Température selon le lieu, coût selon des quantités, altitude selon deux coordonnées : on choisit un couple (x,y) pour obtenir une valeur z. Le troisième bloc commence par les domaines et la lecture des graphes. D’abord domaine, puis valeur, surface, niveaux et sections : sans dérivées partielles pour l’instant.
Laboratoire : fonctions de deux variables et surfaces · Index du parcours
1. Deux entrées, un résultat
Sur une carte, x mesure est–ouest et y nord–sud. T(x,y) donne une température, pas un couple. Les entrées sont ordonnées : (1,2) et (2,1) sont distincts. Pour f(x,y)=x+2y, f(1,2)=5 et f(2,1)=4.
(x,y) ↦ z=f(x,y)
f(1,2)=1+2·2=5
f(2,1)=2+2·1=4
Deux variables indépendantes signifie une entrée à deux coordonnées, pas que tout couple est permis. x²+y²≤4 lie les valeurs autorisées, avec une fonction de deux variables sur un disque.
2. Domaine, ensemble d’arrivée et image
f:D⊆ℝ²→ℝ
G_f={(x,y,f(x,y)) : (x,y)∈D}⊆ℝ³
f(D)={z∈ℝ : ∃(x,y)∈D, z=f(x,y)}
D est l’ensemble des entrées permises du plan. ℝ est l’ensemble d’arrivée déclaré ; f(D), l’image des valeurs atteintes. Le graphe G_f est dans l’espace, distinct de D et de f(D).
Pour x²+y² sur ℝ², l’ensemble d’arrivée peut être ℝ mais l’image vaut [0,+∞) : chaque z≥0 est atteint en (√z,0). Restreindre D à x²+y²≤4 donne [0,4]. Même formule, domaine assigné différent.
3. Une hauteur par point : toute surface n’est pas un graphe
De P=(x,y,0), monter ou descendre vers Q=(x,y,f(x,y)). Chaque entrée a une seule hauteur : une verticale coupe le graphe au plus une fois.
x²+y²+z²=4
z=±√(4−x²−y²)
La sphère entière n’est pas un seul graphe z=f(x,y) : en (0,0), z=2 et z=−2. L’hémisphère supérieur choisit la racine positive sur le disque fermé de rayon 2. Domaine : disque ; graphe : hémisphère, pas boule pleine.
4. Trois restrictions fondamentales
√A(x,y): A(x,y)≥0
1/B(x,y): B(x,y)≠0
ln C(x,y): C(x,y)>0
Dans les réels, la racine permet zéro, le logarithme non. Un dénominateur ne s’annule pas, même après suppression d’un facteur : l’expression initiale conserve ses exclusions. Une racine au dénominateur impose un radicand strictement positif.
Conditions simultanées : intersection, pas réunion. Pour √(xy), xy≥0 inclut premier et troisième quadrants et les deux axes. Exiger x≥0 et y≥0 séparément serait trop restrictif : deux négatifs donnent un produit positif.
5. Domaine complet : racine et logarithme
f(x,y)=√(9−x²−y²)/ln(y−x)
9−x²−y²≥0
y−x>0
ln(y−x)≠0 ⇔ y−x≠1
D={(x,y): x²+y²≤9, y>x, y≠x+1}
Le numérateur impose le disque fermé de rayon 3 ; le logarithme sélectionne le demi-plan au-dessus de y=x ; le dénominateur exclut aussi y=x+1. Les points du cercle extérieur respectant les autres conditions restent permis, avec numérateur nul.
(0,2)∈D; f(0,2)=√5/ln2
(0,1)∉D: ln1=0
(0,0)∉D: ln0
(0,3)∈D; f(0,3)=0
Tester des points aide, mais le domaine complet est décrit par les conditions. Le laboratoire propose huit modèles : cette expression composée est un exercice analytique, pas une saisie libre.
6. Régions, bords et exclusions
x²+y²≤4 est un disque bord inclus ; x²+y²<4 exclut le cercle. y>x² est la région au-dessus d’une parabole, pas seulement la courbe. x²+y²≠1 permet l’intérieur et l’extérieur du cercle exclu.
Bord continu inclus, pointillé exclu. Un domaine peut être non borné, troué ou composé de régions séparées. La fenêtre du logiciel limite la vue, pas le domaine : le zoom ne change pas les conditions.
7. Surfaces de référence et images
z=1+x/2−3y/4: f(ℝ²)=ℝ
z=x²+y²: f(ℝ²)=[0,+∞)
z=x²−y²: f(ℝ²)=ℝ
z=√(4−x²−y²): f(D)=[0,2]
Le premier est un plan incliné ; le deuxième un paraboloïde en bol, de hauteur égale à la distance à l’origine au carré. La selle monte comme x² sur y=0 et descend comme −y² sur x=0. Pour z≥0 choisir (√z,0), pour z<0 (0,√(−z)) : image ℝ démontrée.
La colline e^(−x²−y²) a maximum 1 à l’origine, reste positive et approche zéro à grande distance : image (0,1], pas [0,1]. Pour ln(y−x²), chaque z est atteint en x=0,y=e^z : image ℝ malgré un domaine différent du plan.
8. Niveaux : points de même hauteur
L_k={(x,y)∈D : f(x,y)=k}
z=x²+y² ⇒ L_k: x²+y²=k
k<0: ∅; k=0: {(0,0)}; k>0: r=√k
Le niveau se dessine dans xy ; l’intersection correspondante avec z=k est dans l’espace. Mêmes x,y, hauteur zéro dans le plan et k sur la surface. Le mot « courbe » est pratique : un niveau peut être vide, un point, plusieurs courbes ou une région.
√(4−x²−y²)=k ⇒ x²+y²=4−k²; 0≤k≤2
ln(y−x²)=k ⇒ y=x²+e^k
x²−y²=0 ⇒ y=x ∨ y=−x
Avant de mettre au carré l’hémisphère, imposer k≥0 pour éviter des niveaux négatifs fictifs. k=2 donne un point, k=0 le cercle du bord. Les niveaux logarithmiques sont des paraboles au-dessus de y=x², jamais sur le bord exclu. Le niveau zéro de la selle réunit deux droites.
9. Domaine et hauteurs : un cercle exclu
z=1/(x²+y²−1); r²=x²+y²
0≤r²<1 ⇒ z∈(−∞,−1]
r²>1 ⇒ z∈(0,+∞)
f(D)=(−∞,−1] ∪ (0,+∞)
L_k: r²=1+1/k
À l’intérieur, le dénominateur est dans [−1,0) : z≤−1, avec −1 à l’origine. À l’extérieur il prend tout positif, comme son réciproque. Ni zéro ni les hauteurs entre −1 et 0 ne sont atteints. k=−1 donne un point ; −2 un cercle de rayon √(1/2) ; 1 un cercle de rayon √2 ; −1/2 rien.
Les hauteurs près du cercle dépassent toute fenêtre. Omettre les faces hautes ne supprime pas des points du domaine ; relier les branches par une fausse paroi serait incorrect.
10. Sections : lien avec une variable
z=x²+y²
y=1 ⇒ z=x²+1
x=2 ⇒ z=4+y²
z=1 ⇒ x²+y²=1
Les deux premières sections sont verticales : une coordonnée fixée, l’autre libre. La troisième est horizontale, associée à un niveau : résultat fixé, entrées cherchées. Questions distinctes. Pour la selle, y=0 donne z=x² et x=0 donne z=−y² : paraboles opposées.
Deux sections ne déterminent pas toujours une surface. f=0 et g=xy coïncident sur les deux axes mais donnent 0 et 1 en (1,1). Cette prudence reviendra avec les approches selon divers chemins.
11. Température : le domaine du modèle compte
T(x,y)=20−x²−y²
D=[−3,3]×[−3,3]
T(1,2)=20−1−4=15
T(x,y)=16 ⇔ x²+y²=4
y=1 ⇒ T(x,1)=19−x², −3≤x≤3
T(D)=[2,20]
Coordonnées en mètres, température en Celsius ; les coefficients portent les unités nécessaires. L’algèbre permet ℝ², mais la pièce est un carré de côté 6. Alors 0≤x²+y²≤18 : maximum 20 au centre, minimum 2 aux sommets. Toute valeur intermédiaire est atteinte sur (t,t),0≤t≤3.
Le niveau 16 °C est un cercle de rayon 2 dans la pièce. Sans restriction physique, l’image serait (−∞,20]. Les interdictions algébriques ne suffisent pas à déterminer le domaine du modèle.
12. Utiliser le laboratoire et préparer la suite
Choisir un des huit exemples, comparer condition exacte et région verte. Déplacer (x₀,y₀) : appartenance d’abord, hauteur ensuite. Changer k : niveau orange dans le plan et à hauteur k sur la surface. Un niveau hors fenêtre n’est pas vide. Les sections fixent x ou y.
Tourner au doigt, à la souris, aux flèches ou curseurs. [−R,R]² et |z|≤H limitent la vue, pas le domaine. L’échelle verticale dépend de H : une surface peut sembler aplatie sans changer de formule. Le maillage peut manquer des zones valides ; domaines et niveaux sont aussi expliqués algébriquement.
Méthode : entrées et unités ; conditions du domaine ; bords et exclusions ; valeurs ; image ; niveaux et sections. Le prochain chapitre portera sur limites et continuité en plusieurs variables, avec liens lorsqu’il sera disponible.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Calculer f(2,−1) pour f=x²+3y.
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Respecter l’ordre : 2²+3(−1)=4−3=1. Ne pas inverser les coordonnées.
2. Domaine et image de √(4−x²−y²) ?
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Radicand ≥0 : disque x²+y²≤4 bord inclus. Hauteur 0 au bord, 2 à l’origine, toutes les valeurs intermédiaires : image [0,2].
3. Bord permis pour 1/√(4−x²−y²) ?
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Non : la racine est au dénominateur. Il faut 4−x²−y²>0, donc disque ouvert x²+y²<4. ≥0 ne suffit pas.
4. Pour ln(y−x²), (1,1) et (1,2) sont-ils permis ?
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Il faut y>x². (1,1) est exclu par ln0 ; (1,2) est permis, ln1=0. Une valeur nulle n’est pas un argument logarithmique nul.
5. √(xy) permet-elle (−2,−3) ?
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Oui : xy=6≥0, hauteur √6. Deux négatifs et les axes sont permis ; les produits négatifs sont exclus.
6. Pour le bol, décrire k=−1,0,4.
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x²+y²=k : −1 impossible ; 0 donne seulement l’origine ; 4 donne un cercle de rayon 2. Un niveau n’est pas toujours une courbe.
7. L’hémisphère possède-t-il le niveau k=−1 ?
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Non : la racine est non négative. Le carré donne x²+y²=3, mais ces points ont hauteur +1, pas −1 : solutions étrangères à l’équation initiale.
8. Quelles sections de la selle pour y=0 et x=0 ?
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Pour z=x²−y², y=0 donne z=x² et x=0 donne z=−y². L’une monte, l’autre descend. Le niveau z=0 réunit y=x et y=−x.
9. Pourquoi la sphère entière n’est-elle pas z=f(x,y) ?
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À x=y=0, x²+y²+z²=4 donne z=±2 : deux résultats pour une entrée. Choisir un hémisphère rétablit l’unicité.
10. 1/(x²+y²−1) peut-elle valoir −1/2 ?
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Non : le niveau impose x²+y²=1+1/(−1/2)=−1. Image (−∞,−1]∪(0,+∞) ; −1 est atteint à l’origine.
11. La colline gaussienne atteint-elle zéro ?
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Non : e^(−x²−y²)>0 en tout point fini. Maximum 1 à l’origine ; zéro seulement approché à grande distance. Image (0,1].
12. Une hauteur au-delà de H exclut-elle le point ?
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Non. Pour le bol, (2,2) est permis et z=8. Avec H=6 il n’est pas dessiné sur la surface mais reste dans le domaine. Le niveau k=8 existe aussi, même si la vue le coupe.
Avant : séries de Fourier · Index du parcours