Qual è il valore più grande o più piccolo che una funzione può assumere? Con due variabili non basta annullare una derivata: bisogna sapere quali movimenti sono consentiti e confrontare tutti i candidati. La tappa 22 del percorso di Analisi collega il gradiente alla ricerca di massimi e minimi, prima liberi e poi vincolati.
Massimi e minimi: laboratorio · Indice del percorso
1. Che cosa cerchiamo, e su quale insieme?
Un problema di ottimizzazione contiene una funzione obiettivo f e un insieme ammissibile E. Il punto P deve appartenere a E. Dire minimo assoluto significa f(P) ≤ f(Q) per ogni Q in E; massimo assoluto significa la disuguaglianza opposta. Un estremo locale richiede il confronto soltanto con i punti ammissibili abbastanza vicini a P.
min: P∈E, ∀Q∈E: f(P)≤f(Q)
max: P∈E, ∀Q∈E: f(P)≥f(Q)
Un estremo è stretto se l’uguaglianza è esclusa per gli altri punti considerati. Punto estremo e valore estremo sono cose diverse: per f=x²+y² il punto minimo è (0,0), il valore minimo è 0. Lo stesso valore può essere raggiunto in più punti. In un problema vincolato la vicinanza si intende sempre dentro E.
2. Esistenza: Weierstrass e suoi limiti
Se E è non vuoto, chiuso e limitato in ℝ² e f è continua su E, il teorema di Weierstrass garantisce sia minimo sia massimo assoluto. Garantisce l’esistenza, non dice dove cercarli né che siano unici. Un disco chiuso comprende il bordo; un disco aperto no.
f=x²+y², E={x²+y²<1}: min f=0; sup f=1, 1∉f(E).
Sul disco aperto il valore 1 è un estremo superiore, ma non un massimo: non viene raggiunto. Su ℝ² la stessa funzione ha minimo 0 e nessun massimo. Non soddisfare le ipotesi del teorema non dimostra assenza di estremi; significa soltanto che quel teorema non li garantisce.
3. Estremi liberi: perché il gradiente deve annullarsi
Supponiamo f differenziabile e P interno al dominio. Se P è un estremo locale, restringere f a qualunque retta per P deve lasciare un estremo in una variabile. In particolare, lungo le direzioni dei due assi le derivate sono nulle. Questo fornisce una condizione necessaria, non sufficiente.
fₓ(x,y)=0
fᵧ(x,y)=0
∇f(P)=(0,0)
I punti che risolvono il sistema sono stazionari. Non scartare i punti dove f non è differenziabile: f=√(x²+y²) ha minimo nell’origine, dove il gradiente non esiste. Il bordo e i punti non regolari vanno studiati a parte. Nel laboratorio tutti gli obiettivi sono polinomi; il vincolo può invece essere singolare.
4. Hessiana: il test del secondo ordine
Se f è C² in un intorno di un punto stazionario P, le derivate seconde formano la matrice Hessiana simmetrica. Il suo determinante D indica se la parte quadratica di Taylor cambia segno oppure no. Il test seguente riguarda punti interni e liberi, non automaticamente estremi sul vincolo.
H(P)=[ fₓₓ fₓᵧ ; fₓᵧ fᵧᵧ ]
D=fₓₓ fᵧᵧ−(fₓᵧ)²
D>0, fₓₓ>0 → minimo locale stretto
D>0, fₓₓ<0 → massimo locale stretto
D<0 → sella
D=0 → test inconcludente
Perché? Nel punto stazionario f(P+h)−f(P)=½ hᵀH(P)h+o(‖h‖²). Se la forma quadratica è definita positiva domina il resto e il valore cresce in tutte le direzioni vicine; se negativa decresce. Se è indefinita troviamo aumenti e diminuzioni arbitrariamente vicini: una sella. Il solo segno di fₓₓ non basta.
5. Esempio completo: due minimi e una sella
Studiamo f=(x²−1)²+y² su ℝ². Risolviamo entrambe le equazioni del gradiente, senza dividere per x e perdere l’origine. La Hessiana è diagonale, quindi il determinante è il prodotto dei due termini diagonali.
fₓ=4x(x²−1)=0, fᵧ=2y=0
P₁=(−1,0), P₂=(0,0), P₃=(1,0)
H=[12x²−4 0 ; 0 2]
P₁,P₃: D=16, fₓₓ=8>0, f=0
P₂: D=−8<0, f=1
I due minimi locali sono anche assoluti perché f è somma di quadrati e non può essere negativa. Nell’origine troviamo una sella: per x piccolo non nullo, f(x,0)=1−2x²+x⁴<1, mentre f(0,y)=1+y²>1. Non c’è massimo assoluto perché f(0,y) cresce senza limite. La classificazione locale e quella globale richiedono argomenti distinti.
6. Determinante nullo: non significa assenza di estremi
Confrontiamo due funzioni che hanno nell’origine gradiente nullo e Hessiana identicamente nulla. Il test del secondo ordine risponde allo stesso modo: inconcludente. Il comportamento effettivo, però, è opposto. Bisogna guardare i termini di ordine superiore o usare direttamente le disuguaglianze.
f=x⁴+y⁴ ≥ 0 → minimo assoluto stretto in (0,0)
h=x⁴−y⁴: h(t,0)>0, h(0,t)<0 ∀t≠0 → sella
Anche controllare soltanto gli assi può ingannare: x²+4xy+y² è positiva su entrambi gli assi ma lungo y=−x vale −2x². Qui D=4−16=−12 rivela la sella. Nessun insieme finito di linee campionate può sostituire una dimostrazione valida per tutti i punti vicini.
7. Dominio chiuso: interno, bordo e vertici
Per cercare estremi assoluti su un insieme compatto con bordo regolare a tratti, separiamo il lavoro. Cerchiamo i punti stazionari interni e gli eventuali punti non differenziabili; poi restringiamo f a ogni tratto di bordo; infine aggiungiamo vertici ed estremi dei tratti. Valutiamo f in tutti i candidati e confrontiamo i valori.
x=x(t), y=y(t)
F(t)=f(x(t),y(t))
F′(t)=fₓ x′(t)+fᵧ y′(t)
Un estremo sul bordo non richiede ∇f=0: i movimenti verso l’esterno non sono ammessi. Un vincolo di uguaglianza, come una circonferenza, ammette soltanto il bordo; una disuguaglianza, come un disco, ammette anche l’interno. Confondere i due problemi cambia la risposta.
8. Disco: quando il minimo passa dal bordo all’interno
Consideriamo la distanza al quadrato dal punto (2,0): f=(x−2)²+y² sul disco x²+y²≤r², r>0. L’unico stazionario libero è (2,0), con valore 0. È interno soltanto se r>2; per r=2 è sul bordo; per r<2 non è ammissibile.
x=r cos θ, y=r sin θ
F(θ)=r²+4−4r cos θ
F′(θ)=4r sin θ=0 → θ=0,π
f(r,0)=(r−2)², f(−r,0)=(r+2)²
min E f=max(2−r,0)², max E f=(2+r)²
Con r=1 otteniamo minimo 1 in (1,0), massimo 9 in (−1,0). Con r=3 il minimo assoluto è 0 in (2,0), mentre sul bordo il minimo vale 1 in (3,0): non è minimo del disco. Il massimo vale 25 in (−3,0). Il laboratorio permette di variare r e osservare questo passaggio.
9. Lagrange: il significato geometrico
Vogliamo ottimizzare f sul vincolo g(x,y)=0. Supponiamo f e g C¹ vicino a P e ∇g(P)≠0. La curva è regolare vicino a P. In un estremo vincolato la derivata di f lungo la tangente deve annullarsi: il gradiente di f è perpendicolare alla tangente, come il gradiente di g. Dunque sono paralleli, anche con verso opposto; ∇f può anche essere nullo.
L(x,y,λ)=f(x,y)−λg(x,y)
fₓ=λgₓ
fᵧ=λgᵧ
g(x,y)=0
Risolviamo tre equazioni nelle tre incognite x,y,λ; poi confrontiamo i valori di f nei punti ottenuti. La condizione è necessaria sotto le ipotesi, non sufficiente. Moltiplicare g per una costante non nulla cambia λ ma non il vincolo né i punti. Per questo λ non è il valore dell’estremo. Con più vincoli si richiede indipendenza dei rispettivi gradienti e si usa una combinazione lineare.
10. Esempio Lagrange: x+2y sulla circonferenza
Cerchiamo massimo e minimo di f=x+2y su x²+y²=r², r>0. L’insieme è compatto e f continua, quindi entrambi esistono. Il vincolo g=x²+y²−r² ha gradiente (2x,2y), mai nullo sul cerchio: possiamo applicare Lagrange in ogni suo punto.
1=2λx, 2=2λy, x²+y²=r²
λ≠0, x=1/(2λ), y=1/λ=2x
5x²=r² → x=±r/√5, y=±2r/√5
f=±r√5, λ=±√5/(2r)
I segni sono concordi: il punto positivo dà il massimo r√5, quello negativo il minimo −r√5. Per r=1 i punti sono circa (0,4472;0,8944) e il suo opposto, i valori ±2,2361. Una verifica indipendente è |x+2y|≤√(1²+2²)√(x²+y²)=r√5, con uguaglianza proprio nei due punti trovati.
11. Applicazione: area massima e vertici
Un rettangolo ha lati positivi x e y e perimetro fissato 2(x+y)=20. L’area è f=xy. Dal vincolo y=10−x con 0<x<10 otteniamo F(x)=10x−x²=25−(x−5)². Il massimo è 25 con x=y=5: il quadrato. Non c’è minimo fra i rettangoli non degeneri; l’area tende a 0 quando un lato tende a 0.
g=x+y−10=0
y=λ, x=λ → x=y=5, f=25
Non confondiamo con l’altro problema del laboratorio: massimizzare xy sul rettangolo chiuso E=[0,r]×[0,2r]. Qui x+y non è fisso. Gli interni non hanno punti stazionari, ma gli estremi esistono: 0≤xy≤2r². Il massimo unico è in (r,2r); il minimo è 0 su tutti i due lati x=0 oppure y=0. I vertici elencati sono rappresentanti, non l’intero insieme dei minimi.
12. Attenzione ai vincoli singolari e alle disuguaglianze
La regolarità non è un dettaglio. Per f=x sul vincolo g=x²+y²=0 l’unico punto ammissibile è (0,0): è sia minimo sia massimo con valore 0. Eppure ∇f=(1,0) e ∇g=(0,0), perciò nessun moltiplicatore soddisfa ∇f=λ∇g. Applicare solo il sistema di Lagrange perderebbe la soluzione.
Una disuguaglianza h≤0 può essere attiva sul bordo o inattiva nell’interno. In questa tappa la trattiamo separando le due regioni: non sostituiamo arbitrariamente ≤ con =. Condizioni di Karush–Kuhn–Tucker, qualificazioni dei vincoli e complementarità costituiscono un approfondimento ulteriore, non una scorciatoia senza ipotesi.
13. Un metodo affidabile in sei domande
1. Quali sono funzione e insieme ammissibile? 2. L’esistenza è garantita, oppure occorre studiare frontiere aperte e comportamento all’infinito? 3. Quali candidati interni, non regolari e di bordo devo raccogliere? 4. Il test della Hessiana è applicabile e conclusivo? 5. Sul vincolo posso usare sostituzione, parametrizzazione o Lagrange regolare? 6. Ho confrontato tutti i valori e giustificato eventuali famiglie intere di soluzioni?
Un elenco di punti trovato da un programma è soltanto un elenco di candidati finché non ne sono giustificate completezza e classificazione. Un grafico può nascondere un minimo stretto, un comportamento lontano dalla finestra o un’intera famiglia di soluzioni. Anche “nessun estremo” richiede una ragione matematica, non un pulsante senza risultati.
14. Come usare il laboratorio
Scegli uno dei dieci casi, modifica r e le coordinate del punto, poi applica. Leggi gradiente, Hessiana e determinante; il test libero viene dichiarato non applicabile nei punti non stazionari. I bottoni della tabella portano esattamente ai candidati, i cui valori sono calcolati analiticamente. Nei problemi vincolati viene indicato se il punto esplorato è ammissibile.
Avvia il percorso: un passo al secondo sposta il punto arancio sul bordo; il grafico sotto mostra f lungo il percorso. Sulla circonferenza confronta i due gradienti e il residuo del parallelismo. Prova il disco con r=1,2,3 e confronta bordo e interno. Per i casi liberi il cerchio animato è solo una curva di prova, non una restrizione del dominio.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Classifica x²+2y² su ℝ².
Mostra la soluzione ragionata
∇f=(2x,4y)=0 solo in (0,0). H=diag(2,4), D=8>0: minimo locale stretto. f≥0 dimostra che è assoluto, valore 0. Nessun massimo: f(x,0)→+∞.
2. Classifica 4−x²−2y².
Mostra la soluzione ragionata
Unico stazionario (0,0). H=diag(−2,−4), D=8 e fₓₓ<0: massimo locale stretto. f≤4 prova massimo assoluto 4. Nessun minimo su ℝ².
3. Un punto con gradiente nullo è sempre estremo?
Mostra la soluzione ragionata
No: f=x²−y² ha ∇f(0,0)=0 ma D=−4<0. Valori positivi su x e negativi su y: sella.
4. D=0: confronta x⁴+y⁴ e x⁴−y⁴.
Mostra la soluzione ragionata
Il test è inconcludente per entrambe. La prima è ≥0, con minimo stretto assoluto nell’origine; la seconda cambia segno sugli assi e ha sella. Non si può concludere “nessun estremo” da D=0.
5. Trova i tre stazionari di (x²−1)²+y².
Mostra la soluzione ragionata
4x(x²−1)=0 e 2y=0 danno (−1,0),(0,0),(1,0). Nei punti ±1 D=16 e valore 0: minimi assoluti. Nell’origine D=−8 e valore 1: sella.
6. x²+y² sul disco aperto unitario ha un massimo?
Mostra la soluzione ragionata
No. Ogni valore è <1, ma scegliendo punti sempre più vicini al bordo si ottengono valori vicini a 1. Supremum 1 non raggiunto; minimo 0 raggiunto nell’origine.
7. Applica Lagrange a x+2y sul cerchio di raggio 2.
Mostra la soluzione ragionata
1=2λx, 2=2λy implicano y=2x. Con x²+y²=4: punti ±(2/√5,4/√5). Valori ±2√5. λ=±√5/4. Sono massimo e minimo assoluti grazie a compattezza e completezza dei candidati.
8. Distanza al quadrato da (2,0) sul disco r=1.
Mostra la soluzione ragionata
(2,0) non è ammissibile. Sul bordo f=5−4cosθ: minimo 1 in (1,0), massimo 9 in (−1,0). Qui entrambi i gradienti di f non sono nulli: il test libero non sostituisce il bordo.
9. Stesso disco con r=3: perché confrontare anche l’interno?
Mostra la soluzione ragionata
Sul bordo il minimo è 1 in (3,0) e il massimo 25 in (−3,0). Ma l’interno contiene (2,0) con f=0: è il vero minimo assoluto del disco. Un minimo del bordo non è necessariamente minimo del dominio.
10. xy sul rettangolo [0,2]×[0,4].
Mostra la soluzione ragionata
0≤xy≤8. Massimo unico 8 in (2,4); minimo 0 lungo tutti i lati x=0 oppure y=0. Non basta elencare (0,0),(2,0),(0,4): sono solo rappresentanti dei minimi.
11. Rettangolo di perimetro 20: area massima e minima.
Mostra la soluzione ragionata
Con lati positivi, y=10−x e 0<x<10: area 25−(x−5)², massimo 25 nel quadrato 5×5. Nessun minimo, infimum 0. Se ammettiamo lati nulli, il minimo 0 è raggiunto nei due rettangoli degeneri.
12. f=x con x²+y²=0: Lagrange trova gli estremi?
Mostra la soluzione ragionata
L’insieme è il solo (0,0), quindi f ha minimo e massimo 0. Ma ∇g=(0,0) e ∇f=(1,0): il sistema non ha λ. Manca l’ipotesi di regolarità; il punto singolare va aggiunto e studiato direttamente.
Prima: derivate parziali, gradiente e piano tangente · Indice del percorso