già sull’asse.
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Le coppie corrette sono A↔K, B↔N, C↔O e D↔F. E si trova su s, quindi E↔E. Anche P è sull’asse e resterebbe fermo, ma non è fra i punti richiesti. L, R, Q e M sono distrattori.
7. Il triangolo e la retta per O e P(1; 3)
Nel piano cartesiano disegna la retta s che passa per O=(0; 0) e P(1; 3). Disegna il triangolo OAB con A(4; 2) e B(3; −1), poi la sua immagine rispetto a s. Quali sono i nuovi vertici?
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O è sulla retta s e resta O. Costruendo le perpendicolari a s si ottengono A′=(−2; 4) e B′=(−3; 1). Controllo: i segmenti AA′ e BB′ sono perpendicolari a s e i loro punti medi appartengono a s.
8. Due triangoli: trova l’asse
Disegna ABC con A(1; 1), B(1; 4), C(5; 1) e DEF con D(−1; −1), E(−1; −5), F(−4; −1). Confronta le lunghezze dei lati e trova la retta rispetto alla quale un triangolo è l’immagine dell’altro.
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In ABC i lati misurano 3, 4 e 5 unità; in DEF le stesse lunghezze. Le corrispondenze sono A↔D, B↔F, C↔E. L’asse è la retta y=−x: riflettendo (x; y) su questa retta ottieni (−y; −x).
Che cosa controllare
Ogni punto e la sua immagine stanno su una retta perpendicolare all’asse e alla stessa distanza da esso. Le figure hanno le stesse lunghezze, anche se appaiono capovolte. Se l’asse passa per un punto, quel punto coincide con la propria immagine.