Salvatore Mosaico · 2026
Sommaire
- 1. Le problème
- 2. « 12 pour moi, 9 pour toi et 14 pour toi »
- 3. Une question qui change le problème
- 4. « Qui a dit que les âges devaient être entiers ? »
- 5. Possible ne signifie pas « plus probable »
- 6. Pourquoi connaît-on les châtaignes, mais pas les âges ?
- 7. Qu’avons-nous appris sur l’IA ?
- 8. Un dernier défi pour la classe
Simulation pédagogique inspirée de la conversation « Calcolo delle castagne ». Les répliques ont été adaptées pour la leçon : il ne s’agit pas d’une transcription littérale. La couverture est une illustration narrative, pas une représentation des quantités ou des âges exacts.
1. Le problème
Enseignant : Trois fillettes, Mary, Nellie et Susie, ramassent 770 châtaignes. Elles les partagent proportionnellement à leurs âges. Pour quatre châtaignes reçues par Mary, Nellie en reçoit trois ; pour six reçues par Mary, Susie en reçoit sept. Combien chacune en reçoit-elle ?
Anna : Il y a trois personnes, mais nous ne connaissons que deux rapports.
Enseignant : Est-ce suffisant ? Demandons à l’IA.
IA : Les rapports sont M : N = 4 : 3 et M : S = 6 : 7. En exprimant la part de Mary par 12 unités, nous obtenons M : N : S = 12 : 9 : 14. Il y a 35 unités ; chacune vaut 770 ÷ 35 = 22 châtaignes. Mary en reçoit 264, Nellie 198 et Susie 308.
Luca : Elle a déjà tout résolu.
Enseignant : Elle a fourni une solution. Rendons maintenant le raisonnement visible.
2. « 12 pour moi, 9 pour toi et 14 pour toi »
Enseignant : Plaçons les données dans un tableau :
| Situation | Mary | Nellie | Susie |
|---|---|---|---|
| Premier rapport | 4 | 3 | — |
| Second rapport | 6 | — | 7 |
Marta : Mary apparaît deux fois, avec deux nombres différents.
Enseignant : Exactement. Nous ne pouvons pas simplement retenir 4, 3 et 7 : ils ne sont pas encore à la même échelle. Comment harmoniser les valeurs de Mary ?
Luca : Le plus petit commun multiple de 4 et 6 est 12.
Enseignant : Multiplions la première ligne par 3 et la seconde par 2.
| Situation | Mary | Nellie | Susie |
|---|---|---|---|
| Premier rapport × 3 | 12 | 9 | — |
| Second rapport × 2 | 12 | — | 14 |
Anna : Nous pouvons maintenant réunir les lignes : M : N : S = 12 : 9 : 14.
Enseignant : Imaginons des tours de distribution : « 12 pour Mary, 9 pour Nellie et 14 pour Susie ». Combien faut-il de châtaignes par tour ?
Marta : Trente-cinq : 12 + 9 + 14 = 35.
Enseignant : Combien de tours pouvons-nous faire ? 770 ÷ 35 = 22.
| Fillette | Parts | Châtaignes |
|---|---|---|
| Mary | 12 | 12 × 22 = 264 |
| Nellie | 9 | 9 × 22 = 198 |
| Susie | 14 | 14 × 22 = 308 |
Davide : Vérifions le total : 264 + 198 + 308 = 770.
Enseignant : Vérifions aussi les rapports : 264 : 198 = 4 : 3 et 264 : 308 = 6 : 7. Toutes les conditions sont respectées.
3. Une question qui change le problème
Enseignant : Nous avons trouvé les châtaignes. Et les âges des fillettes ?
IA : Les âges sont proportionnels à 12, 9 et 14. Le triplet le plus naturel est donc 12 ans, 9 ans et 14 ans.
Anna : Cela semble raisonnable.
Luca : Mais avons-nous réellement démontré que Mary a douze ans ?
Enseignant : Le nombre 12 représentait-il un âge ou un nombre de parts ?
Marta : Un nombre de parts.
Enseignant : En passant de « les âges sont dans le rapport 12 : 9 : 14 » à « les âges sont 12, 9 et 14 ans », quel choix avons-nous fait ?
Davide : Nous avons décidé qu’une part correspondait à un an.
Enseignant : Où le texte le dit-il ?
La classe relit le problème.
Anna : Il ne le dit pas.
4. « Qui a dit que les âges devaient être entiers ? »
Luca : Susie aurait quatorze ans. Le mot « fillettes » me fait penser à des enfants plus jeunes.
IA : Si les âges sont entiers, le plus petit triplet positif est 12, 9 et 14. Il faudrait peut-être parler de jeunes filles.
Enseignant : Arrêtons-nous avant de corriger l’histoire. Qui a dit que les âges devaient être des nombres entiers ?
Marta : Personne. On peut avoir quatre ans et demi.
Enseignant : Exactement. Le texte ne précise pas que nous utilisons les années révolues sous forme de nombres entiers. Nous pouvons représenter les âges, en années, ainsi :
Mary = 12 × k
Nellie = 9 × k
Susie = 14 × k
k > 0
Anna : Douze, neuf et quatorze ans correspondent donc seulement au choix k = 1.
Enseignant : Précisément. Ce triplet respecte les rapports, mais c’est une possibilité, pas une conséquence nécessaire des données.
IA : En choisissant k = ½, nous obtenons 6 ans, 4,5 ans et 7 ans.
Marta : Les rapports restent identiques : 6 : 4,5 = 4 : 3 et 6 : 7 = 6 : 7.
Enseignant : Nous avons trouvé un autre triplet compatible. Cela suffit à prouver que les âges ne sont pas déterminés de façon unique.
5. Possible ne signifie pas « plus probable »
Enseignant : Essayons d’autres valeurs de k.
| k | Mary | Nellie | Susie |
|---|---|---|---|
| ¼ | 3 ans | 2 ans 3 mois | 3 ans 6 mois |
| ½ | 6 ans | 4 ans 6 mois | 7 ans |
| ⅔ | 8 ans | 6 ans | 9 ans 4 mois |
| ¾ | 9 ans | 6 ans 9 mois | 10 ans 6 mois |
Davide : Le premier triplet me semble peu réaliste pour ramasser et partager 770 châtaignes.
Enseignant : C’est une appréciation du contexte. Le récit ne précise ni le temps consacré à cette activité ni l’aide éventuelle d’une autre personne.
Anna : Peut-on dire que six ans, quatre ans et demi et sept ans sont les âges les plus probables ?
Enseignant : Nous pouvons les juger plausibles. Mais nous n’avons pas de données permettant d’attribuer des probabilités aux différents triplets, ni de désigner le plus probable.
Luca : Huit ans, six ans et neuf ans et quatre mois pourraient aussi convenir.
Enseignant : Exactement. Le mot « fillettes » peut guider l’interprétation, mais ne donne pas une mesure exacte.
- Démontré : les âges sont dans le rapport 12 : 9 : 14.
- Possible : les âges sont 6, 4,5 et 7 ans.
- Non démontré : ce sont les âges réels ou les plus probables.
6. Pourquoi connaît-on les châtaignes, mais pas les âges ?
Marta : Nous utilisons le même rapport : pourquoi les châtaignes sont-elles déterminées et pas les âges ?
Enseignant : Pour les châtaignes, nous connaissons également le total. Si c désigne le nombre de châtaignes par part :
12 × c + 9 × c + 14 × c = 770
35 × c = 770
c = 770 ÷ 35 = 22
Enseignant : Pour les âges, nous avons 12 × k + 9 × k + 14 × k = 35 × k, mais nous ne connaissons pas leur somme. Rien ne détermine k.
Davide : Je ne peux donc pas utiliser 22 pour les âges aussi.
Enseignant : Exactement. Ce 22 vient du total des châtaignes, pas d’une information sur les âges. Le rapport est commun ; l’échelle ne l’est pas.
Anna : Quelle information supplémentaire suffirait ?
Enseignant : Par exemple : « Mary a six ans ».
12 × k = 6
k = 6 ÷ 12 = ½
Enseignant : Nellie aurait alors 4,5 ans et Susie 7 ans. L’échelle est connue, donc tous les âges le sont.
7. Qu’avons-nous appris sur l’IA ?
Enseignant : L’IA s’était-elle trompée dans le partage des châtaignes ?
Classe : Non.
Enseignant : Pourquoi continuer à discuter ?
Marta : Parce que la question des âges introduisait un autre problème.
Luca : Et l’IA a privilégié un triplet sans donnée qui l’imposait.
Anna : Puis, au lieu de remettre immédiatement en question les âges entiers, elle a proposé de changer le mot « fillettes ».
Davide : La question décisive n’était pas « refais le calcul », mais « qui a dit que les âges devaient être entiers ? ».
Enseignant : Exactement. La même question vaut pour une réponse de moi, de vous ou d’un livre :
Quelles hypothèses viennent du texte et lesquelles avons-nous ajoutées ?
Il ne faut ni rejeter toutes les réponses de l’IA ni les accepter parce qu’elles semblent convaincantes. Nous pouvons calculer, comparer des exemples et construire des explications avec elle, tout en distinguant données, déductions et suppositions.
8. Un dernier défi pour la classe
Enseignant : Supposons que nous sachions aussi que la somme des âges est de 28 ans. Trouvez les trois âges et expliquez quelle information a supprimé l’incertitude.
Marta : Pouvons-nous utiliser l’IA ?
Enseignant : Oui. Mais expliquez pourquoi la solution est unique cette fois.
Afficher la solution et l’explication
35 × k = 28
k = 28 ÷ 35 = 0,8
Mary = 12 × 0,8 = 9,6
Nellie = 9 × 0,8 = 7,2
Susie = 14 × 0,8 = 11,2
La somme des âges détermine k de façon unique. Vérification : 9,6 + 7,2 + 11,2 = 28. Les âges sont exprimés en années décimales : 9,6 ans ne signifie pas 9 ans et 6 mois.
La leçon n’est pas que l’IA se trompe toujours. C’est qu’une réponse correcte à une question ne garantit pas que toutes les interprétations suivantes soient correctes.