Una temperatura dipende dal luogo, un costo da più quantità, l’altezza di un terreno da due coordinate. Non basta più scegliere un numero x: scegliamo una coppia (x,y) e otteniamo un solo valore z. Apriamo il terzo blocco imparando dove una funzione è definita e come leggere il grafico. Prima il dominio, poi valore, superficie, livelli e sezioni: non occorrono ancora derivate parziali.
Laboratorio: funzioni di due variabili e superfici · Indice del percorso
1. Due ingressi e un risultato
Su una mappa, x indica lo spostamento est–ovest e y quello nord–sud. La temperatura T(x,y) associa al punto un numero, non una coppia di temperature. La coppia è ordinata: (1,2) e (2,1) sono luoghi diversi. Per f(x,y)=x+2y troviamo f(1,2)=5 e f(2,1)=4.
(x,y) ↦ z=f(x,y)
f(1,2)=1+2·2=5
f(2,1)=2+2·1=4
Due variabili indipendenti significa un ingresso a due coordinate, non che ogni coppia reale sia ammessa. x²+y²≤4 lega i valori consentiti, lasciando una funzione di due variabili su un disco.
2. Dominio, codominio e immagine
f:D⊆ℝ²→ℝ
G_f={(x,y,f(x,y)) : (x,y)∈D}⊆ℝ³
f(D)={z∈ℝ : ∃(x,y)∈D, z=f(x,y)}
D è l’insieme degli ingressi ammessi, nel piano. ℝ è qui il codominio dichiarato; f(D) è l’immagine dei valori effettivamente raggiunti. Il grafico G_f è invece un insieme nello spazio: non va confuso con D o f(D).
Per x²+y² su ℝ², il codominio può essere ℝ ma l’immagine è [0,+∞): i quadrati non danno somme negative e ogni z≥0 si raggiunge in (√z,0). Restringendo D al disco x²+y²≤4, l’immagine diventa [0,4]. Stessa formula, diverso dominio assegnato.
3. Una quota per punto: non ogni superficie è un grafico
Da P=(x,y,0) saliamo o scendiamo fino a Q=(x,y,f(x,y)). Sopra ogni coppia del dominio c’è una sola quota. Una retta verticale incontra quindi il grafico al massimo una volta.
x²+y²+z²=4
z=±√(4−x²−y²)
La sfera completa non è il grafico di una sola funzione z=f(x,y): per (0,0) dà z=2 e z=−2. La semisfera superiore sceglie la radice positiva ed è una funzione sul disco chiuso di raggio 2. Dominio: disco; grafico: semisfera, non palla piena.
4. Le tre restrizioni fondamentali
√A(x,y): A(x,y)≥0
1/B(x,y): B(x,y)≠0
ln C(x,y): C(x,y)>0
Nei reali, la radice quadrata ammette radicando zero, il logaritmo no. Un denominatore non può essere zero, neppure se dopo si semplifica un fattore: l’espressione originaria conserva i punti esclusi. Una radice al denominatore richiede radicando strettamente positivo.
Le condizioni valgono contemporaneamente: intersezione, non unione. Per √(xy), xy≥0 comprende primo e terzo quadrante con entrambi gli assi. Richiedere x≥0 e y≥0 separatamente sarebbe troppo restrittivo: anche due negativi danno prodotto positivo.
5. Esempio completo: radice e logaritmo insieme
f(x,y)=√(9−x²−y²)/ln(y−x)
9−x²−y²≥0
y−x>0
ln(y−x)≠0 ⇔ y−x≠1
D={(x,y): x²+y²≤9, y>x, y≠x+1}
Il numeratore impone il disco chiuso di raggio 3; il logaritmo seleziona il semipiano sopra y=x; il denominatore esclude anche y=x+1. La circonferenza esterna non è tutta esclusa: i punti che rispettano le altre condizioni restano ammessi con numeratore zero.
(0,2)∈D; f(0,2)=√5/ln2
(0,1)∉D: ln1=0
(0,0)∉D: ln0
(0,3)∈D; f(0,3)=0
Controllare punti aiuta, ma la descrizione completa è il sistema di condizioni. Il laboratorio ha otto modelli predisposti: questa espressione composta è un esercizio analitico, non un input libero del programma.
6. Regioni, bordi e punti esclusi
x²+y²≤4 è un disco con bordo; x²+y²<4 esclude la circonferenza. y>x² è la regione sopra una parabola, non solo la curva. x²+y²≠1 è tutto il piano tranne una circonferenza: sia interno sia esterno sono ammessi.
Usiamo bordo continuo se incluso, tratteggiato se escluso. Un dominio può essere illimitato, avere buchi o regioni separate. La finestra quadrata del software limita la vista, non il dominio: allargare lo zoom non cambia le condizioni.
7. Superfici di riferimento e immagini
z=1+x/2−3y/4: f(ℝ²)=ℝ
z=x²+y²: f(ℝ²)=[0,+∞)
z=x²−y²: f(ℝ²)=ℝ
z=√(4−x²−y²): f(D)=[0,2]
Il primo grafico è un piano inclinato; il secondo un paraboloide a scodella, con quota uguale al quadrato della distanza dall’origine. La sella sale come x² su y=0 e scende come −y² su x=0. Per raggiungere z≥0 scegli (√z,0); per z<0 scegli (0,√(−z)): così dimostriamo che la sua immagine è ℝ.
La collina e^(−x²−y²) ha massimo 1 nell’origine, resta positiva e si avvicina a zero a grande distanza: immagine (0,1], non [0,1]. Per ln(y−x²), ogni quota z si ottiene in x=0,y=e^z: immagine ℝ, anche se il dominio non è tutto il piano.
8. Curve di livello: punti alla stessa quota
L_k={(x,y)∈D : f(x,y)=k}
z=x²+y² ⇒ L_k: x²+y²=k
k<0: ∅; k=0: {(0,0)}; k>0: r=√k
Il livello si disegna nel piano xy; l’intersezione corrispondente con z=k è nello spazio. Stesse coordinate x,y, ma quota zero nel piano e k sulla superficie. Il termine “curva” è comodo: un livello può essere vuoto, un punto, più curve o anche una regione.
√(4−x²−y²)=k ⇒ x²+y²=4−k²; 0≤k≤2
ln(y−x²)=k ⇒ y=x²+e^k
x²−y²=0 ⇒ y=x ∨ y=−x
Prima di elevare al quadrato la semisfera imponiamo k≥0, evitando falsi livelli negativi. k=2 dà un punto, k=0 la circonferenza del bordo. I livelli del logaritmo sono parabole sopra y=x², mai sul bordo escluso. Il livello zero della sella unisce due rette, non una sola.
9. Dominio e quote possibili: un esempio con esclusioni
z=1/(x²+y²−1); r²=x²+y²
0≤r²<1 ⇒ z∈(−∞,−1]
r²>1 ⇒ z∈(0,+∞)
f(D)=(−∞,−1] ∪ (0,+∞)
L_k: r²=1+1/k
Dentro il cerchio escluso il denominatore è in [−1,0): z≤−1, con −1 nell’origine. Fuori può assumere ogni valore positivo, come il suo reciproco. Zero e quote tra −1 e 0 non si ottengono. k=−1 dà un punto, k=−2 un cerchio di raggio √(1/2), k=1 un cerchio di raggio √2; k=−1/2 nessun punto.
Le quote vicino alla circonferenza possono superare ogni finestra. Omettere facce troppo alte non elimina punti dal dominio; collegare le due parti con una parete artificiale sarebbe scorretto.
10. Sezioni: un ponte con una sola variabile
z=x²+y²
y=1 ⇒ z=x²+1
x=2 ⇒ z=4+y²
z=1 ⇒ x²+y²=1
Le prime due sezioni sono verticali: fissiamo una coordinata e variamo l’altra. La terza è orizzontale, associata a un livello: fissiamo il risultato e cerchiamo gli ingressi. Sono domande diverse. Per la sella, y=0 dà z=x² e x=0 dà z=−y²: parabole orientate in versi opposti.
Due sezioni non determinano sempre la superficie. f(x,y)=0 e g(x,y)=xy coincidono su entrambi gli assi, ma in (1,1) danno 0 e 1. Ritroveremo questa cautela avvicinandoci a un punto lungo percorsi diversi.
11. Temperatura: il dominio del modello conta
T(x,y)=20−x²−y²
D=[−3,3]×[−3,3]
T(1,2)=20−1−4=15
T(x,y)=16 ⇔ x²+y²=4
y=1 ⇒ T(x,1)=19−x², −3≤x≤3
T(D)=[2,20]
Coordinate in metri, temperatura in gradi Celsius: i coefficienti incorporano le unità necessarie. L’algebra ammetterebbe ℝ², ma il locale è un quadrato di lato 6. Qui 0≤x²+y²≤18: massimo 20 al centro, minimo 2 ai vertici. Ogni valore intermedio si raggiunge sulla diagonale (t,t), con 0≤t≤3.
Il livello 16 °C è una circonferenza di raggio 2, tutta nel locale. Senza restrizione fisica, l’immagine sarebbe (−∞,20]. Il dominio del modello non deriva soltanto dai divieti algebrici.
12. Usare il laboratorio e preparare la continuazione
Scegli uno degli otto esempi, confrontando condizione esatta e regione verde. Sposta (x₀,y₀): prima l’appartenenza al dominio, poi la quota. Cambia k: il livello arancione appare nel piano e sulla superficie a quota k. Un livello esistente può stare fuori finestra: non è per questo vuoto. La sezione fissa x oppure y.
Ruota con dito, mouse, frecce o cursori. [−R,R]² e |z|≤H limitano la vista, non il dominio. La scala verticale dipende da H: la superficie può sembrare più piatta senza cambiare formula. La maglia può perdere zone valide vicino ai bordi; perciò domini e livelli sono anche spiegati algebricamente.
Procedura: ingressi e unità; condizioni del dominio; bordo e punti esclusi; valori; immagine; livelli e sezioni. Il prossimo capitolo del terzo blocco riguarderà limiti e continuità in più variabili: sarà collegato quando disponibile.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Calcola f(2,−1) per f=x²+3y.
Mostra la soluzione ragionata
Sostituisci rispettando l’ordine: 2²+3(−1)=4−3=1. Non scambiare le coordinate.
2. Dominio e immagine di √(4−x²−y²)?
Mostra la soluzione ragionata
Radicando ≥0: disco x²+y²≤4, bordo incluso. La quota va da 0 sul bordo a 2 nell’origine, raggiungendo ogni intermedio: immagine [0,2].
3. Il bordo è ammesso per 1/√(4−x²−y²)?
Mostra la soluzione ragionata
No: la radice è un denominatore. Occorre 4−x²−y²>0, quindi disco aperto x²+y²<4. La condizione ≥0 non basta.
4. Per ln(y−x²), (1,1) e (1,2) sono ammessi?
Mostra la soluzione ragionata
Serve y>x². (1,1) è escluso perché darebbe ln0; (1,2) è ammesso e vale ln1=0. Un valore zero della funzione non equivale a un argomento zero.
5. Per √(xy), (−2,−3) è nel dominio?
Mostra la soluzione ragionata
Sì: xy=6≥0, quindi quota √6. Sono ammessi due negativi e gli assi; sono esclusi i punti con prodotto negativo.
6. Per la scodella, descrivi i livelli k=−1,0,4.
Mostra la soluzione ragionata
x²+y²=k: −1 è impossibile; 0 dà solo l’origine; 4 dà una circonferenza di raggio 2. Un livello non è necessariamente una curva.
7. La semisfera ha un livello k=−1?
Mostra la soluzione ragionata
No: la radice è non negativa. Elevando al quadrato si otterrebbe x²+y²=3, ma quei punti hanno quota +1, non −1: sono soluzioni estranee all’equazione iniziale.
8. Quali sezioni della sella si ottengono con y=0 e x=0?
Mostra la soluzione ragionata
Per z=x²−y², y=0 dà z=x² e x=0 dà z=−y². Una sale e l’altra scende. Il livello z=0 è invece l’unione y=x e y=−x.
9. Perché la sfera completa non è z=f(x,y)?
Mostra la soluzione ragionata
Per x=y=0, x²+y²+z²=4 richiede z=±2: due risultati per un ingresso. Scegliendo una sola semisfera si ripristina l’unicità.
10. 1/(x²+y²−1) può valere −1/2?
Mostra la soluzione ragionata
No: il livello richiederebbe x²+y²=1+1/(−1/2)=−1. L’immagine è (−∞,−1]∪(0,+∞); −1 si raggiunge invece nell’origine.
11. La collina gaussiana raggiunge zero?
Mostra la soluzione ragionata
No: e^(−x²−y²)>0 per ogni punto finito. Il massimo 1 è raggiunto nell’origine, mentre zero è solo avvicinato a grande distanza. Immagine (0,1].
12. Una quota oltre H rende il punto fuori dominio?
Mostra la soluzione ragionata
No. Per la scodella, (2,2) è ammesso e z=8. Se H=6, il punto non appare sulla superficie ma resta nel dominio. Anche il livello k=8 esiste; può essere tagliato dalla vista.
Prima: serie di Fourier · Indice del percorso