Une intégrale à une variable additionne des contributions sur un intervalle. Une intégrale double somme sur une région plane ; une triple sur un solide. L’essentiel n’est pas d’ajouter des symboles, mais de comprendre ce qu’on somme, sur quel ensemble et avec quel élément d’aire ou de volume. L’étape 23 termine le bloc multivariable prévu, pas toute l’Analyse.
Intégrales doubles et triples : laboratoire · Index du parcours
1. Que mesure une intégrale multiple ?
Si f≥0 est une hauteur au-dessus d’une région plane D, ∬D f dA donne le volume sous le graphe et au-dessus de D. Si f=1, on obtient l’aire de D. Si f est une densité surfacique de masse, le résultat est une masse. Fonction et unités, non le symbole seul, fixent le sens.
Area(D)=∬D 1 dA
Vol(E)=∭E 1 dV
M=∬D σ(x,y) dA; M=∭E δ(x,y,z) dV
Une intégrale triple somme des quantités distribuées dans l’espace : densité volumique multipliée par volume élémentaire, par exemple kg/m³ fois m³. Une double n’est pas automatiquement une aire, ni une triple une masse. Préciser le sens de l’intégrande avant de calculer.
2. Petites sommes, limite et théorème de Fubini
Partager D en petites cellules, choisir un point dans chacune et sommer f en ce point multipliée par l’aire de la cellule. Pour fonctions et régions suffisamment régulières, la limite du raffinement est l’intégrale double. Les cellules ne doivent pas être carrées : leur aire réelle importe.
S=Σ f(xᵢ*,yⱼ*) ΔAᵢⱼ
∬[a,b]×[c,d] f dA = ∫ₐᵇ [∫𝚌ᵈ f(x,y) dy] dx
Pour f continue sur un rectangle fermé, Fubini permet les deux ordres d’intégration itérée. Plus généralement l’intégrabilité absolue suffit ; pour f non négative Tonelli permet l’échange même avec valeur infinie. Ne pas échanger sans contrôle des intégrales impropres signées ou singulières : sans hypothèses les résultats peuvent différer.
3. Premier exemple : un rectangle
Calculer ∬D(x+2y)dA sur D=[0,L]×[0,L], L>0. Dans l’intégrale intérieure l’autre variable est constante. dy dx signifie d’abord y puis x. Garder L symbolique et remplacer par un nombre à la fin.
∫₀ᴸ [∫₀ᴸ (x+2y) dy] dx
=∫₀ᴸ [xy+y²]ᵧ₌₀ᵧ₌ᴸ dx
=∫₀ᴸ (Lx+L²) dx
=L³/2+L³=3L³/2
Pour L=2 résultat 12. L’ordre inverse donne ∫₀ᴸ(x+2y)dx=L²/2+2Ly puis encore 12. Ce n’est pas une coïncidence numérique : Fubini le garantit. Comparer les ordres au laboratoire.
4. Domaines simples : lire une région
Un domaine simple en x s’écrit a≤x≤b et α(x)≤y≤β(x) : chaque tranche verticale rencontre un intervalle de D. En dy dx les bornes intérieures peuvent dépendre de x ; les extérieures sont a,b. Si plusieurs intervalles apparaissent, les séparer ou découper le domaine.
D={a≤x≤b, α(x)≤y≤β(x)}
∬D f dA=∫ₐᵇ ∫[α(x),β(x)] f(x,y) dy dx
D△={x≥0,y≥0,x+y≤L}
∫₀ᴸ ∫₀ᴸ⁻ˣ (x+2y) dy dx = ∫₀ᴸ L(L−x) dx=L³/2
L’aire du triangle est L²/2, mais l’intégrale de x+2y vaut L³/2. Pour L=2 : 2 et 4 respectivement. Dessiner (0,0),(L,0),(0,L), puis déduire les bornes de x+y=L.
5. Changer d’ordre ne consiste pas à échanger deux lettres
Sur le même triangle, tranches horizontales : 0≤y≤L et 0≤x≤L−y. Bornes et différentielles changent, pas les points du domaine ni la fonction. Valeur exacte identique ; approximations sur grilles différentes peuvent avoir des erreurs différentes.
∫₀ᴸ ∫₀ᴸ⁻ʸ (x+2y) dx dy
=∫₀ᴸ [(L−y)²/2+2y(L−y)] dy=L³/2
Changer d’ordre peut simplifier radicalement un calcul. Pour I=∫₀¹∫ₓ¹ exp(y²)dy dx, ne pas chercher de primitive élémentaire de exp(y²). Domaine 0≤x≤y≤1 : d’abord x de 0 à y puis y de 0 à 1.
I=∫₀¹ ∫₀ʸ exp(y²) dx dy
=∫₀¹ y exp(y²) dy=(e−1)/2
6. Coordonnées polaires : pourquoi r apparaît
Un petit secteur à distance r a côtés approximatifs Δr et rΔθ. Aire environ rΔrΔθ, non ΔrΔθ. Le déterminant de x=r cosθ,y=r sinθ fournit le même facteur. θ est en radians.
J=det[ cosθ −r sinθ ; sinθ r cosθ ]=r
dA=|J| dr dθ=r dr dθ
∬x²+y²≤L² (L²−x²−y²)dA
=∫₀ᴸ∫₀²π (L²−r²)r dθ dr
=2π[L²r²/2−r⁴/4]₀ᴸ=πL⁴/2
Pour la couronne L/2≤r≤L,0≤θ≤2π, intégrer 1 donne ∫ᴸ/₂ᴸ2πr dr=3πL²/4. Ne pas oublier le trou. Secteurs et disques translatés exigent des bornes adaptées et éventuellement un centre décalé.
7. Intégrale signée et volume géométrique
Prenons f=x sur D=[−L,L]×[0,L]. Les contributions négatives compensent les positives : intégrale 0. Ni surface plate ni volume nul entre graphe et z=0. Pour ce volume géométrique il faut |f|.
∬D x dA=0
∬D |x| dA=L∫₋ᴸᴸ|x|dx=L³
V=∬D |f₂−f₁| dA
Si f₂≥f₁ partout sur D, intégrer simplement f₂−f₁. Si les surfaces changent d’ordre, découper D suivant leur intersection. Couleurs différentes au-dessus et au-dessous de z=0 au laboratoire, avec sommes signée et absolue.
8. Valeur moyenne, masse et centre de masse
Sur une région d’aire positive, la moyenne de f est son intégrale divisée par l’aire, non en général la moyenne de quelques mesures. Sur le triangle précédent, (L³/2)/(L²/2)=L. Le centre géométrique (L/3,L/3) donne aussi f=L car f est linéaire.
f̄=(1/Area(D))∬D f dA
M=∬D σ dA>0
x̄=(1/M)∬D xσ dA, ȳ=(1/M)∬D yσ dA
Une densité de masse ordinaire σ est non négative. Si elle est constante le facteur se simplifie dans les coordonnées du centre ; sinon non. En trois dimensions ajouter z̄=(1/M)∭E zδ dV. Des symétries conjointes du domaine et de la densité peuvent annuler des moments ; le domaine seul ne suffit pas.
9. Intégrales triples : un pavé à densité variable
Une intégrale triple utilise des éléments ΔV. Sur E=[0,L]³ avec densité mathématique δ=1+z, commencer par z en gardant x,y constants. Coordonnées ici sans dimension ; un modèle physique exige des coefficients d’unités cohérentes.
M=∫₀ᴸ∫₀ᴸ∫₀ᴸ(1+z) dz dy dx
=∫₀ᴸ∫₀ᴸ(L+L²/2) dy dx
=L³+L⁴/2
Vol(E)=L³, δ̄=M/Vol(E)=1+L/2
Pour L=2 volume 8 et masse mathématique 16 : sens différents. Densité constante 1 aurait donné égalité numérique ; cet exemple sépare les concepts. Fubini autorise d’autres ordres car l’intégrande est continue sur le cube.
10. Un solide non rectangulaire : le tétraèdre
Soit E={x,y,z≥0,x+y+z≤L}. Pour x,y fixés, z varie de 0 à L−x−y. Projection xy : triangle x≥0,y≥0,x+y≤L. Après x entre 0 et L, y ne dépasse pas L−x.
Vol(E)=∫₀ᴸ∫₀ᴸ⁻ˣ∫₀ᴸ⁻ˣ⁻ʸ 1 dz dy dx
=∫₀ᴸ∫₀ᴸ⁻ˣ(L−x−y) dy dx
=∫₀ᴸ (L−x)²/2 dx=L³/6
La section x=t est un triangle rectangle de côtés L−t, aire (L−t)²/2. Intégrer cette aire en x donne le volume, lien avec Cavalieri. Pour L=3 : 27/6=4,5. Trois intervalles indépendants [0,L] décriraient le cube, non le tétraèdre.
11. Coordonnées cylindriques : polaires plus hauteur
En symétrie autour de z, utiliser x=r cosθ,y=r sinθ et garder z. Élément de volume r dr dθ dz : chaque petit secteur de base est multiplié par une hauteur. Le facteur r subsiste en trois dimensions.
E={x²+y²≤L², 0≤z≤L}
∭E z dV=∫₀ᴸ∫₀²π∫₀ᴸ z r dz dθ dr
=∫₀ᴸ∫₀²π (L²/2)r dθ dr=πL⁴/2
Vol(E)=πL³
Pour L=2 intégrale et volume valent 8π car la moyenne de z vaut alors 1. En général cette moyenne est L/2 et les quantités diffèrent. Avec toit z=L²−r², la borne supérieure de z dépendrait de r ; z≤L ne décrirait plus le solide.
12. Coordonnées sphériques : préciser les angles
Choisissons ρ≥0 distance à l’origine, θ azimut dans xy et φ angle depuis z positif. Sphère entière : 0≤θ≤2π,0≤φ≤π. Certains livres échangent les noms : vérifier la convention avant de mémoriser le sinus.
x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ sinθ, z=ρ cosφ
dV=ρ² sinφ dρ dφ dθ
Vol(BL)=∫₀ᴸ∫₀π∫₀²π ρ² sinφ dθ dφ dρ
=(L³/3)·2·2π=4πL³/3
ρ² sinφ mesure la variation des volumes : deux longueurs croissent avec le rayon et les longitudes se rapprochent près des pôles. Hémisphère supérieur : 0≤φ≤π/2 ; couche : modifier l’intervalle de ρ. Ne jamais modifier le jacobien pour forcer un résultat.
13. Changements de variables et jacobien absolu
Pour une transformation C¹ inversible entre intérieurs des domaines, de déterminant non nul et sous régularité adaptée, l’aire locale est multipliée par |det DT|. Transformer fonction, domaine et mesure ensemble. Polaires et sphériques dégénèrent sur axes et origine : ces exceptions usuelles de mesure nulle ne modifient pas l’intégrale, sans autoriser des transformations arbitraires.
∬D f(x,y)dxdy=∬U f(x(u,v),y(u,v)) |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv
x=au, y=bv, a,b>0 → |J|=ab
x²/a²+y²/b²≤1 → u²+v²≤1
Area=ab∬u²+v²≤1 1 dudv=πab
La valeur absolue empêche une inversion d’orientation de rendre l’aire négative. Une couverture multiple ne peut être ignorée. En trois dimensions utiliser un déterminant 3×3. Erreur fréquente : transformer f sans changer dxdy ou dxdydz.
14. Démarche pratique et laboratoire
Définir la grandeur, dessiner domaine ou projection, choisir coordonnées et ordre, écrire les bornes de l’intérieur à l’extérieur, insérer le jacobien, intégrer puis vérifier signe, unités, échelle et symétries. Aire en L², volume en L³ ; un intégrande dépendant de L peut changer la puissance finale.
Neuf cas guidés, non un solveur symbolique général. Choisir L et n subdivisions par coordonnée : n² cellules en double, n³ en triple. Points milieux en u,v,w normalisés entre 0 et 1 ; jacobien numérique incluant les changements d’échelle des intervalles. Contribution f(T(u*,v*,w*))|J|/nᵈ, d=2 ou 3.
Lancer pour ajouter une tranche ou couche par seconde. Total partiel et graphique extérieur montrent accumulation et reste. Comparer valeur exacte, somme et erreur pour n croissants. Grille graphique réduite annoncée, calcul sur toutes les nᵈ cellules. Erreur mesurée par rapport à la formule exacte, pas borne rigoureuse pour fonctions arbitraires.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Intégrer x+2y sur [0,2]×[0,2].
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Avec L=2, 3L³/2=12. D’abord ∫₀²(x+2y)dy=2x+4 puis ∫₀²(2x+4)dx=12. Aire du domaine : 4.
2. Aire du triangle x,y≥0, x+y≤3.
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Intégrer 1, pas x+2y : ∫₀³∫₀³⁻ˣ1 dy dx=∫₀³(3−x)dx=9/2, soit base×hauteur/2.
3. Intégrer x+2y sur ce triangle dans les deux ordres.
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dy dx : ∫₀³3(3−x)dx=27/2. dx dy : ∫₀³[(3−y)²/2+2y(3−y)]dy=27/2. Borne intérieure devenue 3−y.
4. Calculer ∫₀¹∫ₓ¹ exp(y²) dy dx en changeant l’ordre.
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Domaine 0≤x≤y≤1, donc ∫₀¹∫₀ʸ exp(y²)dxdy=∫₀¹y exp(y²)dy. Avec t=y²,dt=2y dy : (e−1)/2.
5. Volume sous 4−x²−y² sur disque de rayon 2.
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Polaires : 2π∫₀²(4−r²)rdr=8π. Formule πL⁴/2 avec L=2 confirme 8π. Aire de base 4π.
6. Aire de couronne 1≤r≤2 : où intervient le jacobien ?
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∫₁²∫₀²πr dθdr=π(4−1)=3π. Sans r on trouverait 2π, faux. Intégrande physique 1, transformée r.
7. f=x sur [−2,2]×[0,2] : intégrale et volume.
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Intégrale 0 par imparité en x. Volume entre graphe et z=0 : ∫∫|x|dA=L³=8. Pas de compensation géométrique.
8. Moyenne de x+2y sur triangle de taille L.
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Diviser intégrale par aire : (L³/2)/(L²/2)=L. Pour L=2 moyenne 2, intégrale 4. Normalisation par mesure indispensable.
9. Masse du cube [0,2]³ de densité 1+z.
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M=L³+L⁴/2=8+8=16. Volume 8, densité moyenne 16/8=2. Intégrer 1+z, ne pas remplacer par 1.
10. Volume de x,y,z≥0,x+y+z≤3.
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Intégrer 1 : z de 0 à 3−x−y, y de 0 à 3−x, x de 0 à 3. Résultat L³/6=27/6=4,5. Section à x : (3−x)²/2.
11. Volume de boule de rayon 3 en sphériques.
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φ depuis z : ∫₀³ρ²dρ=9, ∫₀πsinφdφ=2, ∫₀²πdθ=2π. Produit 36π. Omettre sinφ ou ρ² modifie résultat et géométrie.
12. Aire de l’ellipse x²/9+y²/4≤1.
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Poser x=3u,y=2v : disque unité et |J|=6. Aire=6π. Transformer le seul domaine sans jacobien donnerait π, non aire de l’ellipse.
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