Quelle valeur maximale ou minimale une fonction peut-elle atteindre ? À deux variables, annuler une dérivée ne suffit pas : il faut connaître les mouvements permis et comparer tous les candidats. L’étape 22 relie le gradient aux extrema, d’abord libres puis contraints.
Maximums et minimums : laboratoire · Index du parcours
1. Que cherchons-nous, et sur quel ensemble ?
Un problème d’optimisation comporte un objectif f et un ensemble admissible E. P doit appartenir à E. Minimum absolu signifie f(P) ≤ f(Q) pour tout Q dans E ; maximum absolu inverse l’inégalité. Un extremum local compare seulement les points admissibles suffisamment proches.
min: P∈E, ∀Q∈E: f(P)≤f(Q)
max: P∈E, ∀Q∈E: f(P)≥f(Q)
Un extremum est strict si l’égalité est exclue aux autres points comparés. Point et valeur extrêmes diffèrent : pour f=x²+y² le point minimal est (0,0), la valeur minimale 0. Une même valeur peut être atteinte en plusieurs points. Sous contrainte la proximité est toujours dans E.
2. Existence : Weierstrass et ses limites
Si E est non vide, fermé et borné dans ℝ² et f continue sur E, Weierstrass garantit les deux extrema absolus. Il garantit l’existence, non leur position ni unicité. Un disque fermé inclut son bord ; un disque ouvert non.
f=x²+y², E={x²+y²<1}: min f=0; sup f=1, 1∉f(E).
Sur le disque ouvert 1 est un supremum, pas un maximum : il n’est jamais atteint. Sur ℝ² la même fonction a minimum 0 et aucun maximum. Des hypothèses non satisfaites ne prouvent pas l’absence d’extrema ; ce théorème ne donne simplement aucune garantie.
3. Extrema libres : pourquoi le gradient doit s’annuler
Supposons f différentiable et P intérieur au domaine. À un extremum local, la restriction à toute droite passant par P conserve un extremum à une variable. Les dérivées selon les deux axes s’annulent donc. Condition nécessaire, non suffisante.
fₓ(x,y)=0
fᵧ(x,y)=0
∇f(P)=(0,0)
Les solutions sont stationnaires. Ne pas écarter les points non différentiables : f=√(x²+y²) a minimum à l’origine, où son gradient n’existe pas. Bord et points non réguliers s’étudient séparément. Au laboratoire les objectifs sont polynomiaux mais une contrainte peut être singulière.
4. Hessienne : test du second ordre
Si f est C² près d’un point stationnaire P, les dérivées secondes forment la Hessienne symétrique. Son déterminant D indique si la partie quadratique de Taylor change de signe. Ce test concerne les points libres intérieurs, non automatiquement les extrema contraints.
H(P)=[ fₓₓ fₓᵧ ; fₓᵧ fᵧᵧ ]
D=fₓₓ fᵧᵧ−(fₓᵧ)²
D>0, fₓₓ>0 → minimum local strict
D>0, fₓₓ<0 → maximum local strict
D<0 → selle
D=0 → test non concluant
Pourquoi ? Au point stationnaire f(P+h)−f(P)=½ hᵀH(P)h+o(‖h‖²). Une forme définie positive domine le reste et fait croître les valeurs dans toute direction proche ; négative les fait décroître. Une forme indéfinie donne des hausses et baisses arbitrairement proches : une selle. Le seul signe de fₓₓ ne suffit pas.
5. Exemple complet : deux minimums et une selle
Étudions f=(x²−1)²+y² sur ℝ². Résolvons les deux équations sans diviser par x et perdre l’origine. La Hessienne est diagonale, son déterminant est donc le produit des termes diagonaux.
fₓ=4x(x²−1)=0, fᵧ=2y=0
P₁=(−1,0), P₂=(0,0), P₃=(1,0)
H=[12x²−4 0 ; 0 2]
P₁,P₃: D=16, fₓₓ=8>0, f=0
P₂: D=−8<0, f=1
Les deux minimums locaux sont aussi absolus : f est somme de carrés non négative. Origine selle : pour x petit non nul, f(x,0)=1−2x²+x⁴<1, mais f(0,y)=1+y²>1. Aucun maximum absolu, f(0,y) étant non bornée supérieurement. Classements local et global exigent des arguments distincts.
6. Déterminant nul ne signifie pas absence d’extrema
Comparons deux fonctions ayant gradient et Hessienne nuls à l’origine. Le test du second ordre répond identiquement : non concluant. Leur comportement diffère pourtant. Il faut les termes d’ordre supérieur ou des inégalités directes.
f=x⁴+y⁴ ≥ 0 → minimum absolu strict en (0,0)
h=x⁴−y⁴: h(t,0)>0, h(0,t)<0 ∀t≠0 → selle
Tester les seuls axes peut tromper : x²+4xy+y² est positive sur les deux axes mais vaut −2x² sur y=−x. D=4−16=−12 révèle la selle. Aucun ensemble fini de droites échantillonnées ne remplace une preuve valable pour tous les points proches.
7. Domaine fermé : intérieur, bord et sommets
Pour les extrema absolus sur un compact à bord régulier par morceaux, séparons le travail. Chercher les stationnaires intérieurs et éventuels points non différentiables ; restreindre f à chaque morceau du bord ; ajouter sommets et extrémités. Évaluer et comparer tous les candidats.
x=x(t), y=y(t)
F(t)=f(x(t),y(t))
F′(t)=fₓ x′(t)+fᵧ y′(t)
Un extremum au bord n’exige pas ∇f=0 : les déplacements extérieurs sont interdits. Une égalité comme un cercle autorise seulement le bord ; une inégalité comme un disque inclut l’intérieur. Confondre les deux change la réponse.
8. Disque : quand le minimum passe à l’intérieur
Considérons la distance au carré à (2,0) : f=(x−2)²+y² sur disque x²+y²≤r², r>0. Le seul stationnaire libre est (2,0), valeur 0. Intérieur seulement si r>2 ; sur le bord si r=2 ; non admissible si r<2.
x=r cos θ, y=r sin θ
F(θ)=r²+4−4r cos θ
F′(θ)=4r sin θ=0 → θ=0,π
f(r,0)=(r−2)², f(−r,0)=(r+2)²
min E f=max(2−r,0)², max E f=(2+r)²
Pour r=1 minimum 1 en (1,0), maximum 9 en (−1,0). Pour r=3 minimum absolu 0 en (2,0), mais minimum du bord 1 en (3,0) : pas minimum du disque. Maximum 25 en (−3,0). Faire varier r au laboratoire pour observer la transition.
9. Lagrange : sens géométrique
Optimiser f sous g(x,y)=0. Supposons f et g C¹ près de P et ∇g(P)≠0. La courbe y est régulière. À l’extremum contraint la dérivée tangentielle de f s’annule : son gradient est normal à la tangente, comme celui de g. Ils sont donc parallèles, éventuellement opposés ; ∇f peut aussi être nul.
L(x,y,λ)=f(x,y)−λg(x,y)
fₓ=λgₓ
fᵧ=λgᵧ
g(x,y)=0
Résoudre trois équations pour x,y,λ, puis comparer f aux points obtenus. Condition nécessaire sous les hypothèses, non suffisante. Multiplier g par une constante non nulle change λ, pas la contrainte ni les points. λ n’est donc pas la valeur extrême. Plusieurs contraintes exigent des gradients indépendants et une combinaison linéaire.
10. Exemple de Lagrange : x+2y sur le cercle
Cherchons extrema de f=x+2y sur x²+y²=r², r>0. Ensemble compact et f continue garantissent les deux. Le gradient de g=x²+y²−r² est (2x,2y), jamais nul sur le cercle : Lagrange y est applicable partout.
1=2λx, 2=2λy, x²+y²=r²
λ≠0, x=1/(2λ), y=1/λ=2x
5x²=r² → x=±r/√5, y=±2r/√5
f=±r√5, λ=±√5/(2r)
Les signes concordent : point positif au maximum r√5, négatif au minimum −r√5. Pour r=1 points environ (0,4472;0,8944) et son opposé, valeurs ±2,2361. Vérification indépendante : |x+2y|≤√(1²+2²)√(x²+y²)=r√5, égalité exactement aux deux points trouvés.
11. Application : aire maximale et sommets
Un rectangle a côtés positifs x,y et périmètre 2(x+y)=20. Aire f=xy. Substitution y=10−x, 0<x<10 : F(x)=10x−x²=25−(x−5)². Maximum 25 pour x=y=5 : carré. Aucun minimum parmi les rectangles non dégénérés ; l’aire tend vers 0 avec un côté.
g=x+y−10=0
y=λ, x=λ → x=y=5, f=25
Ne pas confondre avec le problème du laboratoire : maximiser xy sur rectangle fermé E=[0,r]×[0,2r]. Ici x+y n’est pas fixé. Aucun stationnaire intérieur, mais extrema existants : 0≤xy≤2r². Maximum unique (r,2r) ; minimum 0 sur les deux côtés x=0 ou y=0. Sommets listés représentatifs, non ensemble entier des minimums.
12. Attention aux contraintes singulières et inégalités
La régularité est essentielle. Pour f=x sous g=x²+y²=0 le seul point admissible est (0,0) : minimum et maximum, valeur 0. Pourtant ∇f=(1,0), ∇g=(0,0), aucun multiplicateur ne satisfait ∇f=λ∇g. Le seul système de Lagrange perdrait la solution.
Une inégalité h≤0 peut être active au bord ou inactive à l’intérieur. Ici nous séparons ces régions : ne jamais remplacer arbitrairement ≤ par =. Conditions de Karush–Kuhn–Tucker, qualifications et complémentarité constituent une suite, pas un raccourci sans hypothèses.
13. Méthode fiable en six questions
1. Quels objectif et ensemble admissible ? 2. Existence garantie ou frontières ouvertes et infini à étudier ? 3. Quels candidats intérieurs, non réguliers et du bord ? 4. Test hessien applicable et concluant ? 5. Substitution, paramétrisation ou Lagrange régulier ? 6. Tous les résultats comparés et familles entières éventuelles justifiées ?
Une liste calculée reste une liste de candidats tant que complétude et classement ne sont pas justifiés. Un graphique peut masquer un minimum étroit, un comportement hors fenêtre ou une famille de solutions. Même « aucun extremum » exige une raison mathématique, non une sortie vide.
14. Utiliser le laboratoire
Choisir un des dix cas, modifier r et coordonnées puis appliquer. Lire gradient, Hessienne et déterminant ; test libre déclaré inapplicable aux non-stationnaires. Les boutons mènent exactement aux candidats calculés analytiquement. Sous contrainte, admissibilité du point exploré indiquée.
Lancer le parcours : un pas par seconde déplace le point orange au bord ; le graphique inférieur donne f le long du parcours. Sur le cercle comparer gradients et résidu du parallélisme. Essayer le disque avec r=1,2,3, comparer intérieur et bord. En cas libre, le cercle animé est un test, non une restriction du domaine.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Classer x²+2y² sur ℝ².
Afficher la solution expliquée
∇f=(2x,4y)=0 seulement en (0,0). H=diag(2,4), D=8>0 : minimum local strict. f≥0 le rend absolu, valeur 0. Aucun maximum : f(x,0)→+∞.
2. Classer 4−x²−2y².
Afficher la solution expliquée
Seul stationnaire (0,0). H=diag(−2,−4), D=8 et fₓₓ<0 : maximum local strict. f≤4 prouve maximum absolu 4. Aucun minimum sur ℝ².
3. Un gradient nul garantit-il un extremum ?
Afficher la solution expliquée
Non : f=x²−y² a ∇f(0,0)=0 mais D=−4<0. Positive sur x, négative sur y : selle.
4. D=0 : comparer x⁴+y⁴ et x⁴−y⁴.
Afficher la solution expliquée
Deux tests non concluants. La première ≥0 a minimum absolu strict à l’origine ; la seconde change de signe sur les axes : selle. D=0 ne signifie pas « aucun extremum ».
5. Trouver les trois stationnaires de (x²−1)²+y².
Afficher la solution expliquée
4x(x²−1)=0 et 2y=0 donnent (−1,0),(0,0),(1,0). En ±1 D=16, valeur 0 : minimums absolus. Origine D=−8, valeur 1 : selle.
6. x²+y² a-t-elle maximum sur le disque unité ouvert ?
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Non. Toute valeur <1, mais les points proches du bord donnent des valeurs proches de 1. Supremum 1 non atteint ; minimum 0 à l’origine.
7. Appliquer Lagrange à x+2y sur cercle de rayon 2.
Afficher la solution expliquée
1=2λx, 2=2λy impliquent y=2x. Avec x²+y²=4 : points ±(2/√5,4/√5), valeurs ±2√5, λ=±√5/4. Compacité et liste complète donnent les extrema absolus.
8. Distance au carré à (2,0) sur disque r=1.
Afficher la solution expliquée
(2,0) non admissible. Au bord f=5−4cosθ : minimum 1 en (1,0), maximum 9 en (−1,0). Gradients de f non nuls : test libre ne remplace pas étude du bord.
9. Même disque r=3 : pourquoi étudier aussi l’intérieur ?
Afficher la solution expliquée
Minimum du bord 1 en (3,0), maximum 25 en (−3,0). Mais intérieur contient (2,0) avec f=0 : vrai minimum absolu du disque. Minimum du bord pas forcément minimum du domaine.
10. xy sur rectangle [0,2]×[0,4].
Afficher la solution expliquée
0≤xy≤8. Maximum unique 8 en (2,4) ; minimum 0 sur côtés entiers x=0 ou y=0. (0,0),(2,0),(0,4) ne sont que représentants des minimums.
11. Rectangle de périmètre 20 : aire maximale et minimale.
Afficher la solution expliquée
Côtés positifs : y=10−x, 0<x<10, aire 25−(x−5)², maximum 25 au carré 5×5. Aucun minimum, infimum 0. Si côtés nuls admis, minimum 0 aux deux rectangles dégénérés.
12. f=x sous x²+y²=0 : Lagrange trouve-t-il les extrema ?
Afficher la solution expliquée
Ensemble réduit à (0,0), donc minimum et maximum 0. Mais ∇g=(0,0), ∇f=(1,0) : aucun λ. Régularité absente ; ajouter et étudier directement le point singulier.
Avant : partielles, gradient et plan tangent · Index du parcours