Osserva una successione di numeri. Riesci a trovare quello successivo? A volte bastano pochi secondi, altre volte la regola è nascosta, e talvolta la risposta più interessante è scoprire che ne esistono diverse. In questa raccolta trovi cento enigmi suddivisi per strategia: progressioni, differenze, alternanze, cifre, ricorrenze, famiglie celebri e trabocchetti. Ogni esercizio propone una regola prevista e una verifica; non pretende che un prefisso finito determini un unico seguito.
Apri il laboratorio interattivo · Perché quattro numeri non decidono il quinto
Come usare la raccolta
Prova a indovinare prima di aprire gli indizi. Hai due aiuti progressivi, una risposta e una verifica. Nel laboratorio puoi scegliere quattro opzioni, scrivere liberamente la risposta, affrontare una sfida di dieci enigmi, analizzare i tuoi numeri, costruire qualunque seguito mediante interpolazione di Lagrange o consultare l’archivio filtrabile.
La risposta è una scelta di regola, non una deduzione inevitabile
Anche se una soluzione rispetta tutti i numeri mostrati, altre regole possono produrre un termine diverso. L’interpolazione permette persino di costruire esattamente un polinomio che riproduce i dati iniziali e assume un qualsiasi valore scelto al passo successivo. Qui chiediamo la continuazione secondo la regola dichiarata: gli enigmi allenano a formulare e confrontare ipotesi, non a indovinare una verità nascosta.
A. Semplici solo in apparenza
Sembrano immediate, ma chiedono di osservare con precisione quale operazione si ripete.
1. Aggiungi tre
Livello 1 · 4, 7, 10, 13, 16, ?
Opzioni: 22 · 16 · 32 · 19
Primo indizio
Guarda come cambiano i termini vicini.
Secondo indizio
Prova una regola semplice che funzioni in ogni passaggio. Δ=3
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 19. La regola prevista è «Aggiungi tre». Controlla che la stessa relazione descriva ogni termine, non soltanto l’ultimo passaggio. Verifica : 16+3=19. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=3n+1. 16+3=19
2. Moltiplica per tre
Livello 1 · 2, 6, 18, 54, 162, ?
Opzioni: 594 · 378 · 486 · 270
Primo indizio
Guarda come cambiano i termini vicini.
Secondo indizio
Prova una regola semplice che funzioni in ogni passaggio. ratio=3
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 486. La regola prevista è «Moltiplica per tre». Controlla che la stessa relazione descriva ogni termine, non soltanto l’ultimo passaggio. Verifica : 162·3=486. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=2·3^(n−1). 162·3=486
3. Quadrati consecutivi
Livello 1 · 1, 4, 9, 16, 25, ?
Opzioni: 27 · 36 · 34 · 45
Primo indizio
Guarda come cambiano i termini vicini.
Secondo indizio
Prova una regola semplice che funzioni in ogni passaggio. 1²,2²,3²
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 36. La regola prevista è «Quadrati consecutivi». Controlla che la stessa relazione descriva ogni termine, non soltanto l’ultimo passaggio. Verifica : 6²=36. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=n². 6²=36
4. Numeri triangolari
Livello 2 · 1, 3, 6, 10, 15, ?
Opzioni: 21 · 20 · 26 · 16
Primo indizio
Guarda come cambiano i termini vicini.
Secondo indizio
Prova una regola semplice che funzioni in ogni passaggio. Δ=2,3,4,5
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 21. La regola prevista è «Numeri triangolari». Controlla che la stessa relazione descriva ogni termine, non soltanto l’ultimo passaggio. Verifica : 15+6=21. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=n(n+1)/2. 15+6=21
5. Uno oltre il quadrato
Livello 2 · 2, 5, 10, 17, 26, ?
Opzioni: 35 · 46 · 28 · 37
Primo indizio
Guarda come cambiano i termini vicini.
Secondo indizio
Prova una regola semplice che funzioni in ogni passaggio. a(n)−1=n²
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 37. La regola prevista è «Uno oltre il quadrato». Controlla che la stessa relazione descriva ogni termine, non soltanto l’ultimo passaggio. Verifica : 6²+1=37. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=n²+1. 6²+1=37
6. Uno sotto la potenza di due
Livello 2 · 1, 3, 7, 15, 31, ?
Opzioni: 79 · 62 · 63 · 47
Primo indizio
Guarda come cambiano i termini vicini.
Secondo indizio
Prova una regola semplice che funzioni in ogni passaggio. a(n)+1=2^n
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 63. La regola prevista è «Uno sotto la potenza di due». Controlla che la stessa relazione descriva ogni termine, non soltanto l’ultimo passaggio. Verifica : 2^6−1=63. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=2^n−1. 2^6−1=63
7. Prodotto di vicini
Livello 2 · 2, 6, 12, 20, 30, ?
Opzioni: 32 · 42 · 40 · 52
Primo indizio
Guarda come cambiano i termini vicini.
Secondo indizio
Prova una regola semplice che funzioni in ogni passaggio. 1·2,2·3,3·4
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 42. La regola prevista è «Prodotto di vicini». Controlla che la stessa relazione descriva ogni termine, non soltanto l’ultimo passaggio. Verifica : 6·7=42. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=n(n+1). 6·7=42
8. Quadrato più il doppio
Livello 3 · 3, 8, 15, 24, 35, ?
Opzioni: 48 · 46 · 59 · 37
Primo indizio
Guarda come cambiano i termini vicini.
Secondo indizio
Prova una regola semplice che funzioni in ogni passaggio. a(n)+1=(n+1)²
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 48. La regola prevista è «Quadrato più il doppio». Controlla che la stessa relazione descriva ogni termine, non soltanto l’ultimo passaggio. Verifica : 6²+2·6=48. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=n²+2n. 6²+2·6=48
9. Fattoriali
Livello 2 · 1, 2, 6, 24, 120, ?
Opzioni: 216 · 816 · 624 · 720
Primo indizio
Guarda come cambiano i termini vicini.
Secondo indizio
Prova una regola semplice che funzioni in ogni passaggio. ×2,×3,×4,×5
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 720. La regola prevista è «Fattoriali». Controlla che la stessa relazione descriva ogni termine, non soltanto l’ultimo passaggio. Verifica : 6!=720. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=n!. 6!=720
10. Raddoppia e togli uno
Livello 2 · 3, 5, 9, 17, 33, ?
Opzioni: 81 · 66 · 65 · 49
Primo indizio
Guarda come cambiano i termini vicini.
Secondo indizio
Prova una regola semplice che funzioni in ogni passaggio. ×2−1
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 65. La regola prevista è «Raddoppia e togli uno». Controlla che la stessa relazione descriva ogni termine, non soltanto l’ultimo passaggio. Verifica : 2·33−1=65. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n+1)=2a(n)−1. 2·33−1=65
11. Salti che raddoppiano
Livello 3 · 2, 3, 5, 9, 17, ?
Opzioni: 34 · 33 · 25 · 41
Primo indizio
Guarda come cambiano i termini vicini.
Secondo indizio
Prova una regola semplice che funzioni in ogni passaggio. Δ=1,2,4,8
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 33. La regola prevista è «Salti che raddoppiano». Controlla che la stessa relazione descriva ogni termine, non soltanto l’ultimo passaggio. Verifica : 17+16=33. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Δa=1,2,4,8,16. 17+16=33
12. Cubi consecutivi
Livello 2 · 1, 8, 27, 64, 125, ?
Opzioni: 216 · 186 · 277 · 155
Primo indizio
Guarda come cambiano i termini vicini.
Secondo indizio
Prova una regola semplice che funzioni in ogni passaggio. 1³,2³,3³
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 216. La regola prevista è «Cubi consecutivi». Controlla che la stessa relazione descriva ogni termine, non soltanto l’ultimo passaggio. Verifica : 6³=216. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=n³. 6³=216
13. Sottrai sempre di più
Livello 2 · 10, 9, 7, 4, 0, ?
Opzioni: -4 · -1 · -9 · -5
Primo indizio
Guarda come cambiano i termini vicini.
Secondo indizio
Prova una regola semplice che funzioni in ogni passaggio. −1,−2,−3,−4
Soluzione e verifica
Risposta prevista: -5. La regola prevista è «Sottrai sempre di più». Controlla che la stessa relazione descriva ogni termine, non soltanto l’ultimo passaggio. Verifica : 0−5=−5. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Δa=−1,−2,−3,−4,−5. 0−5=−5
14. Aumenti consecutivi
Livello 2 · 1, 2, 4, 7, 11, ?
Opzioni: 20 · 12 · 16 · 15
Primo indizio
Guarda come cambiano i termini vicini.
Secondo indizio
Prova una regola semplice che funzioni in ogni passaggio. Δ=1,2,3,4
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 16. La regola prevista è «Aumenti consecutivi». Controlla che la stessa relazione descriva ogni termine, non soltanto l’ultimo passaggio. Verifica : 11+5=16. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Δa=1,2,3,4,5. 11+5=16
15. I primi numeri primi
Livello 2 · 2, 3, 5, 7, 11, ?
Opzioni: 9 · 13 · 15 · 17
Primo indizio
Guarda come cambiano i termini vicini.
Secondo indizio
Prova una regola semplice che funzioni in ogni passaggio. 2,3,5,7,11
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 13. La regola prevista è «I primi numeri primi». Controlla che la stessa relazione descriva ogni termine, non soltanto l’ultimo passaggio. Verifica : 13∈ℙ, 11<13. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=prime(n). 13∈ℙ, 11<13
B. Differenze nascoste
Quando i salti cambiano, le differenze rivelano spesso una seconda sequenza nascosta.
16. Differenze pari crescenti
Livello 2 · 3, 7, 13, 21, 31, ?
Opzioni: 43 · 41 · 53 · 33
Primo indizio
Scrivi le differenze tra termini consecutivi.
Secondo indizio
Controlla anche le differenze tra quelle differenze. Δ²=2
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 43. La regola prevista è «Differenze pari crescenti». Confronta gli scarti successivi oppure il valore con la sua posizione: il loro andamento suggerisce la regola. Verifica : 31+12=43. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Δa=4,6,8,10,12. 31+12=43
17. Terze differenze costanti
Livello 3 · 1, 2, 5, 12, 25, ?
Opzioni: 38 · 59 · 33 · 46
Primo indizio
Scrivi le differenze tra termini consecutivi.
Secondo indizio
Controlla anche le differenze tra quelle differenze. Δ³=2
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 46. La regola prevista è «Terze differenze costanti». Confronta gli scarti successivi oppure il valore con la sua posizione: il loro andamento suggerisce la regola. Verifica : 25+21=46. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Δa=1,3,7,13,21. 25+21=46
18. Salti primi
Livello 3 · 1, 3, 6, 11, 18, ?
Opzioni: 36 · 22 · 29 · 25
Primo indizio
Scrivi le differenze tra termini consecutivi.
Secondo indizio
Controlla anche le differenze tra quelle differenze. Δ=2,3,5,7
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 29. La regola prevista è «Salti primi». Confronta gli scarti successivi oppure il valore con la sua posizione: il loro andamento suggerisce la regola. Verifica : 18+11=29. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Δa=2,3,5,7,11. 18+11=29
19. Salti quadrati
Livello 3 · 0, 1, 5, 14, 30, ?
Opzioni: 39 · 55 · 46 · 71
Primo indizio
Scrivi le differenze tra termini consecutivi.
Secondo indizio
Controlla anche le differenze tra quelle differenze. Δ=1,4,9,16
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 55. La regola prevista è «Salti quadrati». Confronta gli scarti successivi oppure il valore con la sua posizione: il loro andamento suggerisce la regola. Verifica : 30+25=55. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Δa=1²,2²,3²,4²,5². 30+25=55
20. Salti cubici
Livello 3 · 0, 1, 9, 36, 100, ?
Opzioni: 225 · 164 · 289 · 161
Primo indizio
Scrivi le differenze tra termini consecutivi.
Secondo indizio
Controlla anche le differenze tra quelle differenze. Δ=1,8,27,64
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 225. La regola prevista è «Salti cubici». Confronta gli scarti successivi oppure il valore con la sua posizione: il loro andamento suggerisce la regola. Verifica : 100+125=225. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Δa=1³,2³,3³,4³,5³. 100+125=225
21. Salti fattoriali
Livello 3 · 0, 1, 3, 9, 33, ?
Opzioni: 57 · 177 · 129 · 153
Primo indizio
Scrivi le differenze tra termini consecutivi.
Secondo indizio
Controlla anche le differenze tra quelle differenze. Δ=1,2,6,24
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 153. La regola prevista è «Salti fattoriali». Confronta gli scarti successivi oppure il valore con la sua posizione: il loro andamento suggerisce la regola. Verifica : 33+120=153. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Δa=1!,2!,3!,4!,5!. 33+120=153
22. Salti di Fibonacci
Livello 3 · 0, 1, 2, 4, 7, ?
Opzioni: 15 · 9 · 12 · 10
Primo indizio
Scrivi le differenze tra termini consecutivi.
Secondo indizio
Controlla anche le differenze tra quelle differenze. Δ=1,1,2,3
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 12. La regola prevista è «Salti di Fibonacci». Confronta gli scarti successivi oppure il valore con la sua posizione: il loro andamento suggerisce la regola. Verifica : 7+5=12. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Δa=1,1,2,3,5. 7+5=12
23. Salti come potenze
Livello 2 · 0, 1, 3, 7, 15, ?
Opzioni: 30 · 31 · 23 · 39
Primo indizio
Scrivi le differenze tra termini consecutivi.
Secondo indizio
Controlla anche le differenze tra quelle differenze. Δ=1,2,4,8
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 31. La regola prevista è «Salti come potenze». Confronta gli scarti successivi oppure il valore con la sua posizione: il loro andamento suggerisce la regola. Verifica : 15+16=31. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Δa=1,2,4,8,16. 15+16=31
24. Due famiglie di salti
Livello 4 · 0, 1, 5, 7, 15, 18, ?
Opzioni: 30 · 21 · 33 · 27
Primo indizio
Scrivi le differenze tra termini consecutivi.
Secondo indizio
Controlla anche le differenze tra quelle differenze. Δ dispari=1,2,3
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 30. La regola prevista è «Due famiglie di salti». Confronta gli scarti successivi oppure il valore con la sua posizione: il loro andamento suggerisce la regola. Verifica : 18+12=30. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Δa=1,4,2,8,3,12. 18+12=30
25. Salti con segno alterno
Livello 3 · 0, 1, -1, 2, -2, 3, ?
Opzioni: 8 · 2 · -8 · -3
Primo indizio
Scrivi le differenze tra termini consecutivi.
Secondo indizio
Controlla anche le differenze tra quelle differenze. +1,−2,+3,−4
Soluzione e verifica
Risposta prevista: -3. La regola prevista è «Salti con segno alterno». Confronta gli scarti successivi oppure il valore con la sua posizione: il loro andamento suggerisce la regola. Verifica : 3−6=−3. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Δa=1,−2,3,−4,5,−6. 3−6=−3
26. Salti triangolari
Livello 3 · 0, 1, 4, 10, 20, ?
Opzioni: 45 · 25 · 35 · 30
Primo indizio
Scrivi le differenze tra termini consecutivi.
Secondo indizio
Controlla anche le differenze tra quelle differenze. Δ=1,3,6,10
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 35. La regola prevista è «Salti triangolari». Confronta gli scarti successivi oppure il valore con la sua posizione: il loro andamento suggerisce la regola. Verifica : 20+15=35. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Δa=1,3,6,10,15. 20+15=35
27. Salti pari e primi
Livello 3 · 0, 4, 10, 20, 34, ?
Opzioni: 42 · 56 · 48 · 70
Primo indizio
Scrivi le differenze tra termini consecutivi.
Secondo indizio
Controlla anche le differenze tra quelle differenze. Δ/2=2,3,5,7
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 56. La regola prevista è «Salti pari e primi». Confronta gli scarti successivi oppure il valore con la sua posizione: il loro andamento suggerisce la regola. Verifica : 34+22=56. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Δa=2·(2,3,5,7,11). 34+22=56
28. Salti rettangolari
Livello 3 · 0, 2, 8, 20, 40, ?
Opzioni: 70 · 60 · 90 · 50
Primo indizio
Scrivi le differenze tra termini consecutivi.
Secondo indizio
Controlla anche le differenze tra quelle differenze. Δ=n(n+1)
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 70. La regola prevista è «Salti rettangolari». Confronta gli scarti successivi oppure il valore con la sua posizione: il loro andamento suggerisce la regola. Verifica : 40+30=70. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Δa=2,6,12,20,30. 40+30=70
29. Cubo più posizione
Livello 3 · 2, 10, 30, 68, 130, ?
Opzioni: 192 · 284 · 160 · 222
Primo indizio
Scrivi le differenze tra termini consecutivi.
Secondo indizio
Controlla anche le differenze tra quelle differenze. a(n)−n=n³
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 222. La regola prevista è «Cubo più posizione». Confronta gli scarti successivi oppure il valore con la sua posizione: il loro andamento suggerisce la regola. Verifica : 6³+6=222. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=n³+n. 6³+6=222
30. Quarte potenze
Livello 4 · 1, 16, 81, 256, 625, ?
Opzioni: 1665 · 927 · 1296 · 994
Primo indizio
Scrivi le differenze tra termini consecutivi.
Secondo indizio
Controlla anche le differenze tra quelle differenze. 1⁴,2⁴,3⁴
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 1296. La regola prevista è «Quarte potenze». Confronta gli scarti successivi oppure il valore con la sua posizione: il loro andamento suggerisce la regola. Verifica : 6⁴=1296. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=n⁴. 6⁴=1296
C. Alternate e intrecciate
Una fila può contenere due o tre storie intrecciate: separare le posizioni cambia la prospettiva.
31. Quadrati e decine
Livello 2 · 1, 10, 4, 20, 9, 30, ?
Opzioni: -5 · 16 · 51 · 37
Primo indizio
Non leggere sempre tutti i termini come una sola fila.
Secondo indizio
Separa le posizioni dispari e pari, o cerca un ciclo di tre. 1,4,9 / 10,20,30
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 16. La regola prevista è «Quadrati e decine». Separa le posizioni indicate dalla formula: ciascuna corsia segue il proprio andamento. Verifica : 4²=16. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(2n−1)=n²; a(2n)=10n. 4²=16
32. Pari e quadrati
Livello 3 · 2, 1, 4, 4, 6, 9, ?
Opzioni: 8 · 12 · 11 · 5
Primo indizio
Non leggere sempre tutti i termini come una sola fila.
Secondo indizio
Separa le posizioni dispari e pari, o cerca un ciclo di tre. 2,4,6 / 1,4,9
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 8. La regola prevista è «Pari e quadrati». Separa le posizioni indicate dalla formula: ciascuna corsia segue il proprio andamento. Verifica : 2·4=8. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(2n−1)=2n; a(2n)=n². 2·4=8
33. Posizioni e potenze
Livello 3 · 1, 2, 2, 4, 3, 8, ?
Opzioni: 13 · 9 · -1 · 4
Primo indizio
Non leggere sempre tutti i termini come una sola fila.
Secondo indizio
Separa le posizioni dispari e pari, o cerca un ciclo di tre. 1,2,3 / 2,4,8
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 4. La regola prevista è «Posizioni e potenze». Separa le posizioni indicate dalla formula: ciascuna corsia segue il proprio andamento. Verifica : n=4. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(2n−1)=n; a(2n)=2^n. n=4
34. Una sale e l’altra scende
Livello 3 · 3, 100, 5, 90, 7, 80, ?
Opzioni: 82 · -64 · 9 · 153
Primo indizio
Non leggere sempre tutti i termini come una sola fila.
Secondo indizio
Separa le posizioni dispari e pari, o cerca un ciclo di tre. 3,5,7 / 100,90,80
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 9. La regola prevista è «Una sale e l’altra scende». Separa le posizioni indicate dalla formula: ciascuna corsia segue il proprio andamento. Verifica : 2·4+1=9. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(2n−1)=2n+1; a(2n)=110−10n. 2·4+1=9
35. Quadrati e contatore
Livello 3 · 1, 1, 4, 2, 9, 3, ?
Opzioni: 10 · 16 · -3 · 22
Primo indizio
Non leggere sempre tutti i termini come una sola fila.
Secondo indizio
Separa le posizioni dispari e pari, o cerca un ciclo di tre. 1,4,9 / 1,2,3
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 16. La regola prevista è «Quadrati e contatore». Separa le posizioni indicate dalla formula: ciascuna corsia segue il proprio andamento. Verifica : 4²=16. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(2n−1)=n²; a(2n)=n. 4²=16
36. Triplica una corsia
Livello 3 · 2, 3, 6, 5, 18, 7, ?
Opzioni: 54 · -4 · 65 · 43
Primo indizio
Non leggere sempre tutti i termini come una sola fila.
Secondo indizio
Separa le posizioni dispari e pari, o cerca un ciclo di tre. 2,6,18 / 3,5,7
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 54. La regola prevista è «Triplica una corsia». Separa le posizioni indicate dalla formula: ciascuna corsia segue il proprio andamento. Verifica : 18·3=54. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(2n−1)=2·3^(n−1); a(2n)=2n+1. 18·3=54
37. Fibonacci e decine
Livello 4 · 0, 10, 1, 20, 1, 30, 2, 40, ?
Opzioni: 78 · 41 · -35 · 3
Primo indizio
Non leggere sempre tutti i termini come una sola fila.
Secondo indizio
Separa le posizioni dispari e pari, o cerca un ciclo di tre. 0,1,1,2 / 10,20,30,40
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 3. La regola prevista è «Fibonacci e decine». Separa le posizioni indicate dalla formula: ciascuna corsia segue il proprio andamento. Verifica : 1+2=3. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(2n−1)=Fib(n−1); a(2n)=10n. 1+2=3
38. Dispari e quadrati
Livello 3 · 1, 1, 3, 4, 5, 9, ?
Opzioni: 11 · 3 · 7 · 13
Primo indizio
Non leggere sempre tutti i termini come una sola fila.
Secondo indizio
Separa le posizioni dispari e pari, o cerca un ciclo di tre. 1,3,5 / 1,4,9
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 7. La regola prevista è «Dispari e quadrati». Separa le posizioni indicate dalla formula: ciascuna corsia segue il proprio andamento. Verifica : 2·4−1=7. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(2n−1)=2n−1; a(2n)=n². 2·4−1=7
39. Cinque volte e quadrati
Livello 3 · 5, 1, 10, 4, 15, 9, ?
Opzioni: 14 · 20 · 3 · 26
Primo indizio
Non leggere sempre tutti i termini come una sola fila.
Secondo indizio
Separa le posizioni dispari e pari, o cerca un ciclo di tre. 5,10,15 / 1,4,9
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 20. La regola prevista è «Cinque volte e quadrati». Separa le posizioni indicate dalla formula: ciascuna corsia segue il proprio andamento. Verifica : 5·4=20. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(2n−1)=5n; a(2n)=n². 5·4=20
40. Raddoppi e sette
Livello 3 · 2, 7, 4, 14, 8, 21, ?
Opzioni: 16 · 34 · 29 · 3
Primo indizio
Non leggere sempre tutti i termini come una sola fila.
Secondo indizio
Separa le posizioni dispari e pari, o cerca un ciclo di tre. 2,4,8 / 7,14,21
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 16. La regola prevista è «Raddoppi e sette». Separa le posizioni indicate dalla formula: ciascuna corsia segue il proprio andamento. Verifica : 2⁴=16. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(2n−1)=2^n; a(2n)=7n. 2⁴=16
41. Cicli di tre scale
Livello 3 · 1, 10, 100, 2, 20, 200, ?
Opzioni: 380 · 183 · -177 · 3
Primo indizio
Non leggere sempre tutti i termini come una sola fila.
Secondo indizio
Separa le posizioni dispari e pari, o cerca un ciclo di tre. 1,2 / 10,20 / 100,200
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 3. La regola prevista è «Cicli di tre scale». Separa le posizioni indicate dalla formula: ciascuna corsia segue il proprio andamento. Verifica : n=3. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(3n−2)=n; a(3n−1)=10n; a(3n)=100n. n=3
42. Tre moltiplicatori
Livello 4 · 1, 4, 9, 2, 8, 18, 3, 12, 27, ?
Opzioni: 19 · -11 · 4 · 42
Primo indizio
Non leggere sempre tutti i termini come una sola fila.
Secondo indizio
Separa le posizioni dispari e pari, o cerca un ciclo di tre. 1,2,3 / 4,8,12 / 9,18,27
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 4. La regola prevista è «Tre moltiplicatori». Separa le posizioni indicate dalla formula: ciascuna corsia segue il proprio andamento. Verifica : n=4. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(3n−2)=n; a(3n−1)=4n; a(3n)=9n. n=4
43. Ogni numero col suo opposto
Livello 2 · 1, -1, 2, -2, 3, -3, ?
Opzioni: -2 · 4 · -9 · 10
Primo indizio
Non leggere sempre tutti i termini come una sola fila.
Secondo indizio
Separa le posizioni dispari e pari, o cerca un ciclo di tre. 1,2,3 / −1,−2,−3
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 4. La regola prevista è «Ogni numero col suo opposto». Separa le posizioni indicate dalla formula: ciascuna corsia segue il proprio andamento. Verifica : n=4. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(2n−1)=n; a(2n)=−n. n=4
44. Tre colonne proporzionali
Livello 4 · 2, 3, 5, 4, 6, 10, 6, 9, 15, ?
Opzioni: 8 · 21 · 14 · 2
Primo indizio
Non leggere sempre tutti i termini come una sola fila.
Secondo indizio
Separa le posizioni dispari e pari, o cerca un ciclo di tre. 2,4,6 / 3,6,9 / 5,10,15
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 8. La regola prevista è «Tre colonne proporzionali». Separa le posizioni indicate dalla formula: ciascuna corsia segue il proprio andamento. Verifica : 2·4=8. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(3n−2)=2n; a(3n−1)=3n; a(3n)=5n. 2·4=8
45. Potenze di tre e loro doppi
Livello 3 · 1, 2, 3, 6, 9, 18, ?
Opzioni: 36 · 18 · 28 · 27
Primo indizio
Non leggere sempre tutti i termini come una sola fila.
Secondo indizio
Separa le posizioni dispari e pari, o cerca un ciclo di tre. 1,3,9 / 2,6,18
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 27. La regola prevista è «Potenze di tre e loro doppi». Separa le posizioni indicate dalla formula: ciascuna corsia segue il proprio andamento. Verifica : 3³=27. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(2n−1)=3^(n−1); a(2n)=2·3^(n−1). 3³=27
D. Cifre, potenze e proprietà
Talvolta conta la scrittura del numero: cifre, basi, potenze e proprietà aritmetiche.
46. Uno ripetuto
Livello 2 · 1, 11, 111, 1111, 11111, ?
Opzioni: 121111 · 101111 · 111111 · 21111
Primo indizio
Osserva le cifre e non solo il valore complessivo.
Secondo indizio
Una rappresentazione, una potenza o una proprietà delle cifre può aiutare. 1,11,111
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 111111. La regola prevista è «Uno ripetuto». Qui bisogna osservare come il numero è scritto o quale proprietà delle sue cifre viene conservata. Verifica : 11111·10+1=111111. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=(10^n−1)/9. 11111·10+1=111111
47. Nove ripetuto
Livello 2 · 9, 99, 999, 9999, ?
Opzioni: 90999 · 99999 · 18999 · 108999
Primo indizio
Osserva le cifre e non solo il valore complessivo.
Secondo indizio
Una rappresentazione, una potenza o una proprietà delle cifre può aiutare. 9,99,999
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 99999. La regola prevista è «Nove ripetuto». Qui bisogna osservare come il numero è scritto o quale proprietà delle sue cifre viene conservata. Verifica : 9999·10+9=99999. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=10^n−1. 9999·10+9=99999
48. Due cifre consecutive
Livello 2 · 12, 23, 34, 45, 56, ?
Opzioni: 67 · 78 · 56 · 112
Primo indizio
Osserva le cifre e non solo il valore complessivo.
Secondo indizio
Una rappresentazione, una potenza o una proprietà delle cifre può aiutare. 12,23,34
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 67. La regola prevista è «Due cifre consecutive». Qui bisogna osservare come il numero è scritto o quale proprietà delle sue cifre viene conservata. Verifica : 56+11=67. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=11n+1. 56+11=67
49. Decine e unità che salgono
Livello 3 · 10, 21, 32, 43, 54, ?
Opzioni: 76 · 54 · 108 · 65
Primo indizio
Osserva le cifre e non solo il valore complessivo.
Secondo indizio
Una rappresentazione, una potenza o una proprietà delle cifre può aiutare. 10→21→32
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 65. La regola prevista è «Decine e unità che salgono». Qui bisogna osservare come il numero è scritto o quale proprietà delle sue cifre viene conservata. Verifica : 54+11=65. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=11n−1. 54+11=65
50. Cifre gemelle
Livello 2 · 11, 22, 33, 44, 55, ?
Opzioni: 55 · 110 · 66 · 77
Primo indizio
Osserva le cifre e non solo il valore complessivo.
Secondo indizio
Una rappresentazione, una potenza o una proprietà delle cifre può aiutare. 11,22,33
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 66. La regola prevista è «Cifre gemelle». Qui bisogna osservare come il numero è scritto o quale proprietà delle sue cifre viene conservata. Verifica : 11·6=66. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=11n. 11·6=66
51. Radici digitali di due
Livello 4 · 1, 2, 4, 8, 7, 5, ?
Opzioni: 10 · 1 · 3 · -1
Primo indizio
Osserva le cifre e non solo il valore complessivo.
Secondo indizio
Una rappresentazione, una potenza o una proprietà delle cifre può aiutare. 1,2,4,8,16→7
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 1. La regola prevista è «Radici digitali di due». Qui bisogna osservare come il numero è scritto o quale proprietà delle sue cifre viene conservata. Verifica : 2⁶=64→6+4=10→1. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=digitalRoot(2^(n−1)). 2⁶=64→6+4=10→1
52. Unità delle potenze di tre
Livello 4 · 1, 3, 9, 7, 1, 3, ?
Opzioni: 9 · 5 · 11 · 7
Primo indizio
Osserva le cifre e non solo il valore complessivo.
Secondo indizio
Una rappresentazione, una potenza o una proprietà delle cifre può aiutare. 1,3,9,7
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 9. La regola prevista è «Unità delle potenze di tre». Qui bisogna osservare come il numero è scritto o quale proprietà delle sue cifre viene conservata. Verifica : 3⁶=729→9. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=3^(n−1) mod 10. 3⁶=729→9
53. Unità dei quadrati
Livello 4 · 1, 4, 9, 6, 5, 6, ?
Opzioni: 7 · 10 · 8 · 9
Primo indizio
Osserva le cifre e non solo il valore complessivo.
Secondo indizio
Una rappresentazione, una potenza o una proprietà delle cifre può aiutare. 1²,2²,3² mod 10
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 9. La regola prevista è «Unità dei quadrati». Qui bisogna osservare come il numero è scritto o quale proprietà delle sue cifre viene conservata. Verifica : 7²=49→9. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=n² mod 10. 7²=49→9
54. Contare in base due
Livello 3 · 1, 10, 11, 100, 101, 110, ?
Opzioni: 120 · 102 · 111 · 119
Primo indizio
Osserva le cifre e non solo il valore complessivo.
Secondo indizio
Una rappresentazione, una potenza o una proprietà delle cifre può aiutare. 1₂,10₂,11₂
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 111. La regola prevista è «Contare in base due». Qui bisogna osservare come il numero è scritto o quale proprietà delle sue cifre viene conservata. Verifica : 7₁₀=111₂. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=bin₂(n). 7₁₀=111₂
55. Uno e sempre più zeri
Livello 2 · 10, 100, 1000, 10000, ?
Opzioni: 91000 · 100000 · 19000 · 109000
Primo indizio
Osserva le cifre e non solo il valore complessivo.
Secondo indizio
Una rappresentazione, una potenza o una proprietà delle cifre può aiutare. 10,10²,10³
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 100000. La regola prevista è «Uno e sempre più zeri». Qui bisogna osservare come il numero è scritto o quale proprietà delle sue cifre viene conservata. Verifica : 10⁵=100000. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=10^n. 10⁵=100000
56. Contare gli uno in binario
Livello 4 · 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, ?
Opzioni: 1 · 4 · 2 · 0
Primo indizio
Osserva le cifre e non solo il valore complessivo.
Secondo indizio
Una rappresentazione, una potenza o una proprietà delle cifre può aiutare. 0..7 in base 2
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 1. La regola prevista è «Contare gli uno in binario». Qui bisogna osservare come il numero è scritto o quale proprietà delle sue cifre viene conservata. Verifica : 8₁₀=1000₂→1. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=popcount(n−1). 8₁₀=1000₂→1
57. Somma delle cifre dei quadrati
Livello 4 · 1, 4, 9, 7, 7, 9, ?
Opzioni: 11 · 15 · 18 · 13
Primo indizio
Osserva le cifre e non solo il valore complessivo.
Secondo indizio
Una rappresentazione, una potenza o una proprietà delle cifre può aiutare. 4²=16→7
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 13. La regola prevista è «Somma delle cifre dei quadrati». Qui bisogna osservare come il numero è scritto o quale proprietà delle sue cifre viene conservata. Verifica : 7²=49→4+9=13. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=digitSum(n²). 7²=49→4+9=13
58. Palindromi a tre cifre
Livello 3 · 101, 202, 303, 404, 505, ?
Opzioni: 505 · 1010 · 606 · 707
Primo indizio
Osserva le cifre e non solo il valore complessivo.
Secondo indizio
Una rappresentazione, una potenza o una proprietà delle cifre può aiutare. 101,202,303
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 606. La regola prevista è «Palindromi a tre cifre». Qui bisogna osservare come il numero è scritto o quale proprietà delle sue cifre viene conservata. Verifica : 101·6=606. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=101n. 101·6=606
59. Numero e cifra invertita
Livello 3 · 12, 21, 13, 31, 14, 41, ?
Opzioni: -12 · 15 · 68 · 42
Primo indizio
Osserva le cifre e non solo il valore complessivo.
Secondo indizio
Una rappresentazione, una potenza o una proprietà delle cifre può aiutare. 12,13,14 / 21,31,41
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 15. La regola prevista è «Numero e cifra invertita». Qui bisogna osservare come il numero è scritto o quale proprietà delle sue cifre viene conservata. Verifica : n=4→15. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(2n−1)=10+n+1; a(2n)=10(n+1)+1. n=4→15
60. Quadrati letti al contrario
Livello 4 · 1, 4, 9, 61, 52, ?
Opzioni: 63 · 43 · 72 · 54
Primo indizio
Osserva le cifre e non solo il valore complessivo.
Secondo indizio
Una rappresentazione, una potenza o una proprietà delle cifre può aiutare. 16→61;25→52
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 63. La regola prevista è «Quadrati letti al contrario». Qui bisogna osservare come il numero è scritto o quale proprietà delle sue cifre viene conservata. Verifica : 6²=36→63. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=rev₁₀(n²). 6²=36→63
E. Ricorrenze sorprendenti
Il nuovo termine può dipendere da uno o più precedenti: cerca una legge che resista a tutti i controlli.
61. Somma dei due precedenti
Livello 2 · 1, 1, 2, 3, 5, ?
Opzioni: 7 · 10 · 6 · 8
Primo indizio
Confronta ciascun termine con quelli precedenti.
Secondo indizio
Prova a costruire il termine usando uno o più termini già noti. 1+1=2;1+2=3
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 8. La regola prevista è «Somma dei due precedenti». Applica la ricorrenza ai termini iniziali e controlla che produca ogni passaggio successivo. Verifica : 3+5=8. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=a(n−1)+a(n−2). 3+5=8
62. La partenza di Lucas
Livello 3 · 2, 1, 3, 4, 7, ?
Opzioni: 14 · 8 · 11 · 10
Primo indizio
Confronta ciascun termine con quelli precedenti.
Secondo indizio
Prova a costruire il termine usando uno o più termini già noti. 2+1=3;1+3=4
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 11. La regola prevista è «La partenza di Lucas». Applica la ricorrenza ai termini iniziali e controlla che produca ogni passaggio successivo. Verifica : 4+7=11. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(1)=2,a(2)=1; a(n)=a(n−1)+a(n−2). 4+7=11
63. La ricorrenza di Pell
Livello 3 · 0, 1, 2, 5, 12, ?
Opzioni: 22 · 29 · 19 · 36
Primo indizio
Confronta ciascun termine con quelli precedenti.
Secondo indizio
Prova a costruire il termine usando uno o più termini già noti. 2·5+2=12
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 29. La regola prevista è «La ricorrenza di Pell». Applica la ricorrenza ai termini iniziali e controlla che produca ogni passaggio successivo. Verifica : 2·12+5=29. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=2a(n−1)+a(n−2). 2·12+5=29
64. Aggiungi il doppio del penultimo
Livello 3 · 0, 1, 1, 3, 5, ?
Opzioni: 11 · 7 · 13 · 9
Primo indizio
Confronta ciascun termine con quelli precedenti.
Secondo indizio
Prova a costruire il termine usando uno o più termini già noti. 3=1+2·1
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 11. La regola prevista è «Aggiungi il doppio del penultimo». Applica la ricorrenza ai termini iniziali e controlla che produca ogni passaggio successivo. Verifica : 5+2·3=11. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=a(n−1)+2a(n−2). 5+2·3=11
65. Somma degli ultimi tre
Livello 3 · 0, 0, 1, 1, 2, 4, ?
Opzioni: 6 · 9 · 5 · 7
Primo indizio
Confronta ciascun termine con quelli precedenti.
Secondo indizio
Prova a costruire il termine usando uno o più termini già noti. 1=1+0+0
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 7. La regola prevista è «Somma degli ultimi tre». Applica la ricorrenza ai termini iniziali e controlla che produca ogni passaggio successivo. Verifica : 4+2+1=7. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=a(n−1)+a(n−2)+a(n−3). 4+2+1=7
66. Somma saltando un termine
Livello 4 · 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, ?
Opzioni: 4 · 8 · 5 · 6
Primo indizio
Confronta ciascun termine con quelli precedenti.
Secondo indizio
Prova a costruire il termine usando uno o più termini già noti. 4=2+2
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 5. La regola prevista è «Somma saltando un termine». Applica la ricorrenza ai termini iniziali e controlla che produca ogni passaggio successivo. Verifica : 3+2=5. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=a(n−2)+a(n−3). 3+2=5
67. Doppio dell’ultimo più il penultimo
Livello 3 · 1, 2, 5, 12, 29, ?
Opzioni: 53 · 70 · 46 · 87
Primo indizio
Confronta ciascun termine con quelli precedenti.
Secondo indizio
Prova a costruire il termine usando uno o più termini già noti. 5=2·2+1
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 70. La regola prevista è «Doppio dell’ultimo più il penultimo». Applica la ricorrenza ai termini iniziali e controlla che produca ogni passaggio successivo. Verifica : 2·29+12=70. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=2a(n−1)+a(n−2). 2·29+12=70
68. Il doppio e la posizione
Livello 3 · 1, 4, 11, 26, 57, ?
Opzioni: 120 · 88 · 151 · 89
Primo indizio
Confronta ciascun termine con quelli precedenti.
Secondo indizio
Prova a costruire il termine usando uno o più termini già noti. 4=2·1+2
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 120. La regola prevista è «Il doppio e la posizione». Applica la ricorrenza ai termini iniziali e controlla che produca ogni passaggio successivo. Verifica : 2·57+6=120. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=2a(n−1)+n. 2·57+6=120
69. Due precedenti più uno
Livello 3 · 1, 1, 3, 5, 9, ?
Opzioni: 13 · 19 · 11 · 15
Primo indizio
Confronta ciascun termine con quelli precedenti.
Secondo indizio
Prova a costruire il termine usando uno o più termini già noti. 3=1+1+1
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 15. La regola prevista è «Due precedenti più uno». Applica la ricorrenza ai termini iniziali e controlla che produca ogni passaggio successivo. Verifica : 9+5+1=15. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=a(n−1)+a(n−2)+1. 9+5+1=15
70. Seconda differenza e posizione
Livello 4 · 1, 2, 6, 14, 27, ?
Opzioni: 59 · 33 · 46 · 40
Primo indizio
Confronta ciascun termine con quelli precedenti.
Secondo indizio
Prova a costruire il termine usando uno o più termini già noti. 6=2·2−1+3
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 46. La regola prevista è «Seconda differenza e posizione». Applica la ricorrenza ai termini iniziali e controlla che produca ogni passaggio successivo. Verifica : 2·27−14+6=46. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=2a(n−1)−a(n−2)+n. 2·27−14+6=46
71. Raddoppia e alterna il segno
Livello 3 · 1, 3, 5, 11, 21, ?
Opzioni: 33 · 43 · 31 · 53
Primo indizio
Confronta ciascun termine con quelli precedenti.
Secondo indizio
Prova a costruire il termine usando uno o più termini già noti. 3=2·1+1;5=2·3−1
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 43. La regola prevista è «Raddoppia e alterna il segno». Applica la ricorrenza ai termini iniziali e controlla che produca ogni passaggio successivo. Verifica : 2·21+1=43. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=2a(n−1)+(−1)^n. 2·21+1=43
72. Moltiplica per la posizione e togli uno
Livello 4 · 2, 3, 8, 31, 154, ?
Opzioni: 923 · 277 · 1046 · 800
Primo indizio
Confronta ciascun termine con quelli precedenti.
Secondo indizio
Prova a costruire il termine usando uno o più termini già noti. 3=2·2−1
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 923. La regola prevista è «Moltiplica per la posizione e togli uno». Applica la ricorrenza ai termini iniziali e controlla che produca ogni passaggio successivo. Verifica : 6·154−1=923. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=n·a(n−1)−1. 6·154−1=923
73. Passi pari e dispari di Collatz
Livello 4 · 7, 22, 11, 34, 17, ?
Opzioni: 0 · 69 · 35 · 52
Primo indizio
Confronta ciascun termine con quelli precedenti.
Secondo indizio
Prova a costruire il termine usando uno o più termini già noti. 7→22→11
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 52. La regola prevista è «Passi pari e dispari di Collatz». Applica la ricorrenza ai termini iniziali e controlla che produca ogni passaggio successivo. Verifica : 3·17+1=52. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a→a/2 (2∣a), a→3a+1 (2∤a). 3·17+1=52
74. Uno più il prodotto precedente
Livello 4 · 2, 3, 7, 43, 1807, ?
Opzioni: 3265207 · 3261679 · 3263443 · 3571
Primo indizio
Confronta ciascun termine con quelli precedenti.
Secondo indizio
Prova a costruire il termine usando uno o più termini già noti. 7=3·2+1
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 3263443. La regola prevista è «Uno più il prodotto precedente». Applica la ricorrenza ai termini iniziali e controlla che produca ogni passaggio successivo. Verifica : 1807·1806+1=3263443. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n+1)=a(n)·(a(n)−1)+1. 1807·1806+1=3263443
75. Passo di Josephus
Livello 4 · 1, 1, 3, 1, 3, 5, ?
Opzioni: 10 · 7 · 9 · 5
Primo indizio
Confronta ciascun termine con quelli precedenti.
Secondo indizio
Prova a costruire il termine usando uno o più termini già noti. J(4)=1;J(5)=3
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 7. La regola prevista è «Passo di Josephus». Applica la ricorrenza ai termini iniziali e controlla che produca ogni passaggio successivo. Verifica : J(7)=7. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: J(1)=1; J(n)=((J(n−1)+1) mod n)+1. J(7)=7
F. Famose e insolite
Queste famiglie hanno un nome e una definizione; riconoscerle è utile solo se ogni termine torna.
76. Numeri di Catalan
Livello 3 · 1, 1, 2, 5, 14, 42, ?
Opzioni: 132 · 70 · 160 · 104
Primo indizio
Potrebbe essere una famiglia di numeri con un nome.
Secondo indizio
Cerca una definizione che produca esattamente ogni termine mostrato. 1,1,2,5,14,42
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 132. La regola prevista è «Numeri di Catalan». La definizione della famiglia deve spiegare tutti i termini mostrati, non solo il numero cercato. Verifica : C(6)=132. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: C(n)=(2n)!/(n!(n+1)!). C(6)=132
77. La sequenza di Recamán
Livello 4 · 0, 1, 3, 6, 2, 7, ?
Opzioni: 12 · 18 · 8 · 13
Primo indizio
Potrebbe essere una famiglia di numeri con un nome.
Secondo indizio
Cerca una definizione che produca esattamente ogni termine mostrato. 7−6=1
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 13. La regola prevista è «La sequenza di Recamán». La definizione della famiglia deve spiegare tutti i termini mostrati, non solo il numero cercato. Verifica : 7−6=1∈{0,1,3,6,2,7};7+6=13. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Recamán(n). 7−6=1∈{0,1,3,6,2,7};7+6=13
78. Parità binaria di Thue–Morse
Livello 4 · 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ?
Opzioni: 0 · 3 · 1 · 2
Primo indizio
Potrebbe essere una famiglia di numeri con un nome.
Secondo indizio
Cerca una definizione che produca esattamente ogni termine mostrato. 0..7 in binario
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 1. La regola prevista è «Parità binaria di Thue–Morse». La definizione della famiglia deve spiegare tutti i termini mostrati, non solo il numero cercato. Verifica : 8=1000₂→1. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=popcount(n) mod 2. 8=1000₂→1
79. I numeri perfetti
Livello 4 · 6, 28, 496, 8128, ?
Opzioni: 33542704 · 33550336 · 15760 · 33557968
Primo indizio
Potrebbe essere una famiglia di numeri con un nome.
Secondo indizio
Cerca una definizione che produca esattamente ogni termine mostrato. 6=1+2+3
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 33550336. La regola prevista è «I numeri perfetti». La definizione della famiglia deve spiegare tutti i termini mostrati, non solo il numero cercato. Verifica : 33550336=2¹²(2¹³−1). È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: σ(n)=2n. 33550336=2¹²(2¹³−1)
80. Triangolari centrati
Livello 3 · 1, 4, 10, 19, 31, 46, ?
Opzioni: 64 · 61 · 79 · 49
Primo indizio
Potrebbe essere una famiglia di numeri con un nome.
Secondo indizio
Cerca una definizione che produca esattamente ogni termine mostrato. Δ=3,6,9,12,15
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 64. La regola prevista è «Triangolari centrati». La definizione della famiglia deve spiegare tutti i termini mostrati, non solo il numero cercato. Verifica : 46+18=64. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=1+3n(n+1)/2, n≥0. 46+18=64
81. Numeri di Motzkin
Livello 4 · 1, 1, 2, 4, 9, 21, ?
Opzioni: 33 · 63 · 39 · 51
Primo indizio
Potrebbe essere una famiglia di numeri con un nome.
Secondo indizio
Cerca una definizione che produca esattamente ogni termine mostrato. 1,1,2,4,9,21
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 51. La regola prevista è «Numeri di Motzkin». La definizione della famiglia deve spiegare tutti i termini mostrati, non solo il numero cercato. Verifica : M(6)=51. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: M(0..6)=1,1,2,4,9,21,51. M(6)=51
82. Numeri di Bell
Livello 4 · 1, 1, 2, 5, 15, 52, ?
Opzioni: 240 · 166 · 203 · 89
Primo indizio
Potrebbe essere una famiglia di numeri con un nome.
Secondo indizio
Cerca una definizione che produca esattamente ogni termine mostrato. 1,1,2,5,15,52
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 203. La regola prevista è «Numeri di Bell». La definizione della famiglia deve spiegare tutti i termini mostrati, non solo il numero cercato. Verifica : B(6)=203. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: B(0..6)=1,1,2,5,15,52,203. B(6)=203
83. Partizioni di un intero
Livello 4 · 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, ?
Opzioni: 22 · 15 · 19 · 11
Primo indizio
Potrebbe essere una famiglia di numeri con un nome.
Secondo indizio
Cerca una definizione che produca esattamente ogni termine mostrato. p(5)=7; p(6)=11
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 15. La regola prevista è «Partizioni di un intero». La definizione della famiglia deve spiegare tutti i termini mostrati, non solo il numero cercato. Verifica : p(7)=15. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: p(0..7)=1,1,2,3,5,7,11,15. p(7)=15
84. Permutazioni senza punti fissi
Livello 4 · 1, 0, 1, 2, 9, 44, ?
Opzioni: 265 · 79 · 300 · 230
Primo indizio
Potrebbe essere una famiglia di numeri con un nome.
Secondo indizio
Cerca una definizione che produca esattamente ogni termine mostrato. D(4)=9;D(5)=44
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 265. La regola prevista è «Permutazioni senza punti fissi». La definizione della famiglia deve spiegare tutti i termini mostrati, non solo il numero cercato. Verifica : D(6)=5·(44+9)=265. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: D(n)=(n−1)(D(n−1)+D(n−2)). D(6)=5·(44+9)=265
85. Leggi e pronuncia
Livello 4 · 1, 11, 21, 1211, 111221, ?
Opzioni: 221231 · 422221 · 202201 · 312211
Primo indizio
Potrebbe essere una famiglia di numeri con un nome.
Secondo indizio
Cerca una definizione che produca esattamente ogni termine mostrato. 111221→111 22 1
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 312211. La regola prevista è «Leggi e pronuncia». La definizione della famiglia deve spiegare tutti i termini mostrati, non solo il numero cercato. Verifica : 111221→31 22 11→312211. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: look-and-say. 111221→31 22 11→312211
G. Trabocchetti e alternative
Qui la sfida è doppia: trovare una regola convincente e ricordare che i dati non la rendono unica.
86. Somma o polinomio?
Livello 5 · 1, 2, 3, 5, ?
Opzioni: 7 · 10 · 8 · 9
Primo indizio
Quale regola useresti spontaneamente?
Secondo indizio
Una regola compatibile non è necessariamente unica: confrontala con un’altra. 1+2=3
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 8. La regola prevista è «Somma o polinomio?». Una seconda formula può riprodurre esattamente lo stesso inizio e proporre un seguito differente. Verifica : 3+5=8. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=a(n−1)+a(n−2). 3+5=8
Altra continuazione compatibile: 9. F(x) = P(x) + (0)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=1, F(2)=2, F(3)=3, F(4)=5, F(5)=9.
87. Anche quarantadue va bene
Livello 5 · 2, 4, 6, 8, ?
Opzioni: 8 · 10 · 42 · 12
Primo indizio
Quale regola useresti spontaneamente?
Secondo indizio
Una regola compatibile non è necessariamente unica: confrontala con un’altra. Δ=2
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 10. La regola prevista è «Anche quarantadue va bene». Una seconda formula può riprodurre esattamente lo stesso inizio e proporre un seguito differente. Verifica : 2·5=10. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=2n. 2·5=10
Altra continuazione compatibile: 42. F(x) = P(x) + (4/3)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=2, F(2)=4, F(3)=6, F(4)=8, F(5)=42.
88. Un quadrato non obbligatorio
Livello 5 · 1, 4, 9, 16, ?
Opzioni: 25 · 26 · 23 · 32
Primo indizio
Quale regola useresti spontaneamente?
Secondo indizio
Una regola compatibile non è necessariamente unica: confrontala con un’altra. 1²,2²,3²,4²
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 25. La regola prevista è «Un quadrato non obbligatorio». Una seconda formula può riprodurre esattamente lo stesso inizio e proporre un seguito differente. Verifica : 5²=25. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=n². 5²=25
Altra continuazione compatibile: 26. F(x) = P(x) + (1/24)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=1, F(2)=4, F(3)=9, F(4)=16, F(5)=26.
89. Primi ma non per forza
Livello 5 · 2, 3, 5, 7, ?
Opzioni: 12 · 9 · 13 · 11
Primo indizio
Quale regola useresti spontaneamente?
Secondo indizio
Una regola compatibile non è necessariamente unica: confrontala con un’altra. 2,3,5,7
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 11. La regola prevista è «Primi ma non per forza». Una seconda formula può riprodurre esattamente lo stesso inizio e proporre un seguito differente. Verifica : 11∈ℙ. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=prime(n). 11∈ℙ
Altra continuazione compatibile: 12. F(x) = P(x) + (1/6)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=2, F(2)=3, F(3)=5, F(4)=7, F(5)=12.
90. Fibonacci o un’altra legge?
Livello 5 · 1, 1, 2, 3, ?
Opzioni: 4 · 7 · 5 · 6
Primo indizio
Quale regola useresti spontaneamente?
Secondo indizio
Una regola compatibile non è necessariamente unica: confrontala con un’altra. 1+1=2
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 5. La regola prevista è «Fibonacci o un’altra legge?». Una seconda formula può riprodurre esattamente lo stesso inizio e proporre un seguito differente. Verifica : 2+3=5. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=a(n−1)+a(n−2). 2+3=5
Altra continuazione compatibile: 6. F(x) = P(x) + (1/8)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=1, F(2)=1, F(3)=2, F(4)=3, F(5)=6.
91. Raddoppio non imposto
Livello 5 · 1, 2, 4, 8, ?
Opzioni: 20 · 16 · 15 · 12
Primo indizio
Quale regola useresti spontaneamente?
Secondo indizio
Una regola compatibile non è necessariamente unica: confrontala con un’altra. ×2
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 16. La regola prevista è «Raddoppio non imposto». Una seconda formula può riprodurre esattamente lo stesso inizio e proporre un seguito differente. Verifica : 2·8=16. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=2^(n−1). 2·8=16
Altra continuazione compatibile: 15. F(x) = P(x) + (0)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=1, F(2)=2, F(3)=4, F(4)=8, F(5)=15.
92. Il periodo non è una prova
Livello 5 · 0, 1, 0, 1, ?
Opzioni: 0 · 2 · 1 · -1
Primo indizio
Quale regola useresti spontaneamente?
Secondo indizio
Una regola compatibile non è necessariamente unica: confrontala con un’altra. 0,1 / 0,1
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 0. La regola prevista è «Il periodo non è una prova». Una seconda formula può riprodurre esattamente lo stesso inizio e proporre un seguito differente. Verifica : a(5)=0. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n+2)=a(n). a(5)=0
Altra continuazione compatibile: 2. F(x) = P(x) + (-1/4)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=0, F(2)=1, F(3)=0, F(4)=1, F(5)=2.
93. Un’altra periodicità ambigua
Livello 5 · 1, 2, 1, 2, ?
Opzioni: 3 · 2 · 0 · 1
Primo indizio
Quale regola useresti spontaneamente?
Secondo indizio
Una regola compatibile non è necessariamente unica: confrontala con un’altra. 1,2 / 1,2
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 1. La regola prevista è «Un’altra periodicità ambigua». Una seconda formula può riprodurre esattamente lo stesso inizio e proporre un seguito differente. Verifica : a(5)=1. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n+2)=a(n). a(5)=1
Altra continuazione compatibile: 3. F(x) = P(x) + (-1/4)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=1, F(2)=2, F(3)=1, F(4)=2, F(5)=3.
94. Descrivere o interpolare
Livello 5 · 1, 11, 21, 1211, ?
Opzioni: 2401 · 112411 · 111221 · 111222
Primo indizio
Quale regola useresti spontaneamente?
Secondo indizio
Una regola compatibile non è necessariamente unica: confrontala con un’altra. 21→1211
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 111221. La regola prevista è «Descrivere o interpolare». Una seconda formula può riprodurre esattamente lo stesso inizio e proporre un seguito differente. Verifica : 1211→11 12 21→111221. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: look-and-say. 1211→11 12 21→111221
Altra continuazione compatibile: 111222. F(x) = P(x) + (35487/8)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=1, F(2)=11, F(3)=21, F(4)=1211, F(5)=111222.
95. La parità non è l’unica storia
Livello 5 · 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, ?
Opzioni: -1 · 0 · 2 · 1
Primo indizio
Quale regola useresti spontaneamente?
Secondo indizio
Una regola compatibile non è necessariamente unica: confrontala con un’altra. popcount(9)=2
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 0. La regola prevista è «La parità non è l’unica storia». Una seconda formula può riprodurre esattamente lo stesso inizio e proporre un seguito differente. Verifica : 9=1001₂→0. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Thue–Morse. 9=1001₂→0
Altra continuazione compatibile: 2. F(x) = P(x) + (-31/90720)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)(x−7)(x−8)(x−9); F(1)=0, F(2)=1, F(3)=1, F(4)=0, F(5)=1, F(6)=0, F(7)=0, F(8)=1, F(9)=1, F(10)=2.
96. Catalan e altre continuazioni
Livello 5 · 1, 1, 2, 5, 14, ?
Opzioni: 42 · 43 · 23 · 51
Primo indizio
Quale regola useresti spontaneamente?
Secondo indizio
Una regola compatibile non è necessariamente unica: confrontala con un’altra. C(4)=14
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 42. La regola prevista è «Catalan e altre continuazioni». Una seconda formula può riprodurre esattamente lo stesso inizio e proporre un seguito differente. Verifica : 1,1,2,5,14→42. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: C(5)=42. 1,1,2,5,14→42
Altra continuazione compatibile: 43. F(x) = P(x) + (7/120)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5); F(1)=1, F(2)=1, F(3)=2, F(4)=5, F(5)=14, F(6)=43.
97. Recamán senza unicità
Livello 5 · 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, ?
Opzioni: 21 · 19 · 26 · 20
Primo indizio
Quale regola useresti spontaneamente?
Secondo indizio
Una regola compatibile non è necessariamente unica: confrontala con un’altra. 13−7=6
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 20. La regola prevista è «Recamán senza unicità». Una seconda formula può riprodurre esattamente lo stesso inizio e proporre un seguito differente. Verifica : 13−7=6∈{0,1,3,6,2,7,13};13+7=20. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: Recamán(n). 13−7=6∈{0,1,3,6,2,7,13};13+7=20
Altra continuazione compatibile: 21. F(x) = P(x) + (23/720)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)(x−7); F(1)=0, F(2)=1, F(3)=3, F(4)=6, F(5)=2, F(6)=7, F(7)=13, F(8)=21.
98. Perfetti o costruiti?
Livello 5 · 6, 28, 496, ?
Opzioni: 964 · 8596 · 8128 · 8129
Primo indizio
Quale regola useresti spontaneamente?
Secondo indizio
Una regola compatibile non è necessariamente unica: confrontala con un’altra. 6=1+2+3
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 8128. La regola prevista è «Perfetti o costruiti?». Una seconda formula può riprodurre esattamente lo stesso inizio e proporre un seguito differente. Verifica : 8128=2⁶(2⁷−1). È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: σ(n)=2n. 8128=2⁶(2⁷−1)
Altra continuazione compatibile: 8129. F(x) = P(x) + (6719/6)·(x−1)(x−2)(x−3); F(1)=6, F(2)=28, F(3)=496, F(4)=8129.
99. Quattro zeri non vincolano il quinto
Livello 5 · 0, 0, 0, 0, ?
Opzioni: -1 · 0 · 24 · 1
Primo indizio
Quale regola useresti spontaneamente?
Secondo indizio
Una regola compatibile non è necessariamente unica: confrontala con un’altra. 0,0,0,0
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 0. La regola prevista è «Quattro zeri non vincolano il quinto». Una seconda formula può riprodurre esattamente lo stesso inizio e proporre un seguito differente. Verifica : a(5)=0. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=0. a(5)=0
Altra continuazione compatibile: 24. F(x) = P(x) + (1)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=0, F(2)=0, F(3)=0, F(4)=0, F(5)=24.
100. Il seguito non è obbligato
Livello 5 · 1, 2, 3, 4, 5, ?
Opzioni: 6 · 1000 · 7 · 5
Primo indizio
Quale regola useresti spontaneamente?
Secondo indizio
Una regola compatibile non è necessariamente unica: confrontala con un’altra. Δ=1
Soluzione e verifica
Risposta prevista: 6. La regola prevista è «Il seguito non è obbligato». Una seconda formula può riprodurre esattamente lo stesso inizio e proporre un seguito differente. Verifica : a(6)=6. È una continuazione compatibile, non necessariamente l’unica.
Formula o proprietà: a(n)=n. a(6)=6
Altra continuazione compatibile: 1000. F(x) = P(x) + (497/60)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5); F(1)=1, F(2)=2, F(3)=3, F(4)=4, F(5)=5, F(6)=1000.
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Apri il laboratorio interattivo · Perché quattro numeri non decidono il quinto