Integrales dobles y triples: dominios, orden y coordenadas

Una integral de una variable suma contribuciones sobre un intervalo. Una doble suma sobre región plana; una triple sobre un sólido. Lo esencial no es añadir signos de integral, sino entender qué se suma, sobre qué conjunto y con qué elemento de área o volumen. Etapa 23 completa el bloque multivariable previsto, no todo el Análisis.

Integrales dobles y triples: laboratorio · Índice del recorrido

1. ¿Qué mide una integral múltiple?

Si f≥0 es altura sobre región plana D, ∬D f dA es volumen bajo gráfica y sobre D. Si f=1 obtenemos área de D. Si f es densidad superficial de masa, resultado es masa. Función y unidades, no solo símbolo, determinan significado.

Area(D)=∬D 1 dA
Vol(E)=∭E 1 dV
M=∬D σ(x,y) dA; M=∭E δ(x,y,z) dV

Una triple suma cantidades distribuidas en espacio: densidad volumétrica por volumen elemental, por ejemplo kg/m³ por m³. Una doble no es automáticamente área ni una triple masa. Explicar integrando antes de calcular.

Explorar

2. Sumas pequeñas, límite y teorema de Fubini

Dividir D en celdas pequeñas, elegir punto en cada una y sumar f por área de celda. Con funciones y regiones suficientemente regulares, límite al refinar partición es integral doble. No necesitan ser cuadrados: importa área real.

S=Σ f(xᵢ*,yⱼ*) ΔAᵢⱼ
∬[a,b]×[c,d] f dA = ∫ₐᵇ [∫𝚌ᵈ f(x,y) dy] dx

Si f continua en rectángulo cerrado, Fubini permite ambos órdenes iterados. Más generalmente basta integrabilidad absoluta; para funciones no negativas Tonelli permite intercambio incluso con valor infinito. No intercambiar sin control integrales impropias con signos o singularidades: sin hipótesis pueden diferir resultados.

Explorar

3. Primer ejemplo: rectángulo

Calcular ∬D(x+2y)dA en D=[0,L]×[0,L], L>0. En integral interior otra variable es constante. dy dx significa primero y, luego x. Mantener L simbólico y sustituir número al final.

∫₀ᴸ [∫₀ᴸ (x+2y) dy] dx
=∫₀ᴸ [xy+y²]ᵧ₌₀ᵧ₌ᴸ dx
=∫₀ᴸ (Lx+L²) dx
=L³/2+L³=3L³/2

Con L=2 resultado 12. Invertir da ∫₀ᴸ(x+2y)dx=L²/2+2Ly y luego otra vez 12. No es coincidencia numérica: lo garantiza Fubini. Compara órdenes en laboratorio.

Explorar

4. Dominios simples: leer región

Dominio simple en x: a≤x≤b, α(x)≤y≤β(x); cada franja vertical corta un intervalo de D. En dy dx límites interiores pueden depender de x; exteriores son a,b. Si hay varios intervalos, separarlos o dividir dominio.

D={a≤x≤b, α(x)≤y≤β(x)}
∬D f dA=∫ₐᵇ ∫[α(x),β(x)] f(x,y) dy dx
D△={x≥0,y≥0,x+y≤L}
∫₀ᴸ ∫₀ᴸ⁻ˣ (x+2y) dy dx = ∫₀ᴸ L(L−x) dx=L³/2

Área del triángulo L²/2, integral de x+2y L³/2: cantidades diferentes. Para L=2: 2 y 4 respectivamente. Dibujar vértices (0,0),(L,0),(0,L) y deducir límites de x+y=L.

Explorar

5. Invertir orden no es intercambiar dos letras

Mismo triángulo, franjas horizontales: 0≤y≤L y 0≤x≤L−y. Cambian límites y diferenciales, no puntos ni función. Valor exacto igual; aproximaciones con distintas rejillas pueden tener errores diferentes.

∫₀ᴸ ∫₀ᴸ⁻ʸ (x+2y) dx dy
=∫₀ᴸ [(L−y)²/2+2y(L−y)] dy=L³/2

Cambiar orden puede simplificar integral difícil. Para I=∫₀¹∫ₓ¹ exp(y²)dy dx no buscar primitiva elemental de exp(y²). Dominio 0≤x≤y≤1: primero x de 0 a y, después y de 0 a 1.

I=∫₀¹ ∫₀ʸ exp(y²) dx dy
=∫₀¹ y exp(y²) dy=(e−1)/2

Explorar

6. Coordenadas polares: por qué aparece r

Sector pequeño a radio r tiene lados aproximados Δr y rΔθ. Área rΔrΔθ, no ΔrΔθ. Determinante de x=r cosθ,y=r sinθ da mismo factor. θ en radianes.

J=det[ cosθ −r sinθ ; sinθ r cosθ ]=r
dA=|J| dr dθ=r dr dθ
∬x²+y²≤L² (L²−x²−y²)dA
=∫₀ᴸ∫₀²π (L²−r²)r dθ dr
=2π[L²r²/2−r⁴/4]₀ᴸ=πL⁴/2

Para corona L/2≤r≤L,0≤θ≤2π, integrar 1 da ∫ᴸ/₂ᴸ2πr dr=3πL²/4. No olvidar agujero. Sectores o discos trasladados requieren límites adecuados y quizá cambiar centro.

Explorar

7. Integral con signo y volumen geométrico

Tomemos f=x en D=[−L,L]×[0,L]. Contribuciones negativas cancelan positivas: integral 0. No implica superficie plana ni volumen cero entre gráfica y z=0. Ese volumen geométrico necesita |f|.

∬D x dA=0
∬D |x| dA=L∫₋ᴸᴸ|x|dx=L³
V=∬D |f₂−f₁| dA

Si f₂≥f₁ en todo D, integrar f₂−f₁ sin valor absoluto. Si cambian orden, dividir D por intersección. Laboratorio usa colores diferentes sobre y bajo z=0 y muestra sumas con signo y absoluta.

Explorar

8. Valor medio, masa y centro de masa

En región de área positiva, media de f es integral dividida por área, no generalmente media de pocas mediciones. En triángulo anterior (L³/2)/(L²/2)=L. Centro geométrico (L/3,L/3) también da f=L por ser lineal.

f̄=(1/Area(D))∬D f dA
M=∬D σ dA>0
x̄=(1/M)∬D xσ dA, ȳ=(1/M)∬D yσ dA

Densidad de masa ordinaria σ no negativa. Si constante se cancela en coordenadas del centro; si variable no. En tres dimensiones añadir z̄=(1/M)∭E zδ dV. Simetrías de dominio y densidad pueden anular momentos; solo dominio simétrico no basta.

Explorar

9. Integrales triples: caja con densidad variable

Integral triple usa elementos ΔV. En E=[0,L]³ con densidad matemática δ=1+z, integrar primero z con x,y constantes. Coordenadas adimensionales aquí; modelo físico requiere coeficientes de unidades coherentes.

M=∫₀ᴸ∫₀ᴸ∫₀ᴸ(1+z) dz dy dx
=∫₀ᴸ∫₀ᴸ(L+L²/2) dy dx
=L³+L⁴/2
Vol(E)=L³, δ̄=M/Vol(E)=1+L/2

Con L=2 volumen 8 y masa matemática 16: significados distintos. Densidad constante 1 daría igualdad numérica; ejemplo separa conceptos. Fubini permite otros órdenes por continuidad en cubo.

Explorar

10. Sólido no rectangular: tetraedro

Sea E={x,y,z≥0,x+y+z≤L}. Fijados x,y, z va de 0 a L−x−y. Proyección xy es triángulo x≥0,y≥0,x+y≤L. Elegido x entre 0 y L, y no supera L−x.

Vol(E)=∫₀ᴸ∫₀ᴸ⁻ˣ∫₀ᴸ⁻ˣ⁻ʸ 1 dz dy dx
=∫₀ᴸ∫₀ᴸ⁻ˣ(L−x−y) dy dx
=∫₀ᴸ (L−x)²/2 dx=L³/6

Sección x=t es triángulo rectángulo de catetos L−t y área (L−t)²/2. Integrar área en x da volumen, conexión con Cavalieri. Para L=3: 27/6=4,5. Tres intervalos independientes [0,L] describen cubo, no tetraedro.

Explorar

11. Coordenadas cilíndricas: polares más altura

Con simetría alrededor de z usar x=r cosθ,y=r sinθ y conservar z. Elemento r dr dθ dz: sector de base por altura. Factor r no desaparece en tres dimensiones.

E={x²+y²≤L², 0≤z≤L}
∭E z dV=∫₀ᴸ∫₀²π∫₀ᴸ z r dz dθ dr
=∫₀ᴸ∫₀²π (L²/2)r dθ dr=πL⁴/2
Vol(E)=πL³

Para L=2 integral y volumen valen 8π por ser media z igual a 1. En general media L/2 y cantidades diferentes. Si techo z=L²−r², límite superior z dependería de r; z≤L ya no describiría sólido.

Explorar

12. Coordenadas esféricas: declarar ángulos

Usar ρ≥0 distancia al origen, θ azimut en xy y φ ángulo desde z positivo. Esfera completa: 0≤θ≤2π,0≤φ≤π. Algunos textos intercambian nombres: comprobar convención antes de memorizar seno.

x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ sinθ, z=ρ cosφ
dV=ρ² sinφ dρ dφ dθ
Vol(BL)=∫₀ᴸ∫₀π∫₀²π ρ² sinφ dθ dφ dρ
=(L³/3)·2·2π=4πL³/3

ρ² sinφ mide variación de volúmenes: dos longitudes crecen con radio y longitudes se acercan en polos. Hemisferio superior: 0≤φ≤π/2; capa: cambiar intervalo ρ. Nunca modificar Jacobiano para forzar resultado esperado.

Explorar

13. Cambios de variables y Jacobiano absoluto

Para transformación C¹ invertible entre interiores, con determinante no nulo y regularidad adecuada, área local escala por |det DT|. Transformar función, dominio y medida juntos. Polares y esféricas degeneran en ejes y origen: excepciones usuales de medida nula no cambian integral, pero no justifican transformaciones arbitrarias.

∬D f(x,y)dxdy=∬U f(x(u,v),y(u,v)) |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv
x=au, y=bv, a,b>0 → |J|=ab
x²/a²+y²/b²≤1 → u²+v²≤1
Area=ab∬u²+v²≤1 1 dudv=πab

Valor absoluto evita área negativa al invertir orientación. No ignorar multiplicidad si transformación cubre región varias veces. En tres dimensiones usar determinante 3×3. Error típico: transformar f dejando dxdy o dxdydz sin cambiar.

Explorar

14. Método práctico y laboratorio

Definir cantidad, dibujar dominio o proyección, elegir coordenadas y orden, escribir límites de dentro afuera, insertar Jacobiano, integrar y comprobar signo, unidades, escala y simetrías. Área escala L², volumen L³; integrando dependiente de L puede cambiar potencia final.

Nueve casos guiados, no solucionador simbólico general. Elegir L y n subdivisiones por coordenada: n² celdas en doble, n³ en triple. Puntos medios en u,v,w normalizados entre 0 y 1; Jacobiano numérico incluye escalas de intervalos. Contribución f(T(u*,v*,w*))|J|/nᵈ, d=2 o 3.

Iniciar añade franja o capa por segundo. Total parcial y gráfica exterior muestran acumulado y resto. Comparar valor exacto, suma y error al crecer n. Gráfica con rejilla reducida declarada; cálculo usa todas nᵈ celdas. Error medido frente a fórmula exacta, no cota rigurosa para funciones arbitrarias.

Explorar

Ejercicios: intenta antes de revelar

1. Integra x+2y en [0,2]×[0,2].

2. Área triángulo x,y≥0, x+y≤3.

3. Integra x+2y en mismo triángulo en ambos órdenes.

4. Calcula ∫₀¹∫ₓ¹ exp(y²) dy dx invirtiendo orden.

5. Volumen bajo 4−x²−y² en disco radio 2.

6. Área corona 1≤r≤2: ¿dónde se necesita Jacobiano?

7. f=x en [−2,2]×[0,2]: integral y volumen.

8. Media de x+2y en triángulo tamaño L.

9. Masa cubo [0,2]³ con densidad 1+z.

10. Volumen de x,y,z≥0,x+y+z≤3.

11. Volumen bola radio 3 en esféricas.

12. Área elipse x²/9+y²/4≤1.

Antes: extremos libres y restringidos · Índice del recorrido

Para profundizar

• OpenStax · Double integrals over general regions
• OpenStax · Cylindrical and spherical coordinates
• OpenStax · Changes of variables and Jacobians