Questa seconda raccolta richiede più di una risposta istintiva. Alcuni quesiti si risolvono con un calcolo, altri con un’invariante, un piano di pesate o una scelta strategica. Leggi la domanda, prova a costruire una soluzione e solo allora apri risultato e spiegazione. Dove il testo originale lasciava un’ipotesi implicita, la indichiamo per rendere la risposta verificabile.
I 50 rompicapi
Hai 8 palline identiche all’apparenza, ma una pesa più delle altre. Con una bilancia a due piatti, qual è il numero minimo di pesate per trovarla?
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Risultato: 2 pesate.
Spiegazione: Pesa 3 contro 3. Se sono in equilibrio, la pallina pesante è fra le 2 escluse: confrontale. Se un gruppo è più pesante, confronta 2 delle sue 3 palline: se sono pari è la terza, altrimenti è quella più pesante.
Hai 9 monete, una è falsa ed è più leggera. Quante pesate bastano?
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Risultato: 2 pesate.
Spiegazione: Dividile in tre gruppi da 3. Pesa i primi due gruppi: la moneta falsa è nel gruppo più leggero, oppure nel terzo se sono pari. Tra quelle 3 pesa una moneta contro un’altra.
Un lago si copre di ninfee. Ogni giorno la superficie coperta raddoppia. Se al 48° giorno il lago è completamente coperto, quando era coperto a metà?
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Risultato: Il 47° giorno.
Spiegazione: Il raddoppio dell’ultimo giorno trasforma metà superficie nell’intera superficie.
Un padre ha 4 volte l’età del figlio. Tra 20 anni avrà il doppio della sua età. Quanti anni hanno oggi?
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Risultato: Padre 40 anni, figlio 10.
Spiegazione: Se il figlio ha x anni, il padre ne ha 4x. Fra 20 anni: 4x + 20 = 2(x + 20), da cui x = 10.
Due treni distano 300 km e viaggiano uno verso l’altro a 80 e 70 km/h. Quanto tempo impiegano a incontrarsi?
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Risultato: 2 ore.
Spiegazione: La velocità di avvicinamento è 80 + 70 = 150 km/h; 300 ÷ 150 = 2 ore.
Una racchetta e una pallina costano 1,10 €. La racchetta costa 1 € più della pallina. Quanto costa la pallina?
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Risultato: 0,05 €.
Spiegazione: Se la pallina costa x, la racchetta costa x + 1: 2x + 1 = 1,10, dunque x = 0,05.
Un orologio perde 5 minuti ogni ora. Se viene regolato correttamente a mezzogiorno, cosa segnerà alle 18 reali?
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Risultato: 17:30.
Spiegazione: Sono passate 6 ore reali e l’orologio ha perso 6 × 5 = 30 minuti.
Un uomo percorre metà strada a 60 km/h e l’altra metà a 40 km/h. Qual è la velocità media?
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Risultato: 48 km/h.
Spiegazione: Su due tratti di uguale lunghezza la media è armonica: 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 48, non 50.
Tre interruttori controllano tre lampadine in una stanza chiusa. Puoi entrare una sola volta. Come scopri quale interruttore controlla ogni lampadina?
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Risultato: Usa luce e calore.
Spiegazione: Accendi il primo per qualche minuto e poi spegnilo; accendi il secondo ed entra. La lampadina accesa è del secondo, quella spenta ma calda del primo, quella fredda del terzo. Serve una lampadina che conservi calore percepibile, non necessariamente una LED.
Hai due corde che bruciano ciascuna in esattamente 60 minuti, ma non in modo uniforme. Come misuri 45 minuti?
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Risultato: Accendi una corda da entrambi i capi e l’altra da un capo.
Spiegazione: La prima finisce dopo 30 minuti. In quel momento accendi anche l’altro capo della seconda corda, che ha 30 minuti di combustione residua: finirà dopo altri 15.
Ci sono 100 porte chiuse. Al primo passaggio le apri tutte, al secondo cambi stato a ogni seconda porta, al terzo a ogni terza, e così via fino a 100. Quali restano aperte?
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Risultato: Le porte con numero quadrato perfetto: 1, 4, 9, …, 100.
Spiegazione: La porta n cambia stato una volta per ogni divisore di n. Resta aperta soltanto se il numero di cambi è dispari.
Quattro persone devono attraversare un ponte di notte. Impiegano 1, 2, 5 e 10 minuti; hanno una sola torcia, il ponte regge al massimo due persone e chi passa insieme procede al ritmo del più lento. Qual è il tempo minimo?
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Risultato: 17 minuti.
Spiegazione: Passano 1 e 2 (2 minuti); torna 1 (1); passano 5 e 10 (10); torna 2 (2); passano 1 e 2 (2). Totale 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17.
Un uomo deve attraversare un fiume con una volpe, una gallina e un sacco di grano. La barca porta lui più un solo oggetto. Come fa?
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Risultato: Gallina, volpe, gallina, grano, gallina.
Spiegazione: Porta la gallina e torna solo. Porta la volpe e riporta la gallina. Porta il grano e torna solo. Infine porta di nuovo la gallina: non lascia mai insieme volpe e gallina, né gallina e grano, senza sorveglianza.
Hai 12 monete, una falsa, ma non sai se pesa di più o di meno. Qual è il numero minimo di pesate con una bilancia a due piatti?
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Risultato: 3 pesate.
Spiegazione: Le ipotesi sono 24: ciascuna delle 12 monete può essere più pesante o più leggera. Due pesate danno al massimo 3² = 9 sequenze di esiti; tre ne danno 3³ = 27. Esiste una strategia di tre pesate che distingue tutte le 24 ipotesi.
Un’auto sale una montagna a 30 km/h. A quale velocità deve scendere lungo la stessa distanza per avere una media complessiva di 60 km/h?
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Risultato: Nessuna velocità finita: è impossibile.
Spiegazione: Per una distanza d in salita ha già impiegato d/30 ore, esattamente il tempo totale 2d/60 consentito da una media di 60 km/h. Non rimane tempo per la discesa.
Una bottiglia contiene vino e acqua in rapporto 3:2. Se ci sono 10 litri totali, quanti litri di vino ci sono?
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Risultato: 6 litri.
Spiegazione: Le parti totali sono 3 + 2 = 5. Ogni parte vale 10/5 = 2 litri; il vino occupa 3 parti, cioè 6 litri.
In un gioco con tre porte, dietro una c’è un premio. Scegli una porta; il conduttore, che sa dov’è il premio, apre sempre una delle altre due senza premio e ti offre di cambiare. Conviene cambiare?
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Risultato: Sì: cambiando si vince con probabilità 2/3.
Spiegazione: La scelta iniziale è sbagliata con probabilità 2/3. In quel caso il conduttore è costretto ad aprire l’unica porta vuota rimasta e il cambio porta al premio. Si suppone che il conduttore offra sempre il cambio.
Lanci due dadi equi a sei facce. È più probabile ottenere una somma di 7 o una somma di 8?
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Risultato: La somma 7.
Spiegazione: Le coppie ordinate che danno 7 sono 6; quelle che danno 8 sono 5. Le probabilità sono dunque 6/36 e 5/36.
Hai 3 scatole: una con sole mele, una con sole arance e una mista. Tutte le etichette sono sbagliate. Quanti frutti devi estrarre per etichettarle correttamente?
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Risultato: Un solo frutto.
Spiegazione: Estrai dalla scatola etichettata “mista”: non può essere mista, quindi il frutto rivela se contiene solo mele o solo arance. Le altre due etichette si deducono sapendo che sono entrambe sbagliate.
Hai una brocca da 5 litri e una da 3 litri, senza tacche. Puoi riempirle, svuotarle e travasare fino a riempire l’altra brocca. Come misuri esattamente 4 litri?
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Risultato: Alla fine restano 4 litri nella brocca da 5.
Spiegazione: Riempi la brocca da 5 e versa in quella da 3: ne restano 2. Svuota quella da 3, versaci i 2 litri, riempi di nuovo quella da 5 e versa 1 litro per colmare quella da 3. Nella prima restano 4 litri.
Due persone giocano 5 partite a scacchi. Ognuna ne vince 3. Com’è possibile?
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Risultato: Non giocano una contro l’altra.
Spiegazione: Ciascuna gioca cinque partite contro avversari diversi; dunque entrambe possono vincerne tre.
Un uomo abita al 20° piano. Ogni mattina prende l’ascensore fino al piano terra. Al ritorno sale fino al 12° e poi fa le scale, tranne quando piove. Perché?
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Risultato: È basso e raggiunge il pulsante del 20° piano usando l’ombrello.
Spiegazione: Di solito arriva solo al pulsante del 12°; nei giorni di pioggia usa l’ombrello per premere quello del 20°.
Hai 1000 bottiglie e una contiene veleno. Hai 10 topi e il veleno uccide entro 24 ore. Come trovi la bottiglia in un solo turno di prova?
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Risultato: Numera le bottiglie in binario e usa ogni topo come un bit.
Spiegazione: Numera le bottiglie da 0 a 999. Ogni topo assaggia una miscela delle bottiglie il cui numero ha 1 nel bit assegnato. Dopo 24 ore, i topi colpiti formano il numero binario della bottiglia avvelenata, supponendo test affidabili.
Quattro carte mostrano A, D, 4 e 7. Ogni carta ha una lettera su un lato e un numero sull’altro. Per verificare la regola “se c’è una vocale, sull’altro lato c’è un numero pari”, quali carte devi girare?
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Risultato: A e 7.
Spiegazione: A va girata per controllare che dietro ci sia un numero pari. Il 7 va girato perché dietro non deve esserci una vocale. D e 4 non possono smentire la regola.
Un numero di due cifre ha somma delle cifre 9. Invertendo le cifre il numero aumenta di 27. Qual è il numero?
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Risultato: 36.
Spiegazione: Se le cifre sono a e b, a + b = 9 e 9(b − a) = 27. Quindi b − a = 3, a = 3 e b = 6.
Un numero di due cifre ha somma delle cifre 11. Invertendole il numero diminuisce di 27. Trovalo.
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Risultato: 74.
Spiegazione: Se le cifre sono a e b, a + b = 11 e 9(a − b) = 27. Quindi a − b = 3, a = 7 e b = 4.
Qual è il numero minimo di persone affinché la probabilità che almeno due condividano il compleanno superi il 50%, assumendo 365 date equiprobabili e indipendenti?
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Risultato: 23 persone.
Spiegazione: Calcola il complemento: la probabilità di compleanni tutti diversi è (365/365) × (364/365) × … × (343/365). Per 23 persone è circa 0,493; dunque almeno una coincidenza ha probabilità circa 0,507.
Hai due clessidre da 7 e 11 minuti. Come misuri esattamente 15 minuti?
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Risultato: Avviale insieme; gira quella da 7 ai minuti 7 e 11.
Spiegazione: Al minuto 7 la clessidra da 7 si svuota: girala. Al minuto 11 si svuota quella da 11; gira di nuovo quella da 7. In quel momento contiene nella parte superiore 4 minuti di sabbia, quindi finirà al minuto 15.
Un contadino deve dividere 17 cammelli tra tre figli: metà al primo, un terzo al secondo, un nono al terzo. Come fa senza tagliare cammelli?
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Risultato: Aggiunge temporaneamente un 18° cammello.
Spiegazione: Calcola le quote su 18: 9, 6 e 2 cammelli. Sommano 17, quindi il cammello aggiunto può essere ripreso. Le frazioni assegnate non sommano a 1: è questa la particolarità del racconto.
È possibile che un cavallo degli scacchi percorra tutte le 25 caselle di una scacchiera 5×5 una sola volta e torni alla casella di partenza?
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Risultato: No.
Spiegazione: Ogni mossa del cavallo cambia colore della casella. Un percorso chiuso deve quindi avere un numero pari di mosse; visitare una volta tutte le 25 caselle e tornare al punto iniziale richiederebbe 25 mosse, un numero dispari.
Hai una scacchiera 8×8 a cui togli due angoli opposti. Puoi ricoprirla con 31 tessere domino 1×2?
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Risultato: No.
Spiegazione: I due angoli opposti hanno lo stesso colore: rimangono 30 caselle di quel colore e 32 dell’altro. Ogni domino copre sempre una casella per colore.
Scegli cinque punti in un quadrato di lato 1. Puoi garantire che almeno due distino al massimo √2/2?
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Risultato: Sì.
Spiegazione: Dividi il quadrato in quattro quadrati di lato 1/2. Per il principio dei cassetti, due dei cinque punti sono nello stesso quadratino; la loro distanza non supera la sua diagonale, √2/2. I punti sui confini si assegnano a uno dei quadratini adiacenti.
Tre prigionieri indossano cappelli presi da 2 bianchi e 3 neri. Ognuno vede i cappelli degli altri due ma non il proprio. Il primo dice “non so”, il secondo dice “non so”. Il terzo sa il colore del proprio cappello. Qual è?
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Risultato: Nero.
Spiegazione: Se il primo avesse visto due cappelli bianchi, avrebbe saputo di avere un cappello nero. Il suo “non so” esclude quel caso. Se il terzo fosse bianco, il secondo saprebbe allora di essere nero; anche lui dice “non so”. Dunque il terzo è nero.
Hai 25 cavalli e 5 corsie. Puoi far correre 5 cavalli alla volta e non hai cronometro. Qual è il minimo numero di gare per trovare i 3 più veloci?
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Risultato: 7 gare.
Spiegazione: Fai 5 gare, una per gruppo, e una fra i vincitori. Se i vincitori arrivano A₁, B₁, C₁, D₁, E₁, il più veloce è A₁. Per secondo e terzo restano solo A₂, A₃, B₁, B₂, C₁: una settima gara li ordina.
Ci sono dieci sacchetti di monete. In nove sacchetti ogni moneta pesa 10 g; in uno tutte pesano 9 g. Con una sola pesata su una bilancia digitale, come individui il sacchetto diverso?
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Risultato: Preleva 1, 2, …, 10 monete dai rispettivi sacchetti.
Spiegazione: Le 55 monete peserebbero 550 g se fossero tutte autentiche. Se la pesata dà 550 − k grammi, il sacchetto k contiene le monete da 9 g. Si suppone che ogni sacchetto contenga almeno dieci monete.
Hai 2 uova e un edificio di 100 piani. Vuoi trovare il piano più alto da cui un uovo non si rompe minimizzando il massimo numero di lanci. Quanti lanci bastano?
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Risultato: 14 lanci.
Spiegazione: Con il primo uovo prova piani separati da intervalli decrescenti: 14, poi 13, poi 12 piani e così via. Se si rompe, usa il secondo per cercare linearmente nell’ultimo intervallo: in ogni caso al massimo 14 lanci.
Due porte: una porta alla libertà, l’altra no. Due guardie conoscono la porta giusta; una dice sempre il vero e l’altra mente sempre. Puoi fare una sola domanda a una guardia. Cosa chiedi?
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Risultato: Chiedi quale porta indicherebbe l’altra guardia e scegli quella opposta.
Spiegazione: Se interroghi la guardia sincera, riferisce la risposta falsa dell’altra. Se interroghi la bugiarda, mente sulla risposta vera dell’altra. In entrambi i casi indica la porta sbagliata.
Un uomo entra in un bar e chiede un bicchiere d’acqua. Il barista gli punta una pistola. L’uomo dice grazie e se ne va. Perché?
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Risultato: Aveva il singhiozzo.
Spiegazione: Lo spavento gli fa passare il singhiozzo, quindi non ha più bisogno dell’acqua.
Una donna spinge la propria auto fino a un hotel e improvvisamente perde tutto. Perché?
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Risultato: Sta giocando a Monopoly.
Spiegazione: L’auto è la sua pedina e l’hotel è una proprietà avversaria costosa.
Un uomo viene trovato morto in un campo con uno zaino chiuso sulla schiena. Cosa è successo?
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Risultato: Il paracadute non si è aperto.
Spiegazione: Lo “zaino” contiene il paracadute rimasto chiuso durante la caduta.
Un uomo è trovato impiccato in una stanza chiusa. Sotto di lui c’è solo una pozza d’acqua. Come ha fatto?
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Risultato: È salito su un blocco di ghiaccio.
Spiegazione: Il blocco è poi sciolto, lasciando la pozza d’acqua.
In una stanza ci sono 3 persone. Ognuna stringe la mano a tutte le altre una volta. Quante strette di mano avvengono?
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Risultato: 3.
Spiegazione: Le coppie sono 3 × 2 ÷ 2 = 3; dividiamo per 2 perché ogni stretta coinvolge due persone.
Se aumenti un prezzo del 20% e poi lo riduci del 20%, torni al prezzo iniziale?
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Risultato: No: resta il 96% del prezzo iniziale.
Spiegazione: Il fattore complessivo è 1,20 × 0,80 = 0,96. Il secondo 20% agisce sul prezzo già aumentato.
Un prezzo scende del 50%. Di quanto deve aumentare per tornare al valore iniziale?
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Risultato: Del 100%.
Spiegazione: Dopo il ribasso resta metà del prezzo. Per tornare al prezzo iniziale bisogna raddoppiare quella metà.
Quante diagonali ha un decagono?
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Risultato: 35.
Spiegazione: Da ogni vertice partono diagonali verso 10 − 3 = 7 vertici. Contando ciascuna diagonale due volte otteniamo 10 × 7 ÷ 2 = 35.
Completa la sequenza: 2, 3, 5, 9, 17, ?
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Risultato: 33.
Spiegazione: La regola proposta è “raddoppia e sottrai 1”: 17 × 2 − 1 = 33. Come per ogni sequenza finita, senza una regola esplicita sono possibili anche altri proseguimenti.
Trova il numero mancante: 1, 2, 6, 24, 120, ?
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Risultato: 720.
Spiegazione: Sono i fattoriali da 1! a 6!: 6! = 720. Altre regole potrebbero riprodurre i primi termini, ma questa è quella naturale.
Qual è il numero seguente: 1, 4, 10, 22, 46, ?
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Risultato: 94.
Spiegazione: La regola proposta è “raddoppia e aggiungi 2”: 46 × 2 + 2 = 94. Una sequenza finita, da sola, non determina un seguito unico.
Un uomo deve trasportare 3000 banane per 1000 km. Il cammello porta al massimo 1000 banane e consuma una banana per km percorso. Quante può consegnarne al massimo, ammettendo depositi intermedi e frazioni di banana?
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Risultato: 533⅓ banane nel modello continuo.
Spiegazione: Per spostare 3000 banane finché ne restano 2000 servono 5 km di cammello per km di avanzamento: 1000/5 = 200 km. Da 2000 a 1000 il costo è 3 per km: 1000/3 = 333⅓ km. Restano 466⅔ km da percorrere con un solo carico di 1000: arrivano 1000 − 466⅔ = 533⅓ banane. Se le banane sono indivisibili, serve un modello discreto a parte.
Tre persone pagano 30 € per una stanza. L’albergatore restituisce 5 €. Il fattorino tiene 2 € e restituisce 1 € a ciascuno. Ognuno ha pagato 9 €, quindi 27 €, più i 2 € del fattorino = 29 €. Dov’è finito 1 €?
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Risultato: Non manca nessun euro.
Spiegazione: I 27 € già comprendono i 2 € del fattorino: 25 € all’albergo + 2 € al fattorino = 27 €. I 3 € restituiti completano i 30 €. Sommare ancora 2 ai 27 è l’errore.