Quel nombre vient ensuite ? La question n’est simple qu’en apparence. Cette collection propose cent énigmes classées par stratégie : progressions, différences, alternances, chiffres, récurrences, familles célèbres et pièges. Chaque exercice indique une règle envisagée et la vérifie ; un préfixe fini n’est jamais présenté comme imposant une suite unique.
Ouvrir le laboratoire interactif · Pourquoi quatre nombres ne déterminent pas le cinquième
Comment utiliser cette collection
Essaie de répondre avant d’ouvrir les indices. Chaque énigme offre deux aides progressives, une réponse et une vérification. Dans le laboratoire, tu peux choisir parmi quatre propositions, saisir une réponse libre, relever un défi de dix énigmes, analyser tes propres nombres, construire toute continuation par interpolation de Lagrange ou parcourir les archives filtrables.
Une réponse est un choix de règle, non une déduction inévitable
Même si une solution convient à tous les nombres affichés, une autre règle peut donner un terme différent. L’interpolation permet même de construire exactement un polynôme qui reproduit les données initiales et prend toute valeur choisie à la position suivante. Nous demandons ici la continuation selon la règle annoncée : ces énigmes invitent à formuler et comparer des hypothèses, non à deviner une vérité cachée.
A. Simples en apparence
Elles semblent immédiates, mais demandent d’identifier avec soin l’opération répétée.
1. Ajouter trois
Niveau 1 · 4, 7, 10, 13, 16, ?
Propositions: 22 · 16 · 32 · 19
Premier indice
Compare les termes voisins.
Deuxième indice
Cherche une règle simple qui fonctionne à chaque étape. Δ=3
Solution et vérification
Réponse prévue: 19. La règle prévue est «Ajouter trois». Vérifie que la même relation décrit chaque terme, et non seulement le dernier passage. Vérification : 16+3=19. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=3n+1. 16+3=19
2. Multiplier par trois
Niveau 1 · 2, 6, 18, 54, 162, ?
Propositions: 594 · 378 · 486 · 270
Premier indice
Compare les termes voisins.
Deuxième indice
Cherche une règle simple qui fonctionne à chaque étape. ratio=3
Solution et vérification
Réponse prévue: 486. La règle prévue est «Multiplier par trois». Vérifie que la même relation décrit chaque terme, et non seulement le dernier passage. Vérification : 162·3=486. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=2·3^(n−1). 162·3=486
3. Carrés consécutifs
Niveau 1 · 1, 4, 9, 16, 25, ?
Propositions: 27 · 36 · 34 · 45
Premier indice
Compare les termes voisins.
Deuxième indice
Cherche une règle simple qui fonctionne à chaque étape. 1²,2²,3²
Solution et vérification
Réponse prévue: 36. La règle prévue est «Carrés consécutifs». Vérifie que la même relation décrit chaque terme, et non seulement le dernier passage. Vérification : 6²=36. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=n². 6²=36
4. Nombres triangulaires
Niveau 2 · 1, 3, 6, 10, 15, ?
Propositions: 21 · 20 · 26 · 16
Premier indice
Compare les termes voisins.
Deuxième indice
Cherche une règle simple qui fonctionne à chaque étape. Δ=2,3,4,5
Solution et vérification
Réponse prévue: 21. La règle prévue est «Nombres triangulaires». Vérifie que la même relation décrit chaque terme, et non seulement le dernier passage. Vérification : 15+6=21. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=n(n+1)/2. 15+6=21
5. Un de plus qu’un carré
Niveau 2 · 2, 5, 10, 17, 26, ?
Propositions: 35 · 46 · 28 · 37
Premier indice
Compare les termes voisins.
Deuxième indice
Cherche une règle simple qui fonctionne à chaque étape. a(n)−1=n²
Solution et vérification
Réponse prévue: 37. La règle prévue est «Un de plus qu’un carré». Vérifie que la même relation décrit chaque terme, et non seulement le dernier passage. Vérification : 6²+1=37. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=n²+1. 6²+1=37
6. Un de moins qu’une puissance de deux
Niveau 2 · 1, 3, 7, 15, 31, ?
Propositions: 79 · 62 · 63 · 47
Premier indice
Compare les termes voisins.
Deuxième indice
Cherche une règle simple qui fonctionne à chaque étape. a(n)+1=2^n
Solution et vérification
Réponse prévue: 63. La règle prévue est «Un de moins qu’une puissance de deux». Vérifie que la même relation décrit chaque terme, et non seulement le dernier passage. Vérification : 2^6−1=63. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=2^n−1. 2^6−1=63
7. Produit de voisins
Niveau 2 · 2, 6, 12, 20, 30, ?
Propositions: 32 · 42 · 40 · 52
Premier indice
Compare les termes voisins.
Deuxième indice
Cherche une règle simple qui fonctionne à chaque étape. 1·2,2·3,3·4
Solution et vérification
Réponse prévue: 42. La règle prévue est «Produit de voisins». Vérifie que la même relation décrit chaque terme, et non seulement le dernier passage. Vérification : 6·7=42. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=n(n+1). 6·7=42
8. Carré plus le double
Niveau 3 · 3, 8, 15, 24, 35, ?
Propositions: 48 · 46 · 59 · 37
Premier indice
Compare les termes voisins.
Deuxième indice
Cherche une règle simple qui fonctionne à chaque étape. a(n)+1=(n+1)²
Solution et vérification
Réponse prévue: 48. La règle prévue est «Carré plus le double». Vérifie que la même relation décrit chaque terme, et non seulement le dernier passage. Vérification : 6²+2·6=48. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=n²+2n. 6²+2·6=48
9. Factorielles
Niveau 2 · 1, 2, 6, 24, 120, ?
Propositions: 216 · 816 · 624 · 720
Premier indice
Compare les termes voisins.
Deuxième indice
Cherche une règle simple qui fonctionne à chaque étape. ×2,×3,×4,×5
Solution et vérification
Réponse prévue: 720. La règle prévue est «Factorielles». Vérifie que la même relation décrit chaque terme, et non seulement le dernier passage. Vérification : 6!=720. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=n!. 6!=720
10. Doubler puis retirer un
Niveau 2 · 3, 5, 9, 17, 33, ?
Propositions: 81 · 66 · 65 · 49
Premier indice
Compare les termes voisins.
Deuxième indice
Cherche une règle simple qui fonctionne à chaque étape. ×2−1
Solution et vérification
Réponse prévue: 65. La règle prévue est «Doubler puis retirer un». Vérifie que la même relation décrit chaque terme, et non seulement le dernier passage. Vérification : 2·33−1=65. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n+1)=2a(n)−1. 2·33−1=65
11. Sauts qui doublent
Niveau 3 · 2, 3, 5, 9, 17, ?
Propositions: 34 · 33 · 25 · 41
Premier indice
Compare les termes voisins.
Deuxième indice
Cherche une règle simple qui fonctionne à chaque étape. Δ=1,2,4,8
Solution et vérification
Réponse prévue: 33. La règle prévue est «Sauts qui doublent». Vérifie que la même relation décrit chaque terme, et non seulement le dernier passage. Vérification : 17+16=33. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Δa=1,2,4,8,16. 17+16=33
12. Cubes consécutifs
Niveau 2 · 1, 8, 27, 64, 125, ?
Propositions: 216 · 186 · 277 · 155
Premier indice
Compare les termes voisins.
Deuxième indice
Cherche une règle simple qui fonctionne à chaque étape. 1³,2³,3³
Solution et vérification
Réponse prévue: 216. La règle prévue est «Cubes consécutifs». Vérifie que la même relation décrit chaque terme, et non seulement le dernier passage. Vérification : 6³=216. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=n³. 6³=216
13. Soustraire de plus en plus
Niveau 2 · 10, 9, 7, 4, 0, ?
Propositions: -4 · -1 · -9 · -5
Premier indice
Compare les termes voisins.
Deuxième indice
Cherche une règle simple qui fonctionne à chaque étape. −1,−2,−3,−4
Solution et vérification
Réponse prévue: -5. La règle prévue est «Soustraire de plus en plus». Vérifie que la même relation décrit chaque terme, et non seulement le dernier passage. Vérification : 0−5=−5. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Δa=−1,−2,−3,−4,−5. 0−5=−5
14. Augmentations successives
Niveau 2 · 1, 2, 4, 7, 11, ?
Propositions: 20 · 12 · 16 · 15
Premier indice
Compare les termes voisins.
Deuxième indice
Cherche une règle simple qui fonctionne à chaque étape. Δ=1,2,3,4
Solution et vérification
Réponse prévue: 16. La règle prévue est «Augmentations successives». Vérifie que la même relation décrit chaque terme, et non seulement le dernier passage. Vérification : 11+5=16. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Δa=1,2,3,4,5. 11+5=16
15. Premiers nombres premiers
Niveau 2 · 2, 3, 5, 7, 11, ?
Propositions: 9 · 13 · 15 · 17
Premier indice
Compare les termes voisins.
Deuxième indice
Cherche une règle simple qui fonctionne à chaque étape. 2,3,5,7,11
Solution et vérification
Réponse prévue: 13. La règle prévue est «Premiers nombres premiers». Vérifie que la même relation décrit chaque terme, et non seulement le dernier passage. Vérification : 13∈ℙ, 11<13. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=prime(n). 13∈ℙ, 11<13
B. Différences cachées
Quand les écarts changent, leurs différences révèlent souvent une autre suite cachée.
16. Différences paires croissantes
Niveau 2 · 3, 7, 13, 21, 31, ?
Propositions: 43 · 41 · 53 · 33
Premier indice
Écris les différences entre termes consécutifs.
Deuxième indice
Observe aussi les différences entre ces différences. Δ²=2
Solution et vérification
Réponse prévue: 43. La règle prévue est «Différences paires croissantes». Compare les écarts successifs ou la valeur avec sa position : leur évolution suggère la règle. Vérification : 31+12=43. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Δa=4,6,8,10,12. 31+12=43
17. Troisièmes différences constantes
Niveau 3 · 1, 2, 5, 12, 25, ?
Propositions: 38 · 59 · 33 · 46
Premier indice
Écris les différences entre termes consécutifs.
Deuxième indice
Observe aussi les différences entre ces différences. Δ³=2
Solution et vérification
Réponse prévue: 46. La règle prévue est «Troisièmes différences constantes». Compare les écarts successifs ou la valeur avec sa position : leur évolution suggère la règle. Vérification : 25+21=46. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Δa=1,3,7,13,21. 25+21=46
18. Sauts premiers
Niveau 3 · 1, 3, 6, 11, 18, ?
Propositions: 36 · 22 · 29 · 25
Premier indice
Écris les différences entre termes consécutifs.
Deuxième indice
Observe aussi les différences entre ces différences. Δ=2,3,5,7
Solution et vérification
Réponse prévue: 29. La règle prévue est «Sauts premiers». Compare les écarts successifs ou la valeur avec sa position : leur évolution suggère la règle. Vérification : 18+11=29. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Δa=2,3,5,7,11. 18+11=29
19. Sauts carrés
Niveau 3 · 0, 1, 5, 14, 30, ?
Propositions: 39 · 55 · 46 · 71
Premier indice
Écris les différences entre termes consécutifs.
Deuxième indice
Observe aussi les différences entre ces différences. Δ=1,4,9,16
Solution et vérification
Réponse prévue: 55. La règle prévue est «Sauts carrés». Compare les écarts successifs ou la valeur avec sa position : leur évolution suggère la règle. Vérification : 30+25=55. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Δa=1²,2²,3²,4²,5². 30+25=55
20. Sauts cubiques
Niveau 3 · 0, 1, 9, 36, 100, ?
Propositions: 225 · 164 · 289 · 161
Premier indice
Écris les différences entre termes consécutifs.
Deuxième indice
Observe aussi les différences entre ces différences. Δ=1,8,27,64
Solution et vérification
Réponse prévue: 225. La règle prévue est «Sauts cubiques». Compare les écarts successifs ou la valeur avec sa position : leur évolution suggère la règle. Vérification : 100+125=225. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Δa=1³,2³,3³,4³,5³. 100+125=225
21. Sauts factoriels
Niveau 3 · 0, 1, 3, 9, 33, ?
Propositions: 57 · 177 · 129 · 153
Premier indice
Écris les différences entre termes consécutifs.
Deuxième indice
Observe aussi les différences entre ces différences. Δ=1,2,6,24
Solution et vérification
Réponse prévue: 153. La règle prévue est «Sauts factoriels». Compare les écarts successifs ou la valeur avec sa position : leur évolution suggère la règle. Vérification : 33+120=153. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Δa=1!,2!,3!,4!,5!. 33+120=153
22. Sauts de Fibonacci
Niveau 3 · 0, 1, 2, 4, 7, ?
Propositions: 15 · 9 · 12 · 10
Premier indice
Écris les différences entre termes consécutifs.
Deuxième indice
Observe aussi les différences entre ces différences. Δ=1,1,2,3
Solution et vérification
Réponse prévue: 12. La règle prévue est «Sauts de Fibonacci». Compare les écarts successifs ou la valeur avec sa position : leur évolution suggère la règle. Vérification : 7+5=12. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Δa=1,1,2,3,5. 7+5=12
23. Sauts en puissances
Niveau 2 · 0, 1, 3, 7, 15, ?
Propositions: 30 · 31 · 23 · 39
Premier indice
Écris les différences entre termes consécutifs.
Deuxième indice
Observe aussi les différences entre ces différences. Δ=1,2,4,8
Solution et vérification
Réponse prévue: 31. La règle prévue est «Sauts en puissances». Compare les écarts successifs ou la valeur avec sa position : leur évolution suggère la règle. Vérification : 15+16=31. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Δa=1,2,4,8,16. 15+16=31
24. Deux familles de sauts
Niveau 4 · 0, 1, 5, 7, 15, 18, ?
Propositions: 30 · 21 · 33 · 27
Premier indice
Écris les différences entre termes consécutifs.
Deuxième indice
Observe aussi les différences entre ces différences. Δ dispari=1,2,3
Solution et vérification
Réponse prévue: 30. La règle prévue est «Deux familles de sauts». Compare les écarts successifs ou la valeur avec sa position : leur évolution suggère la règle. Vérification : 18+12=30. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Δa=1,4,2,8,3,12. 18+12=30
25. Sauts à signes alternés
Niveau 3 · 0, 1, -1, 2, -2, 3, ?
Propositions: 8 · 2 · -8 · -3
Premier indice
Écris les différences entre termes consécutifs.
Deuxième indice
Observe aussi les différences entre ces différences. +1,−2,+3,−4
Solution et vérification
Réponse prévue: -3. La règle prévue est «Sauts à signes alternés». Compare les écarts successifs ou la valeur avec sa position : leur évolution suggère la règle. Vérification : 3−6=−3. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Δa=1,−2,3,−4,5,−6. 3−6=−3
26. Sauts triangulaires
Niveau 3 · 0, 1, 4, 10, 20, ?
Propositions: 45 · 25 · 35 · 30
Premier indice
Écris les différences entre termes consécutifs.
Deuxième indice
Observe aussi les différences entre ces différences. Δ=1,3,6,10
Solution et vérification
Réponse prévue: 35. La règle prévue est «Sauts triangulaires». Compare les écarts successifs ou la valeur avec sa position : leur évolution suggère la règle. Vérification : 20+15=35. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Δa=1,3,6,10,15. 20+15=35
27. Sauts pairs et premiers
Niveau 3 · 0, 4, 10, 20, 34, ?
Propositions: 42 · 56 · 48 · 70
Premier indice
Écris les différences entre termes consécutifs.
Deuxième indice
Observe aussi les différences entre ces différences. Δ/2=2,3,5,7
Solution et vérification
Réponse prévue: 56. La règle prévue est «Sauts pairs et premiers». Compare les écarts successifs ou la valeur avec sa position : leur évolution suggère la règle. Vérification : 34+22=56. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Δa=2·(2,3,5,7,11). 34+22=56
28. Sauts rectangulaires
Niveau 3 · 0, 2, 8, 20, 40, ?
Propositions: 70 · 60 · 90 · 50
Premier indice
Écris les différences entre termes consécutifs.
Deuxième indice
Observe aussi les différences entre ces différences. Δ=n(n+1)
Solution et vérification
Réponse prévue: 70. La règle prévue est «Sauts rectangulaires». Compare les écarts successifs ou la valeur avec sa position : leur évolution suggère la règle. Vérification : 40+30=70. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Δa=2,6,12,20,30. 40+30=70
29. Cube et position
Niveau 3 · 2, 10, 30, 68, 130, ?
Propositions: 192 · 284 · 160 · 222
Premier indice
Écris les différences entre termes consécutifs.
Deuxième indice
Observe aussi les différences entre ces différences. a(n)−n=n³
Solution et vérification
Réponse prévue: 222. La règle prévue est «Cube et position». Compare les écarts successifs ou la valeur avec sa position : leur évolution suggère la règle. Vérification : 6³+6=222. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=n³+n. 6³+6=222
30. Puissances quatrièmes
Niveau 4 · 1, 16, 81, 256, 625, ?
Propositions: 1665 · 927 · 1296 · 994
Premier indice
Écris les différences entre termes consécutifs.
Deuxième indice
Observe aussi les différences entre ces différences. 1⁴,2⁴,3⁴
Solution et vérification
Réponse prévue: 1296. La règle prévue est «Puissances quatrièmes». Compare les écarts successifs ou la valeur avec sa position : leur évolution suggère la règle. Vérification : 6⁴=1296. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=n⁴. 6⁴=1296
C. Alternées et entrelacées
Une ligne peut mêler deux ou trois histoires : séparer les positions change le regard.
31. Carrés et dizaines
Niveau 2 · 1, 10, 4, 20, 9, 30, ?
Propositions: -5 · 16 · 51 · 37
Premier indice
Ne lis pas toujours tous les termes comme une seule suite.
Deuxième indice
Sépare les positions impaires et paires, ou cherche un cycle de trois. 1,4,9 / 10,20,30
Solution et vérification
Réponse prévue: 16. La règle prévue est «Carrés et dizaines». Sépare les positions indiquées par la formule : chaque piste suit son propre motif. Vérification : 4²=16. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(2n−1)=n²; a(2n)=10n. 4²=16
32. Pairs et carrés
Niveau 3 · 2, 1, 4, 4, 6, 9, ?
Propositions: 8 · 12 · 11 · 5
Premier indice
Ne lis pas toujours tous les termes comme une seule suite.
Deuxième indice
Sépare les positions impaires et paires, ou cherche un cycle de trois. 2,4,6 / 1,4,9
Solution et vérification
Réponse prévue: 8. La règle prévue est «Pairs et carrés». Sépare les positions indiquées par la formule : chaque piste suit son propre motif. Vérification : 2·4=8. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(2n−1)=2n; a(2n)=n². 2·4=8
33. Positions et puissances
Niveau 3 · 1, 2, 2, 4, 3, 8, ?
Propositions: 13 · 9 · -1 · 4
Premier indice
Ne lis pas toujours tous les termes comme une seule suite.
Deuxième indice
Sépare les positions impaires et paires, ou cherche un cycle de trois. 1,2,3 / 2,4,8
Solution et vérification
Réponse prévue: 4. La règle prévue est «Positions et puissances». Sépare les positions indiquées par la formule : chaque piste suit son propre motif. Vérification : n=4. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(2n−1)=n; a(2n)=2^n. n=4
34. L’une monte et l’autre descend
Niveau 3 · 3, 100, 5, 90, 7, 80, ?
Propositions: 82 · -64 · 9 · 153
Premier indice
Ne lis pas toujours tous les termes comme une seule suite.
Deuxième indice
Sépare les positions impaires et paires, ou cherche un cycle de trois. 3,5,7 / 100,90,80
Solution et vérification
Réponse prévue: 9. La règle prévue est «L’une monte et l’autre descend». Sépare les positions indiquées par la formule : chaque piste suit son propre motif. Vérification : 2·4+1=9. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(2n−1)=2n+1; a(2n)=110−10n. 2·4+1=9
35. Carrés et compteur
Niveau 3 · 1, 1, 4, 2, 9, 3, ?
Propositions: 10 · 16 · -3 · 22
Premier indice
Ne lis pas toujours tous les termes comme une seule suite.
Deuxième indice
Sépare les positions impaires et paires, ou cherche un cycle de trois. 1,4,9 / 1,2,3
Solution et vérification
Réponse prévue: 16. La règle prévue est «Carrés et compteur». Sépare les positions indiquées par la formule : chaque piste suit son propre motif. Vérification : 4²=16. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(2n−1)=n²; a(2n)=n. 4²=16
36. Tripler une piste
Niveau 3 · 2, 3, 6, 5, 18, 7, ?
Propositions: 54 · -4 · 65 · 43
Premier indice
Ne lis pas toujours tous les termes comme une seule suite.
Deuxième indice
Sépare les positions impaires et paires, ou cherche un cycle de trois. 2,6,18 / 3,5,7
Solution et vérification
Réponse prévue: 54. La règle prévue est «Tripler une piste». Sépare les positions indiquées par la formule : chaque piste suit son propre motif. Vérification : 18·3=54. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(2n−1)=2·3^(n−1); a(2n)=2n+1. 18·3=54
37. Fibonacci et dizaines
Niveau 4 · 0, 10, 1, 20, 1, 30, 2, 40, ?
Propositions: 78 · 41 · -35 · 3
Premier indice
Ne lis pas toujours tous les termes comme une seule suite.
Deuxième indice
Sépare les positions impaires et paires, ou cherche un cycle de trois. 0,1,1,2 / 10,20,30,40
Solution et vérification
Réponse prévue: 3. La règle prévue est «Fibonacci et dizaines». Sépare les positions indiquées par la formule : chaque piste suit son propre motif. Vérification : 1+2=3. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(2n−1)=Fib(n−1); a(2n)=10n. 1+2=3
38. Impairs et carrés
Niveau 3 · 1, 1, 3, 4, 5, 9, ?
Propositions: 11 · 3 · 7 · 13
Premier indice
Ne lis pas toujours tous les termes comme une seule suite.
Deuxième indice
Sépare les positions impaires et paires, ou cherche un cycle de trois. 1,3,5 / 1,4,9
Solution et vérification
Réponse prévue: 7. La règle prévue est «Impairs et carrés». Sépare les positions indiquées par la formule : chaque piste suit son propre motif. Vérification : 2·4−1=7. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(2n−1)=2n−1; a(2n)=n². 2·4−1=7
39. Multiples de cinq et carrés
Niveau 3 · 5, 1, 10, 4, 15, 9, ?
Propositions: 14 · 20 · 3 · 26
Premier indice
Ne lis pas toujours tous les termes comme une seule suite.
Deuxième indice
Sépare les positions impaires et paires, ou cherche un cycle de trois. 5,10,15 / 1,4,9
Solution et vérification
Réponse prévue: 20. La règle prévue est «Multiples de cinq et carrés». Sépare les positions indiquées par la formule : chaque piste suit son propre motif. Vérification : 5·4=20. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(2n−1)=5n; a(2n)=n². 5·4=20
40. Doublements et sept
Niveau 3 · 2, 7, 4, 14, 8, 21, ?
Propositions: 16 · 34 · 29 · 3
Premier indice
Ne lis pas toujours tous les termes comme une seule suite.
Deuxième indice
Sépare les positions impaires et paires, ou cherche un cycle de trois. 2,4,8 / 7,14,21
Solution et vérification
Réponse prévue: 16. La règle prévue est «Doublements et sept». Sépare les positions indiquées par la formule : chaque piste suit son propre motif. Vérification : 2⁴=16. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(2n−1)=2^n; a(2n)=7n. 2⁴=16
41. Cycles de trois échelles
Niveau 3 · 1, 10, 100, 2, 20, 200, ?
Propositions: 380 · 183 · -177 · 3
Premier indice
Ne lis pas toujours tous les termes comme une seule suite.
Deuxième indice
Sépare les positions impaires et paires, ou cherche un cycle de trois. 1,2 / 10,20 / 100,200
Solution et vérification
Réponse prévue: 3. La règle prévue est «Cycles de trois échelles». Sépare les positions indiquées par la formule : chaque piste suit son propre motif. Vérification : n=3. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(3n−2)=n; a(3n−1)=10n; a(3n)=100n. n=3
42. Trois multiplicateurs
Niveau 4 · 1, 4, 9, 2, 8, 18, 3, 12, 27, ?
Propositions: 19 · -11 · 4 · 42
Premier indice
Ne lis pas toujours tous les termes comme une seule suite.
Deuxième indice
Sépare les positions impaires et paires, ou cherche un cycle de trois. 1,2,3 / 4,8,12 / 9,18,27
Solution et vérification
Réponse prévue: 4. La règle prévue est «Trois multiplicateurs». Sépare les positions indiquées par la formule : chaque piste suit son propre motif. Vérification : n=4. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(3n−2)=n; a(3n−1)=4n; a(3n)=9n. n=4
43. Chaque nombre et son opposé
Niveau 2 · 1, -1, 2, -2, 3, -3, ?
Propositions: -2 · 4 · -9 · 10
Premier indice
Ne lis pas toujours tous les termes comme une seule suite.
Deuxième indice
Sépare les positions impaires et paires, ou cherche un cycle de trois. 1,2,3 / −1,−2,−3
Solution et vérification
Réponse prévue: 4. La règle prévue est «Chaque nombre et son opposé». Sépare les positions indiquées par la formule : chaque piste suit son propre motif. Vérification : n=4. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(2n−1)=n; a(2n)=−n. n=4
44. Trois colonnes proportionnelles
Niveau 4 · 2, 3, 5, 4, 6, 10, 6, 9, 15, ?
Propositions: 8 · 21 · 14 · 2
Premier indice
Ne lis pas toujours tous les termes comme une seule suite.
Deuxième indice
Sépare les positions impaires et paires, ou cherche un cycle de trois. 2,4,6 / 3,6,9 / 5,10,15
Solution et vérification
Réponse prévue: 8. La règle prévue est «Trois colonnes proportionnelles». Sépare les positions indiquées par la formule : chaque piste suit son propre motif. Vérification : 2·4=8. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(3n−2)=2n; a(3n−1)=3n; a(3n)=5n. 2·4=8
45. Puissances de trois et doubles
Niveau 3 · 1, 2, 3, 6, 9, 18, ?
Propositions: 36 · 18 · 28 · 27
Premier indice
Ne lis pas toujours tous les termes comme une seule suite.
Deuxième indice
Sépare les positions impaires et paires, ou cherche un cycle de trois. 1,3,9 / 2,6,18
Solution et vérification
Réponse prévue: 27. La règle prévue est «Puissances de trois et doubles». Sépare les positions indiquées par la formule : chaque piste suit son propre motif. Vérification : 3³=27. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(2n−1)=3^(n−1); a(2n)=2·3^(n−1). 3³=27
D. Chiffres, puissances et propriétés
Parfois, l’écriture du nombre compte : chiffres, bases, puissances et propriétés arithmétiques.
46. Chiffres un répétés
Niveau 2 · 1, 11, 111, 1111, 11111, ?
Propositions: 121111 · 101111 · 111111 · 21111
Premier indice
Observe les chiffres, pas seulement la valeur totale.
Deuxième indice
Une représentation, une puissance ou une propriété des chiffres peut aider. 1,11,111
Solution et vérification
Réponse prévue: 111111. La règle prévue est «Chiffres un répétés». Ici, l’écriture ou une propriété des chiffres compte autant que la valeur numérique. Vérification : 11111·10+1=111111. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=(10^n−1)/9. 11111·10+1=111111
47. Chiffres neuf répétés
Niveau 2 · 9, 99, 999, 9999, ?
Propositions: 90999 · 99999 · 18999 · 108999
Premier indice
Observe les chiffres, pas seulement la valeur totale.
Deuxième indice
Une représentation, une puissance ou une propriété des chiffres peut aider. 9,99,999
Solution et vérification
Réponse prévue: 99999. La règle prévue est «Chiffres neuf répétés». Ici, l’écriture ou une propriété des chiffres compte autant que la valeur numérique. Vérification : 9999·10+9=99999. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=10^n−1. 9999·10+9=99999
48. Paires de chiffres consécutifs
Niveau 2 · 12, 23, 34, 45, 56, ?
Propositions: 67 · 78 · 56 · 112
Premier indice
Observe les chiffres, pas seulement la valeur totale.
Deuxième indice
Une représentation, une puissance ou une propriété des chiffres peut aider. 12,23,34
Solution et vérification
Réponse prévue: 67. La règle prévue est «Paires de chiffres consécutifs». Ici, l’écriture ou une propriété des chiffres compte autant que la valeur numérique. Vérification : 56+11=67. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=11n+1. 56+11=67
49. Dizaines et unités croissantes
Niveau 3 · 10, 21, 32, 43, 54, ?
Propositions: 76 · 54 · 108 · 65
Premier indice
Observe les chiffres, pas seulement la valeur totale.
Deuxième indice
Une représentation, une puissance ou une propriété des chiffres peut aider. 10→21→32
Solution et vérification
Réponse prévue: 65. La règle prévue est «Dizaines et unités croissantes». Ici, l’écriture ou une propriété des chiffres compte autant que la valeur numérique. Vérification : 54+11=65. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=11n−1. 54+11=65
50. Chiffres jumeaux
Niveau 2 · 11, 22, 33, 44, 55, ?
Propositions: 55 · 110 · 66 · 77
Premier indice
Observe les chiffres, pas seulement la valeur totale.
Deuxième indice
Une représentation, une puissance ou une propriété des chiffres peut aider. 11,22,33
Solution et vérification
Réponse prévue: 66. La règle prévue est «Chiffres jumeaux». Ici, l’écriture ou une propriété des chiffres compte autant que la valeur numérique. Vérification : 11·6=66. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=11n. 11·6=66
51. Racines numériques de deux
Niveau 4 · 1, 2, 4, 8, 7, 5, ?
Propositions: 10 · 1 · 3 · -1
Premier indice
Observe les chiffres, pas seulement la valeur totale.
Deuxième indice
Une représentation, une puissance ou une propriété des chiffres peut aider. 1,2,4,8,16→7
Solution et vérification
Réponse prévue: 1. La règle prévue est «Racines numériques de deux». Ici, l’écriture ou une propriété des chiffres compte autant que la valeur numérique. Vérification : 2⁶=64→6+4=10→1. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=digitalRoot(2^(n−1)). 2⁶=64→6+4=10→1
52. Unités des puissances de trois
Niveau 4 · 1, 3, 9, 7, 1, 3, ?
Propositions: 9 · 5 · 11 · 7
Premier indice
Observe les chiffres, pas seulement la valeur totale.
Deuxième indice
Une représentation, une puissance ou une propriété des chiffres peut aider. 1,3,9,7
Solution et vérification
Réponse prévue: 9. La règle prévue est «Unités des puissances de trois». Ici, l’écriture ou une propriété des chiffres compte autant que la valeur numérique. Vérification : 3⁶=729→9. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=3^(n−1) mod 10. 3⁶=729→9
53. Unités des carrés
Niveau 4 · 1, 4, 9, 6, 5, 6, ?
Propositions: 7 · 10 · 8 · 9
Premier indice
Observe les chiffres, pas seulement la valeur totale.
Deuxième indice
Une représentation, une puissance ou une propriété des chiffres peut aider. 1²,2²,3² mod 10
Solution et vérification
Réponse prévue: 9. La règle prévue est «Unités des carrés». Ici, l’écriture ou une propriété des chiffres compte autant que la valeur numérique. Vérification : 7²=49→9. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=n² mod 10. 7²=49→9
54. Compter en base deux
Niveau 3 · 1, 10, 11, 100, 101, 110, ?
Propositions: 120 · 102 · 111 · 119
Premier indice
Observe les chiffres, pas seulement la valeur totale.
Deuxième indice
Une représentation, une puissance ou une propriété des chiffres peut aider. 1₂,10₂,11₂
Solution et vérification
Réponse prévue: 111. La règle prévue est «Compter en base deux». Ici, l’écriture ou une propriété des chiffres compte autant que la valeur numérique. Vérification : 7₁₀=111₂. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=bin₂(n). 7₁₀=111₂
55. Un suivi de zéros
Niveau 2 · 10, 100, 1000, 10000, ?
Propositions: 91000 · 100000 · 19000 · 109000
Premier indice
Observe les chiffres, pas seulement la valeur totale.
Deuxième indice
Une représentation, une puissance ou une propriété des chiffres peut aider. 10,10²,10³
Solution et vérification
Réponse prévue: 100000. La règle prévue est «Un suivi de zéros». Ici, l’écriture ou une propriété des chiffres compte autant que la valeur numérique. Vérification : 10⁵=100000. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=10^n. 10⁵=100000
56. Compter les uns binaires
Niveau 4 · 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, ?
Propositions: 1 · 4 · 2 · 0
Premier indice
Observe les chiffres, pas seulement la valeur totale.
Deuxième indice
Une représentation, une puissance ou une propriété des chiffres peut aider. 0..7 in base 2
Solution et vérification
Réponse prévue: 1. La règle prévue est «Compter les uns binaires». Ici, l’écriture ou une propriété des chiffres compte autant que la valeur numérique. Vérification : 8₁₀=1000₂→1. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=popcount(n−1). 8₁₀=1000₂→1
57. Somme des chiffres des carrés
Niveau 4 · 1, 4, 9, 7, 7, 9, ?
Propositions: 11 · 15 · 18 · 13
Premier indice
Observe les chiffres, pas seulement la valeur totale.
Deuxième indice
Une représentation, une puissance ou une propriété des chiffres peut aider. 4²=16→7
Solution et vérification
Réponse prévue: 13. La règle prévue est «Somme des chiffres des carrés». Ici, l’écriture ou une propriété des chiffres compte autant que la valeur numérique. Vérification : 7²=49→4+9=13. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=digitSum(n²). 7²=49→4+9=13
58. Palindromes à trois chiffres
Niveau 3 · 101, 202, 303, 404, 505, ?
Propositions: 505 · 1010 · 606 · 707
Premier indice
Observe les chiffres, pas seulement la valeur totale.
Deuxième indice
Une représentation, une puissance ou une propriété des chiffres peut aider. 101,202,303
Solution et vérification
Réponse prévue: 606. La règle prévue est «Palindromes à trois chiffres». Ici, l’écriture ou une propriété des chiffres compte autant que la valeur numérique. Vérification : 101·6=606. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=101n. 101·6=606
59. Nombre et chiffres inversés
Niveau 3 · 12, 21, 13, 31, 14, 41, ?
Propositions: -12 · 15 · 68 · 42
Premier indice
Observe les chiffres, pas seulement la valeur totale.
Deuxième indice
Une représentation, une puissance ou une propriété des chiffres peut aider. 12,13,14 / 21,31,41
Solution et vérification
Réponse prévue: 15. La règle prévue est «Nombre et chiffres inversés». Ici, l’écriture ou une propriété des chiffres compte autant que la valeur numérique. Vérification : n=4→15. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(2n−1)=10+n+1; a(2n)=10(n+1)+1. n=4→15
60. Carrés lus à l’envers
Niveau 4 · 1, 4, 9, 61, 52, ?
Propositions: 63 · 43 · 72 · 54
Premier indice
Observe les chiffres, pas seulement la valeur totale.
Deuxième indice
Une représentation, une puissance ou une propriété des chiffres peut aider. 16→61;25→52
Solution et vérification
Réponse prévue: 63. La règle prévue est «Carrés lus à l’envers». Ici, l’écriture ou une propriété des chiffres compte autant que la valeur numérique. Vérification : 6²=36→63. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=rev₁₀(n²). 6²=36→63
E. Récurrences surprenantes
Un terme peut dépendre de plusieurs termes précédents : cherche une règle vérifiée à chaque étape.
61. Somme des deux précédents
Niveau 2 · 1, 1, 2, 3, 5, ?
Propositions: 7 · 10 · 6 · 8
Premier indice
Compare chaque terme aux précédents.
Deuxième indice
Essaie de construire chaque terme à partir de termes connus. 1+1=2;1+2=3
Solution et vérification
Réponse prévue: 8. La règle prévue est «Somme des deux précédents». Applique la récurrence aux termes initiaux et vérifie chaque étape suivante. Vérification : 3+5=8. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=a(n−1)+a(n−2). 3+5=8
62. Départ de Lucas
Niveau 3 · 2, 1, 3, 4, 7, ?
Propositions: 14 · 8 · 11 · 10
Premier indice
Compare chaque terme aux précédents.
Deuxième indice
Essaie de construire chaque terme à partir de termes connus. 2+1=3;1+3=4
Solution et vérification
Réponse prévue: 11. La règle prévue est «Départ de Lucas». Applique la récurrence aux termes initiaux et vérifie chaque étape suivante. Vérification : 4+7=11. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(1)=2,a(2)=1; a(n)=a(n−1)+a(n−2). 4+7=11
63. Récurrence de Pell
Niveau 3 · 0, 1, 2, 5, 12, ?
Propositions: 22 · 29 · 19 · 36
Premier indice
Compare chaque terme aux précédents.
Deuxième indice
Essaie de construire chaque terme à partir de termes connus. 2·5+2=12
Solution et vérification
Réponse prévue: 29. La règle prévue est «Récurrence de Pell». Applique la récurrence aux termes initiaux et vérifie chaque étape suivante. Vérification : 2·12+5=29. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=2a(n−1)+a(n−2). 2·12+5=29
64. Ajouter le double de l’avant-dernier
Niveau 3 · 0, 1, 1, 3, 5, ?
Propositions: 11 · 7 · 13 · 9
Premier indice
Compare chaque terme aux précédents.
Deuxième indice
Essaie de construire chaque terme à partir de termes connus. 3=1+2·1
Solution et vérification
Réponse prévue: 11. La règle prévue est «Ajouter le double de l’avant-dernier». Applique la récurrence aux termes initiaux et vérifie chaque étape suivante. Vérification : 5+2·3=11. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=a(n−1)+2a(n−2). 5+2·3=11
65. Somme des trois précédents
Niveau 3 · 0, 0, 1, 1, 2, 4, ?
Propositions: 6 · 9 · 5 · 7
Premier indice
Compare chaque terme aux précédents.
Deuxième indice
Essaie de construire chaque terme à partir de termes connus. 1=1+0+0
Solution et vérification
Réponse prévue: 7. La règle prévue est «Somme des trois précédents». Applique la récurrence aux termes initiaux et vérifie chaque étape suivante. Vérification : 4+2+1=7. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=a(n−1)+a(n−2)+a(n−3). 4+2+1=7
66. Sommer en sautant un terme
Niveau 4 · 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, ?
Propositions: 4 · 8 · 5 · 6
Premier indice
Compare chaque terme aux précédents.
Deuxième indice
Essaie de construire chaque terme à partir de termes connus. 4=2+2
Solution et vérification
Réponse prévue: 5. La règle prévue est «Sommer en sautant un terme». Applique la récurrence aux termes initiaux et vérifie chaque étape suivante. Vérification : 3+2=5. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=a(n−2)+a(n−3). 3+2=5
67. Double du dernier plus l’avant-dernier
Niveau 3 · 1, 2, 5, 12, 29, ?
Propositions: 53 · 70 · 46 · 87
Premier indice
Compare chaque terme aux précédents.
Deuxième indice
Essaie de construire chaque terme à partir de termes connus. 5=2·2+1
Solution et vérification
Réponse prévue: 70. La règle prévue est «Double du dernier plus l’avant-dernier». Applique la récurrence aux termes initiaux et vérifie chaque étape suivante. Vérification : 2·29+12=70. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=2a(n−1)+a(n−2). 2·29+12=70
68. Double et position
Niveau 3 · 1, 4, 11, 26, 57, ?
Propositions: 120 · 88 · 151 · 89
Premier indice
Compare chaque terme aux précédents.
Deuxième indice
Essaie de construire chaque terme à partir de termes connus. 4=2·1+2
Solution et vérification
Réponse prévue: 120. La règle prévue est «Double et position». Applique la récurrence aux termes initiaux et vérifie chaque étape suivante. Vérification : 2·57+6=120. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=2a(n−1)+n. 2·57+6=120
69. Deux précédents plus un
Niveau 3 · 1, 1, 3, 5, 9, ?
Propositions: 13 · 19 · 11 · 15
Premier indice
Compare chaque terme aux précédents.
Deuxième indice
Essaie de construire chaque terme à partir de termes connus. 3=1+1+1
Solution et vérification
Réponse prévue: 15. La règle prévue est «Deux précédents plus un». Applique la récurrence aux termes initiaux et vérifie chaque étape suivante. Vérification : 9+5+1=15. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=a(n−1)+a(n−2)+1. 9+5+1=15
70. Différence seconde et position
Niveau 4 · 1, 2, 6, 14, 27, ?
Propositions: 59 · 33 · 46 · 40
Premier indice
Compare chaque terme aux précédents.
Deuxième indice
Essaie de construire chaque terme à partir de termes connus. 6=2·2−1+3
Solution et vérification
Réponse prévue: 46. La règle prévue est «Différence seconde et position». Applique la récurrence aux termes initiaux et vérifie chaque étape suivante. Vérification : 2·27−14+6=46. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=2a(n−1)−a(n−2)+n. 2·27−14+6=46
71. Doubler et alterner le signe
Niveau 3 · 1, 3, 5, 11, 21, ?
Propositions: 33 · 43 · 31 · 53
Premier indice
Compare chaque terme aux précédents.
Deuxième indice
Essaie de construire chaque terme à partir de termes connus. 3=2·1+1;5=2·3−1
Solution et vérification
Réponse prévue: 43. La règle prévue est «Doubler et alterner le signe». Applique la récurrence aux termes initiaux et vérifie chaque étape suivante. Vérification : 2·21+1=43. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=2a(n−1)+(−1)^n. 2·21+1=43
72. Multiplier par la position et retirer un
Niveau 4 · 2, 3, 8, 31, 154, ?
Propositions: 923 · 277 · 1046 · 800
Premier indice
Compare chaque terme aux précédents.
Deuxième indice
Essaie de construire chaque terme à partir de termes connus. 3=2·2−1
Solution et vérification
Réponse prévue: 923. La règle prévue est «Multiplier par la position et retirer un». Applique la récurrence aux termes initiaux et vérifie chaque étape suivante. Vérification : 6·154−1=923. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=n·a(n−1)−1. 6·154−1=923
73. Étapes paires-impaires de Collatz
Niveau 4 · 7, 22, 11, 34, 17, ?
Propositions: 0 · 69 · 35 · 52
Premier indice
Compare chaque terme aux précédents.
Deuxième indice
Essaie de construire chaque terme à partir de termes connus. 7→22→11
Solution et vérification
Réponse prévue: 52. La règle prévue est «Étapes paires-impaires de Collatz». Applique la récurrence aux termes initiaux et vérifie chaque étape suivante. Vérification : 3·17+1=52. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a→a/2 (2∣a), a→3a+1 (2∤a). 3·17+1=52
74. Un plus le produit précédent
Niveau 4 · 2, 3, 7, 43, 1807, ?
Propositions: 3265207 · 3261679 · 3263443 · 3571
Premier indice
Compare chaque terme aux précédents.
Deuxième indice
Essaie de construire chaque terme à partir de termes connus. 7=3·2+1
Solution et vérification
Réponse prévue: 3263443. La règle prévue est «Un plus le produit précédent». Applique la récurrence aux termes initiaux et vérifie chaque étape suivante. Vérification : 1807·1806+1=3263443. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n+1)=a(n)·(a(n)−1)+1. 1807·1806+1=3263443
75. Étape de Josèphe
Niveau 4 · 1, 1, 3, 1, 3, 5, ?
Propositions: 10 · 7 · 9 · 5
Premier indice
Compare chaque terme aux précédents.
Deuxième indice
Essaie de construire chaque terme à partir de termes connus. J(4)=1;J(5)=3
Solution et vérification
Réponse prévue: 7. La règle prévue est «Étape de Josèphe». Applique la récurrence aux termes initiaux et vérifie chaque étape suivante. Vérification : J(7)=7. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: J(1)=1; J(n)=((J(n−1)+1) mod n)+1. J(7)=7
F. Célèbres et insolites
Ces familles ont un nom et une définition ; les reconnaître n’aide que si tous les termes conviennent.
76. Nombres de Catalan
Niveau 3 · 1, 1, 2, 5, 14, 42, ?
Propositions: 132 · 70 · 160 · 104
Premier indice
Il peut s’agir d’une famille de nombres connue.
Deuxième indice
Cherche une définition qui produise exactement chaque terme. 1,1,2,5,14,42
Solution et vérification
Réponse prévue: 132. La règle prévue est «Nombres de Catalan». La définition de la famille doit expliquer tous les termes affichés, pas seulement celui recherché. Vérification : C(6)=132. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: C(n)=(2n)!/(n!(n+1)!). C(6)=132
77. Suite de Recamán
Niveau 4 · 0, 1, 3, 6, 2, 7, ?
Propositions: 12 · 18 · 8 · 13
Premier indice
Il peut s’agir d’une famille de nombres connue.
Deuxième indice
Cherche une définition qui produise exactement chaque terme. 7−6=1
Solution et vérification
Réponse prévue: 13. La règle prévue est «Suite de Recamán». La définition de la famille doit expliquer tous les termes affichés, pas seulement celui recherché. Vérification : 7−6=1∈{0,1,3,6,2,7};7+6=13. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Recamán(n). 7−6=1∈{0,1,3,6,2,7};7+6=13
78. Parité binaire de Thue–Morse
Niveau 4 · 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ?
Propositions: 0 · 3 · 1 · 2
Premier indice
Il peut s’agir d’une famille de nombres connue.
Deuxième indice
Cherche une définition qui produise exactement chaque terme. 0..7 in binario
Solution et vérification
Réponse prévue: 1. La règle prévue est «Parité binaire de Thue–Morse». La définition de la famille doit expliquer tous les termes affichés, pas seulement celui recherché. Vérification : 8=1000₂→1. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=popcount(n) mod 2. 8=1000₂→1
79. Nombres parfaits
Niveau 4 · 6, 28, 496, 8128, ?
Propositions: 33542704 · 33550336 · 15760 · 33557968
Premier indice
Il peut s’agir d’une famille de nombres connue.
Deuxième indice
Cherche une définition qui produise exactement chaque terme. 6=1+2+3
Solution et vérification
Réponse prévue: 33550336. La règle prévue est «Nombres parfaits». La définition de la famille doit expliquer tous les termes affichés, pas seulement celui recherché. Vérification : 33550336=2¹²(2¹³−1). C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: σ(n)=2n. 33550336=2¹²(2¹³−1)
80. Triangulaires centrés
Niveau 3 · 1, 4, 10, 19, 31, 46, ?
Propositions: 64 · 61 · 79 · 49
Premier indice
Il peut s’agir d’une famille de nombres connue.
Deuxième indice
Cherche une définition qui produise exactement chaque terme. Δ=3,6,9,12,15
Solution et vérification
Réponse prévue: 64. La règle prévue est «Triangulaires centrés». La définition de la famille doit expliquer tous les termes affichés, pas seulement celui recherché. Vérification : 46+18=64. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=1+3n(n+1)/2, n≥0. 46+18=64
81. Nombres de Motzkin
Niveau 4 · 1, 1, 2, 4, 9, 21, ?
Propositions: 33 · 63 · 39 · 51
Premier indice
Il peut s’agir d’une famille de nombres connue.
Deuxième indice
Cherche une définition qui produise exactement chaque terme. 1,1,2,4,9,21
Solution et vérification
Réponse prévue: 51. La règle prévue est «Nombres de Motzkin». La définition de la famille doit expliquer tous les termes affichés, pas seulement celui recherché. Vérification : M(6)=51. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: M(0..6)=1,1,2,4,9,21,51. M(6)=51
82. Nombres de Bell
Niveau 4 · 1, 1, 2, 5, 15, 52, ?
Propositions: 240 · 166 · 203 · 89
Premier indice
Il peut s’agir d’une famille de nombres connue.
Deuxième indice
Cherche une définition qui produise exactement chaque terme. 1,1,2,5,15,52
Solution et vérification
Réponse prévue: 203. La règle prévue est «Nombres de Bell». La définition de la famille doit expliquer tous les termes affichés, pas seulement celui recherché. Vérification : B(6)=203. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: B(0..6)=1,1,2,5,15,52,203. B(6)=203
83. Partitions d’un entier
Niveau 4 · 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, ?
Propositions: 22 · 15 · 19 · 11
Premier indice
Il peut s’agir d’une famille de nombres connue.
Deuxième indice
Cherche une définition qui produise exactement chaque terme. p(5)=7; p(6)=11
Solution et vérification
Réponse prévue: 15. La règle prévue est «Partitions d’un entier». La définition de la famille doit expliquer tous les termes affichés, pas seulement celui recherché. Vérification : p(7)=15. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: p(0..7)=1,1,2,3,5,7,11,15. p(7)=15
84. Dérangements
Niveau 4 · 1, 0, 1, 2, 9, 44, ?
Propositions: 265 · 79 · 300 · 230
Premier indice
Il peut s’agir d’une famille de nombres connue.
Deuxième indice
Cherche une définition qui produise exactement chaque terme. D(4)=9;D(5)=44
Solution et vérification
Réponse prévue: 265. La règle prévue est «Dérangements». La définition de la famille doit expliquer tous les termes affichés, pas seulement celui recherché. Vérification : D(6)=5·(44+9)=265. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: D(n)=(n−1)(D(n−1)+D(n−2)). D(6)=5·(44+9)=265
85. Lire et énoncer
Niveau 4 · 1, 11, 21, 1211, 111221, ?
Propositions: 221231 · 422221 · 202201 · 312211
Premier indice
Il peut s’agir d’une famille de nombres connue.
Deuxième indice
Cherche une définition qui produise exactement chaque terme. 111221→111 22 1
Solution et vérification
Réponse prévue: 312211. La règle prévue est «Lire et énoncer». La définition de la famille doit expliquer tous les termes affichés, pas seulement celui recherché. Vérification : 111221→31 22 11→312211. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: look-and-say. 111221→31 22 11→312211
G. Pièges et alternatives
Le défi est double : trouver une règle convaincante et se rappeler que les données ne la rendent pas unique.
86. Somme ou polynôme ?
Niveau 5 · 1, 2, 3, 5, ?
Propositions: 7 · 10 · 8 · 9
Premier indice
Quelle règle choisirais-tu spontanément ?
Deuxième indice
Une règle compatible n’est pas forcément unique : compare-la à une autre. 1+2=3
Solution et vérification
Réponse prévue: 8. La règle prévue est «Somme ou polynôme ?». Une autre formule peut reproduire exactement le même début et donner une suite différente. Vérification : 3+5=8. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=a(n−1)+a(n−2). 3+5=8
Autre continuation compatible: 9. F(x) = P(x) + (0)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=1, F(2)=2, F(3)=3, F(4)=5, F(5)=9.
87. Quarante-deux convient aussi
Niveau 5 · 2, 4, 6, 8, ?
Propositions: 8 · 10 · 42 · 12
Premier indice
Quelle règle choisirais-tu spontanément ?
Deuxième indice
Une règle compatible n’est pas forcément unique : compare-la à une autre. Δ=2
Solution et vérification
Réponse prévue: 10. La règle prévue est «Quarante-deux convient aussi». Une autre formule peut reproduire exactement le même début et donner une suite différente. Vérification : 2·5=10. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=2n. 2·5=10
Autre continuation compatible: 42. F(x) = P(x) + (4/3)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=2, F(2)=4, F(3)=6, F(4)=8, F(5)=42.
88. Un carré non obligatoire
Niveau 5 · 1, 4, 9, 16, ?
Propositions: 25 · 26 · 23 · 32
Premier indice
Quelle règle choisirais-tu spontanément ?
Deuxième indice
Une règle compatible n’est pas forcément unique : compare-la à une autre. 1²,2²,3²,4²
Solution et vérification
Réponse prévue: 25. La règle prévue est «Un carré non obligatoire». Une autre formule peut reproduire exactement le même début et donner une suite différente. Vérification : 5²=25. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=n². 5²=25
Autre continuation compatible: 26. F(x) = P(x) + (1/24)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=1, F(2)=4, F(3)=9, F(4)=16, F(5)=26.
89. Premiers, pas forcément
Niveau 5 · 2, 3, 5, 7, ?
Propositions: 12 · 9 · 13 · 11
Premier indice
Quelle règle choisirais-tu spontanément ?
Deuxième indice
Une règle compatible n’est pas forcément unique : compare-la à une autre. 2,3,5,7
Solution et vérification
Réponse prévue: 11. La règle prévue est «Premiers, pas forcément». Une autre formule peut reproduire exactement le même début et donner une suite différente. Vérification : 11∈ℙ. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=prime(n). 11∈ℙ
Autre continuation compatible: 12. F(x) = P(x) + (1/6)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=2, F(2)=3, F(3)=5, F(4)=7, F(5)=12.
90. Fibonacci ou une autre loi ?
Niveau 5 · 1, 1, 2, 3, ?
Propositions: 4 · 7 · 5 · 6
Premier indice
Quelle règle choisirais-tu spontanément ?
Deuxième indice
Une règle compatible n’est pas forcément unique : compare-la à une autre. 1+1=2
Solution et vérification
Réponse prévue: 5. La règle prévue est «Fibonacci ou une autre loi ?». Une autre formule peut reproduire exactement le même début et donner une suite différente. Vérification : 2+3=5. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=a(n−1)+a(n−2). 2+3=5
Autre continuation compatible: 6. F(x) = P(x) + (1/8)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=1, F(2)=1, F(3)=2, F(4)=3, F(5)=6.
91. Le double n’est pas imposé
Niveau 5 · 1, 2, 4, 8, ?
Propositions: 20 · 16 · 15 · 12
Premier indice
Quelle règle choisirais-tu spontanément ?
Deuxième indice
Une règle compatible n’est pas forcément unique : compare-la à une autre. ×2
Solution et vérification
Réponse prévue: 16. La règle prévue est «Le double n’est pas imposé». Une autre formule peut reproduire exactement le même début et donner une suite différente. Vérification : 2·8=16. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=2^(n−1). 2·8=16
Autre continuation compatible: 15. F(x) = P(x) + (0)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=1, F(2)=2, F(3)=4, F(4)=8, F(5)=15.
92. Une période n’est pas une preuve
Niveau 5 · 0, 1, 0, 1, ?
Propositions: 0 · 2 · 1 · -1
Premier indice
Quelle règle choisirais-tu spontanément ?
Deuxième indice
Une règle compatible n’est pas forcément unique : compare-la à une autre. 0,1 / 0,1
Solution et vérification
Réponse prévue: 0. La règle prévue est «Une période n’est pas une preuve». Une autre formule peut reproduire exactement le même début et donner une suite différente. Vérification : a(5)=0. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n+2)=a(n). a(5)=0
Autre continuation compatible: 2. F(x) = P(x) + (-1/4)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=0, F(2)=1, F(3)=0, F(4)=1, F(5)=2.
93. Une autre période ambiguë
Niveau 5 · 1, 2, 1, 2, ?
Propositions: 3 · 2 · 0 · 1
Premier indice
Quelle règle choisirais-tu spontanément ?
Deuxième indice
Une règle compatible n’est pas forcément unique : compare-la à une autre. 1,2 / 1,2
Solution et vérification
Réponse prévue: 1. La règle prévue est «Une autre période ambiguë». Une autre formule peut reproduire exactement le même début et donner une suite différente. Vérification : a(5)=1. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n+2)=a(n). a(5)=1
Autre continuation compatible: 3. F(x) = P(x) + (-1/4)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=1, F(2)=2, F(3)=1, F(4)=2, F(5)=3.
94. Décrire ou interpoler
Niveau 5 · 1, 11, 21, 1211, ?
Propositions: 2401 · 112411 · 111221 · 111222
Premier indice
Quelle règle choisirais-tu spontanément ?
Deuxième indice
Une règle compatible n’est pas forcément unique : compare-la à une autre. 21→1211
Solution et vérification
Réponse prévue: 111221. La règle prévue est «Décrire ou interpoler». Une autre formule peut reproduire exactement le même début et donner une suite différente. Vérification : 1211→11 12 21→111221. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: look-and-say. 1211→11 12 21→111221
Autre continuation compatible: 111222. F(x) = P(x) + (35487/8)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=1, F(2)=11, F(3)=21, F(4)=1211, F(5)=111222.
95. La parité n’est pas la seule histoire
Niveau 5 · 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, ?
Propositions: -1 · 0 · 2 · 1
Premier indice
Quelle règle choisirais-tu spontanément ?
Deuxième indice
Une règle compatible n’est pas forcément unique : compare-la à une autre. popcount(9)=2
Solution et vérification
Réponse prévue: 0. La règle prévue est «La parité n’est pas la seule histoire». Une autre formule peut reproduire exactement le même début et donner une suite différente. Vérification : 9=1001₂→0. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Thue–Morse. 9=1001₂→0
Autre continuation compatible: 2. F(x) = P(x) + (-31/90720)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)(x−7)(x−8)(x−9); F(1)=0, F(2)=1, F(3)=1, F(4)=0, F(5)=1, F(6)=0, F(7)=0, F(8)=1, F(9)=1, F(10)=2.
96. Catalan et autres suites
Niveau 5 · 1, 1, 2, 5, 14, ?
Propositions: 42 · 43 · 23 · 51
Premier indice
Quelle règle choisirais-tu spontanément ?
Deuxième indice
Une règle compatible n’est pas forcément unique : compare-la à une autre. C(4)=14
Solution et vérification
Réponse prévue: 42. La règle prévue est «Catalan et autres suites». Une autre formule peut reproduire exactement le même début et donner une suite différente. Vérification : 1,1,2,5,14→42. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: C(5)=42. 1,1,2,5,14→42
Autre continuation compatible: 43. F(x) = P(x) + (7/120)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5); F(1)=1, F(2)=1, F(3)=2, F(4)=5, F(5)=14, F(6)=43.
97. Recamán sans unicité
Niveau 5 · 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, ?
Propositions: 21 · 19 · 26 · 20
Premier indice
Quelle règle choisirais-tu spontanément ?
Deuxième indice
Une règle compatible n’est pas forcément unique : compare-la à une autre. 13−7=6
Solution et vérification
Réponse prévue: 20. La règle prévue est «Recamán sans unicité». Une autre formule peut reproduire exactement le même début et donner une suite différente. Vérification : 13−7=6∈{0,1,3,6,2,7,13};13+7=20. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: Recamán(n). 13−7=6∈{0,1,3,6,2,7,13};13+7=20
Autre continuation compatible: 21. F(x) = P(x) + (23/720)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)(x−7); F(1)=0, F(2)=1, F(3)=3, F(4)=6, F(5)=2, F(6)=7, F(7)=13, F(8)=21.
98. Parfaits ou construits ?
Niveau 5 · 6, 28, 496, ?
Propositions: 964 · 8596 · 8128 · 8129
Premier indice
Quelle règle choisirais-tu spontanément ?
Deuxième indice
Une règle compatible n’est pas forcément unique : compare-la à une autre. 6=1+2+3
Solution et vérification
Réponse prévue: 8128. La règle prévue est «Parfaits ou construits ?». Une autre formule peut reproduire exactement le même début et donner une suite différente. Vérification : 8128=2⁶(2⁷−1). C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: σ(n)=2n. 8128=2⁶(2⁷−1)
Autre continuation compatible: 8129. F(x) = P(x) + (6719/6)·(x−1)(x−2)(x−3); F(1)=6, F(2)=28, F(3)=496, F(4)=8129.
99. Quatre zéros ne fixent pas le cinquième
Niveau 5 · 0, 0, 0, 0, ?
Propositions: -1 · 0 · 24 · 1
Premier indice
Quelle règle choisirais-tu spontanément ?
Deuxième indice
Une règle compatible n’est pas forcément unique : compare-la à une autre. 0,0,0,0
Solution et vérification
Réponse prévue: 0. La règle prévue est «Quatre zéros ne fixent pas le cinquième». Une autre formule peut reproduire exactement le même début et donner une suite différente. Vérification : a(5)=0. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=0. a(5)=0
Autre continuation compatible: 24. F(x) = P(x) + (1)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4); F(1)=0, F(2)=0, F(3)=0, F(4)=0, F(5)=24.
100. La suite n’est pas imposée
Niveau 5 · 1, 2, 3, 4, 5, ?
Propositions: 6 · 1000 · 7 · 5
Premier indice
Quelle règle choisirais-tu spontanément ?
Deuxième indice
Une règle compatible n’est pas forcément unique : compare-la à une autre. Δ=1
Solution et vérification
Réponse prévue: 6. La règle prévue est «La suite n’est pas imposée». Une autre formule peut reproduire exactement le même début et donner une suite différente. Vérification : a(6)=6. C’est une continuation compatible, pas forcément la seule.
Formule ou propriété: a(n)=n. a(6)=6
Autre continuation compatible: 1000. F(x) = P(x) + (497/60)·(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5); F(1)=1, F(2)=2, F(3)=3, F(4)=4, F(5)=5, F(6)=1000.
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Ouvrir le laboratoire interactif · Pourquoi quatre nombres ne déterminent pas le cinquième