Temperatura según el lugar, coste según cantidades, altura según dos coordenadas: elegimos un par (x,y) para obtener un valor z. El tercer bloque comienza con dominios y lectura de gráficas. Primero dominio, luego valor, superficie, niveles y secciones: todavía sin derivadas parciales.
Laboratorio: funciones de dos variables y superficies · Índice del recorrido
1. Dos entradas, un resultado
En un mapa, x mide este–oeste e y norte–sur. T(x,y) asigna una temperatura, no un par. Las entradas son ordenadas: (1,2) y (2,1) son distintos. Para f(x,y)=x+2y, f(1,2)=5 y f(2,1)=4.
(x,y) ↦ z=f(x,y)
f(1,2)=1+2·2=5
f(2,1)=2+2·1=4
Dos variables independientes significa una entrada con dos coordenadas, no que todo par sea admisible. x²+y²≤4 relaciona valores permitidos, con una función de dos variables en un disco.
2. Dominio, codominio e imagen
f:D⊆ℝ²→ℝ
G_f={(x,y,f(x,y)) : (x,y)∈D}⊆ℝ³
f(D)={z∈ℝ : ∃(x,y)∈D, z=f(x,y)}
D es el conjunto de entradas admisibles del plano. ℝ es el codominio declarado; f(D), la imagen de valores alcanzados. La gráfica G_f está en el espacio, distinta de D y f(D).
Para x²+y² en ℝ², el codominio puede ser ℝ pero la imagen es [0,+∞): cada z≥0 se alcanza en (√z,0). Restringir D a x²+y²≤4 cambia la imagen a [0,4]. Misma fórmula, distinto dominio asignado.
3. Una altura por punto: no toda superficie es gráfica
Desde P=(x,y,0), sube o baja hasta Q=(x,y,f(x,y)). Cada entrada tiene una sola altura: una vertical corta la gráfica como máximo una vez.
x²+y²+z²=4
z=±√(4−x²−y²)
La esfera completa no es una gráfica única z=f(x,y): en (0,0) da z=2 y z=−2. El hemisferio superior elige la raíz positiva en el disco cerrado de radio 2. Dominio: disco; gráfica: hemisferio, no bola sólida.
4. Tres restricciones básicas
√A(x,y): A(x,y)≥0
1/B(x,y): B(x,y)≠0
ln C(x,y): C(x,y)>0
En los reales, la raíz admite radicando cero; el logaritmo no. Un denominador no puede anularse aunque después se cancele un factor: la expresión original conserva exclusiones. Una raíz en denominador exige radicando positivo.
Condiciones simultáneas: intersección, no unión. Para √(xy), xy≥0 incluye primer y tercer cuadrante y ambos ejes. Exigir x≥0 e y≥0 por separado restringe demasiado: dos negativos dan producto positivo.
5. Dominio completo: raíz y logaritmo
f(x,y)=√(9−x²−y²)/ln(y−x)
9−x²−y²≥0
y−x>0
ln(y−x)≠0 ⇔ y−x≠1
D={(x,y): x²+y²≤9, y>x, y≠x+1}
El numerador exige el disco cerrado de radio 3; el logaritmo selecciona el semiplano sobre y=x; el denominador también excluye y=x+1. Los puntos de la circunferencia exterior que cumplen las otras condiciones siguen admitidos con numerador cero.
(0,2)∈D; f(0,2)=√5/ln2
(0,1)∉D: ln1=0
(0,0)∉D: ln0
(0,3)∈D; f(0,3)=0
Probar puntos ayuda, pero el dominio completo se describe con las condiciones. El laboratorio ofrece ocho modelos: esta expresión compuesta es un ejercicio analítico, no una entrada libre.
6. Regiones, bordes y exclusiones
x²+y²≤4 es un disco con borde; x²+y²<4 excluye la circunferencia. y>x² es la región sobre una parábola, no solo la curva. x²+y²≠1 permite interior y exterior de la circunferencia excluida.
Borde continuo incluido, discontinuo excluido. Un dominio puede ser no acotado, tener huecos o regiones separadas. La ventana limita la vista, no el dominio: ampliar no cambia condiciones.
7. Superficies de referencia e imágenes
z=1+x/2−3y/4: f(ℝ²)=ℝ
z=x²+y²: f(ℝ²)=[0,+∞)
z=x²−y²: f(ℝ²)=ℝ
z=√(4−x²−y²): f(D)=[0,2]
El primero es un plano inclinado; el segundo un paraboloide en cuenco con altura igual a la distancia al origen al cuadrado. La silla sube como x² en y=0 y baja como −y² en x=0. Para z≥0 usa (√z,0); para z<0 (0,√(−z)): así se prueba imagen ℝ.
La colina e^(−x²−y²) tiene máximo 1 en el origen, es positiva y se acerca a cero lejos: imagen (0,1], no [0,1]. Para ln(y−x²), cada z se obtiene en x=0,y=e^z: imagen ℝ aunque el dominio no sea todo el plano.
8. Niveles: puntos con la misma altura
L_k={(x,y)∈D : f(x,y)=k}
z=x²+y² ⇒ L_k: x²+y²=k
k<0: ∅; k=0: {(0,0)}; k>0: r=√k
El nivel se dibuja en xy; la intersección con z=k está en el espacio. Mismas x,y, altura cero en el plano y k en la superficie. “Curva” es cómodo: un nivel puede ser vacío, punto, varias curvas o una región.
√(4−x²−y²)=k ⇒ x²+y²=4−k²; 0≤k≤2
ln(y−x²)=k ⇒ y=x²+e^k
x²−y²=0 ⇒ y=x ∨ y=−x
Antes de elevar al cuadrado el hemisferio exige k≥0 para evitar niveles negativos falsos. k=2 da un punto; k=0 la circunferencia del borde. Niveles logarítmicos: parábolas sobre y=x², nunca en el borde. El nivel cero de la silla son dos rectas.
9. Dominio y alturas: una circunferencia excluida
z=1/(x²+y²−1); r²=x²+y²
0≤r²<1 ⇒ z∈(−∞,−1]
r²>1 ⇒ z∈(0,+∞)
f(D)=(−∞,−1] ∪ (0,+∞)
L_k: r²=1+1/k
Dentro el denominador está en [−1,0): z≤−1, con −1 en el origen. Fuera toma todo positivo, igual que su recíproco. No se alcanzan cero ni alturas entre −1 y 0. k=−1 da un punto; −2 un círculo de radio √(1/2); 1 uno de radio √2; −1/2 ningún punto.
Las alturas cerca de la circunferencia superan cualquier ventana. Omitir caras altas no elimina puntos del dominio; unir ramas con una pared artificial sería incorrecto.
10. Secciones: puente a una variable
z=x²+y²
y=1 ⇒ z=x²+1
x=2 ⇒ z=4+y²
z=1 ⇒ x²+y²=1
Las dos primeras secciones son verticales: fija una coordenada y varía la otra. La tercera es horizontal, asociada a un nivel: fija resultado y busca entradas. Son preguntas distintas. Para la silla, y=0 da z=x² y x=0 da z=−y²: parábolas opuestas.
Dos secciones no siempre determinan una superficie. f=0 y g=xy coinciden en ambos ejes pero dan 0 y 1 en (1,1). Volveremos a esta cautela al acercarnos por distintos caminos.
11. Temperatura: importa el dominio del modelo
T(x,y)=20−x²−y²
D=[−3,3]×[−3,3]
T(1,2)=20−1−4=15
T(x,y)=16 ⇔ x²+y²=4
y=1 ⇒ T(x,1)=19−x², −3≤x≤3
T(D)=[2,20]
Coordenadas en metros y temperatura Celsius; los coeficientes llevan unidades adecuadas. El álgebra permite ℝ², pero la habitación es un cuadrado de lado 6. Allí 0≤x²+y²≤18: máximo 20 en el centro, mínimo 2 en vértices. Todo valor intermedio ocurre en (t,t),0≤t≤3.
El nivel 16 °C es una circunferencia de radio 2 dentro de la habitación. Sin restricción física, la imagen sería (−∞,20]. Las prohibiciones algebraicas no bastan para determinar el dominio del modelo.
12. Usar el laboratorio y preparar la continuación
Elige uno de ocho ejemplos y compara condición exacta y región verde. Mueve (x₀,y₀): pertenencia primero, altura después. Cambia k: nivel naranja en el plano y a altura k en la superficie. Un nivel fuera de ventana no es vacío. Las secciones fijan x o y.
Gira con dedo, ratón, flechas o controles. [−R,R]² y |z|≤H limitan la vista, no el dominio. La escala vertical depende de H: una superficie puede parecer plana sin cambiar fórmula. La malla puede perder zonas válidas; por eso dominios y niveles también se explican algebraicamente.
Método: entradas y unidades; condiciones del dominio; bordes y exclusiones; valores; imagen; niveles y secciones. El siguiente capítulo tratará límites y continuidad en varias variables, con enlaces cuando esté disponible.
Ejercicios: intenta antes de revelar
1. Calcula f(2,−1) para f=x²+3y.
Mostrar la solución razonada
Respeta el orden: 2²+3(−1)=4−3=1. No intercambies coordenadas.
2. ¿Dominio e imagen de √(4−x²−y²)?
Mostrar la solución razonada
Radicando ≥0: disco x²+y²≤4 con borde. Altura 0 en borde, 2 en origen y todos los intermedios: imagen [0,2].
3. ¿Se admite el borde para 1/√(4−x²−y²)?
Mostrar la solución razonada
No: la raíz es denominador. Se exige 4−x²−y²>0: disco abierto x²+y²<4. ≥0 no basta.
4. Para ln(y−x²), ¿se admiten (1,1) y (1,2)?
Mostrar la solución razonada
Se exige y>x². (1,1) queda excluido por ln0; (1,2) es válido, ln1=0. Resultado cero no significa argumento cero.
5. ¿√(xy) admite (−2,−3)?
Mostrar la solución razonada
Sí: xy=6≥0, altura √6. Se admiten dos negativos y ambos ejes; se excluyen productos negativos.
6. Para el cuenco, describe k=−1,0,4.
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x²+y²=k: −1 imposible; 0 solo origen; 4 circunferencia de radio 2. Un nivel no siempre es una curva.
7. ¿Tiene el hemisferio un nivel k=−1?
Mostrar la solución razonada
No: la raíz no es negativa. Elevar al cuadrado da x²+y²=3, pero esos puntos tienen altura +1, no −1: soluciones ajenas a la ecuación original.
8. ¿Qué secciones de la silla dan y=0 y x=0?
Mostrar la solución razonada
Para z=x²−y², y=0 da z=x² y x=0 da z=−y². Una sube, la otra baja. El nivel z=0 reúne y=x e y=−x.
9. ¿Por qué la esfera completa no es z=f(x,y)?
Mostrar la solución razonada
En x=y=0, x²+y²+z²=4 da z=±2: dos resultados para una entrada. Elegir un hemisferio restaura unicidad.
10. ¿Puede 1/(x²+y²−1) valer −1/2?
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No: el nivel exige x²+y²=1+1/(−1/2)=−1. Imagen (−∞,−1]∪(0,+∞); −1 sí se alcanza en origen.
11. ¿La colina gaussiana alcanza cero?
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No: e^(−x²−y²)>0 en todo punto finito. Máximo 1 en origen; cero solo se aproxima lejos. Imagen (0,1].
12. ¿Una altura mayor que H excluye el punto?
Mostrar la solución razonada
No. En el cuenco, (2,2) es válido y z=8. Con H=6 no se dibuja en la superficie pero sigue en el dominio. El nivel k=8 también existe aunque la vista lo corte.
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