¿Qué valor mayor o menor puede alcanzar una función? Con dos variables no basta anular una derivada: hay que conocer los movimientos permitidos y comparar todos los candidatos. La etapa 22 conecta el gradiente con extremos, primero libres y luego restringidos.
Máximos y mínimos: laboratorio · Índice del recorrido
1. ¿Qué buscamos y en qué conjunto?
Un problema de optimización tiene objetivo f y conjunto factible E. P debe pertenecer a E. Mínimo absoluto significa f(P) ≤ f(Q) para todo Q en E; máximo absoluto invierte desigualdad. Un extremo local compara solo puntos factibles suficientemente próximos.
min: P∈E, ∀Q∈E: f(P)≤f(Q)
max: P∈E, ∀Q∈E: f(P)≥f(Q)
Un extremo es estricto si se excluye igualdad en los otros puntos comparados. Punto y valor extremos difieren: para f=x²+y² el punto mínimo es (0,0), el valor mínimo 0. Un mismo valor puede alcanzarse en varios puntos. Bajo restricciones la proximidad es siempre dentro de E.
2. Existencia: Weierstrass y sus límites
Si E es no vacío, cerrado y acotado en ℝ² y f continua en E, Weierstrass garantiza ambos extremos absolutos. Garantiza existencia, no ubicación ni unicidad. Disco cerrado incluye borde; disco abierto no.
f=x²+y², E={x²+y²<1}: min f=0; sup f=1, 1∉f(E).
En disco abierto 1 es supremo, no máximo: nunca se alcanza. En ℝ² la misma función tiene mínimo 0 y ningún máximo. Incumplir hipótesis no demuestra ausencia de extremos; este teorema simplemente no los garantiza.
3. Extremos libres: por qué se anula el gradiente
Supongamos f diferenciable y P interior al dominio. En extremo local, restringir f a cualquier recta por P conserva extremo de una variable. En particular se anulan derivadas en ambos ejes. Condición necesaria, no suficiente.
fₓ(x,y)=0
fᵧ(x,y)=0
∇f(P)=(0,0)
Las soluciones son estacionarias. No descartar puntos no diferenciables: f=√(x²+y²) tiene mínimo en origen, sin gradiente. Borde y puntos no regulares requieren estudio aparte. Los objetivos del laboratorio son polinomios; una restricción puede ser singular.
4. Hessiana: prueba de segundo orden
Si f es C² cerca de punto estacionario P, las segundas derivadas forman Hessiana simétrica. Determinante D indica si cambia signo la parte cuadrática de Taylor. Prueba para puntos libres interiores, no automáticamente para extremos restringidos.
H(P)=[ fₓₓ fₓᵧ ; fₓᵧ fᵧᵧ ]
D=fₓₓ fᵧᵧ−(fₓᵧ)²
D>0, fₓₓ>0 → mínimo local estricto
D>0, fₓₓ<0 → máximo local estricto
D<0 → silla
D=0 → prueba inconcluyente
¿Por qué? En punto estacionario f(P+h)−f(P)=½ hᵀH(P)h+o(‖h‖²). Forma definida positiva domina resto e incrementa valores en todas las direcciones próximas; negativa los reduce. Forma indefinida da aumentos y descensos arbitrariamente próximos: silla. Solo signo de fₓₓ no basta.
5. Ejemplo completo: dos mínimos y una silla
Estudiemos f=(x²−1)²+y² en ℝ². Resolver ambas ecuaciones sin dividir por x y perder origen. Hessiana diagonal: determinante producto de entradas diagonales.
fₓ=4x(x²−1)=0, fᵧ=2y=0
P₁=(−1,0), P₂=(0,0), P₃=(1,0)
H=[12x²−4 0 ; 0 2]
P₁,P₃: D=16, fₓₓ=8>0, f=0
P₂: D=−8<0, f=1
Ambos mínimos locales son absolutos porque f es suma de cuadrados no negativa. Origen silla: x pequeño no nulo da f(x,0)=1−2x²+x⁴<1, mientras f(0,y)=1+y²>1. No hay máximo absoluto pues f(0,y) crece sin límite. Clasificación local y global requieren argumentos distintos.
6. Determinante cero no significa ausencia de extremos
Comparemos dos funciones con gradiente y Hessiana nulos en origen. Prueba de segundo orden responde igual: inconcluyente. Su comportamiento difiere: necesitamos términos superiores o desigualdades directas.
f=x⁴+y⁴ ≥ 0 → mínimo absoluto estricto en (0,0)
h=x⁴−y⁴: h(t,0)>0, h(0,t)<0 ∀t≠0 → silla
Probar solo ejes puede engañar: x²+4xy+y² es positiva en ambos ejes pero vale −2x² en y=−x. D=4−16=−12 revela silla. Ningún conjunto finito de rectas muestreadas reemplaza prueba válida para todos los puntos próximos.
7. Dominio cerrado: interior, borde y vértices
Para extremos absolutos en compacto con borde regular a trozos, separar trabajo. Buscar estacionarios interiores y puntos no diferenciables; restringir f a cada tramo; añadir vértices y extremos de tramos. Evaluar todos los candidatos y comparar valores.
x=x(t), y=y(t)
F(t)=f(x(t),y(t))
F′(t)=fₓ x′(t)+fᵧ y′(t)
Un extremo de borde no exige ∇f=0: movimientos hacia fuera no están permitidos. Igualdad como circunferencia solo permite borde; desigualdad como disco también interior. Confundirlos cambia respuesta.
8. Disco: cuando el mínimo pasa al interior
Consideremos distancia al cuadrado a (2,0): f=(x−2)²+y² en disco x²+y²≤r², r>0. Único estacionario libre (2,0), valor 0. Interior solo si r>2; borde si r=2; no factible si r<2.
x=r cos θ, y=r sin θ
F(θ)=r²+4−4r cos θ
F′(θ)=4r sin θ=0 → θ=0,π
f(r,0)=(r−2)², f(−r,0)=(r+2)²
min E f=max(2−r,0)², max E f=(2+r)²
Para r=1 mínimo 1 en (1,0), máximo 9 en (−1,0). Para r=3 mínimo absoluto 0 en (2,0), pero mínimo de borde 1 en (3,0): no minimiza disco. Máximo 25 en (−3,0). Cambia r en laboratorio para ver transición.
9. Lagrange: significado geométrico
Optimizar f bajo g(x,y)=0. Supongamos f y g C¹ cerca de P y ∇g(P)≠0. La curva es regular cerca. En extremo restringido se anula derivada tangencial: gradiente de f normal a tangente, igual que gradiente de g. Son paralelos, incluso opuestos; ∇f también puede ser cero.
L(x,y,λ)=f(x,y)−λg(x,y)
fₓ=λgₓ
fᵧ=λgᵧ
g(x,y)=0
Resolver tres ecuaciones para x,y,λ y comparar f en puntos obtenidos. Condición necesaria bajo hipótesis, no suficiente. Multiplicar g por constante no nula cambia λ, no restricción ni puntos. λ no es valor extremo. Varias restricciones requieren gradientes independientes y combinación lineal.
10. Ejemplo Lagrange: x+2y en circunferencia
Buscar extremos de f=x+2y en x²+y²=r², r>0. Conjunto compacto y f continua garantizan ambos. Gradiente de g=x²+y²−r² es (2x,2y), nunca cero en circunferencia: Lagrange aplicable en todos sus puntos.
1=2λx, 2=2λy, x²+y²=r²
λ≠0, x=1/(2λ), y=1/λ=2x
5x²=r² → x=±r/√5, y=±2r/√5
f=±r√5, λ=±√5/(2r)
Signos concordantes: punto positivo da máximo r√5, negativo mínimo −r√5. Para r=1 puntos aproximados (0,4472;0,8944) y opuesto, valores ±2,2361. Verificación independiente: |x+2y|≤√(1²+2²)√(x²+y²)=r√5, igualdad justo en ambos puntos.
11. Aplicación: área máxima y vértices
Rectángulo con lados positivos x,y y perímetro 2(x+y)=20. Área f=xy. Sustituir y=10−x, 0<x<10: F(x)=10x−x²=25−(x−5)². Máximo 25 en x=y=5: cuadrado. Sin mínimo entre rectángulos no degenerados; área tiende a 0 al tender un lado a 0.
g=x+y−10=0
y=λ, x=λ → x=y=5, f=25
No confundir con otro problema del laboratorio: maximizar xy en rectángulo cerrado E=[0,r]×[0,2r]. Aquí x+y no es fijo. Sin estacionarios interiores, pero existen extremos: 0≤xy≤2r². Máximo único (r,2r); mínimo 0 en ambos lados x=0 o y=0. Vértices listados son representantes, no todos los mínimos.
12. Cuidado con restricciones singulares y desigualdades
Regularidad esencial. Para f=x bajo g=x²+y²=0 único punto factible (0,0): mínimo y máximo 0. Pero ∇f=(1,0), ∇g=(0,0), ningún multiplicador cumple ∇f=λ∇g. Usar solo sistema Lagrange perdería solución.
Desigualdad h≤0 puede estar activa en borde o inactiva en interior. Aquí separamos regiones: nunca reemplazar arbitrariamente ≤ por =. Condiciones Karush–Kuhn–Tucker, cualificaciones y complementariedad son ampliación, no atajo sin hipótesis.
13. Método fiable de seis preguntas
1. ¿Objetivo y conjunto factible? 2. ¿Existencia garantizada o estudiar fronteras abiertas e infinito? 3. ¿Qué candidatos interiores, no regulares y de borde recoger? 4. ¿Prueba Hessiana aplicable y concluyente? 5. ¿Sustitución, parametrización o Lagrange regular? 6. ¿Todos los valores comparados y familias completas justificadas?
Lista calculada es solo lista de candidatos hasta justificar completitud y clasificación. Gráfico puede ocultar mínimo estrecho, comportamiento fuera de ventana o familia de soluciones. Incluso «sin extremos» exige razón matemática, no salida vacía.
14. Cómo usar el laboratorio
Elige uno de diez casos, cambia r y coordenadas y aplica. Lee gradiente, Hessiana y determinante; prueba libre no aplicable en no estacionarios. Botones llevan exactamente a candidatos analíticos. En casos restringidos se indica factibilidad del punto explorado.
Inicia recorrido: paso por segundo mueve punto naranja por borde; gráfico inferior muestra f a lo largo. En circunferencia compara gradientes y residuo de paralelismo. Prueba disco con r=1,2,3 y compara interior y borde. En casos libres círculo animado es curva de prueba, no restricción del dominio.
Ejercicios: intenta antes de revelar
1. Clasifica x²+2y² en ℝ².
Mostrar la solución razonada
∇f=(2x,4y)=0 solo en (0,0). H=diag(2,4), D=8>0: mínimo local estricto. f≥0 demuestra absoluto 0. Sin máximo: f(x,0)→+∞.
2. Clasifica 4−x²−2y².
Mostrar la solución razonada
Único estacionario (0,0). H=diag(−2,−4), D=8 y fₓₓ<0: máximo local estricto. f≤4 demuestra máximo absoluto 4. Sin mínimo en ℝ².
3. ¿Gradiente nulo garantiza extremo?
Mostrar la solución razonada
No: f=x²−y² tiene ∇f(0,0)=0 pero D=−4<0. Positiva en x y negativa en y: silla.
4. D=0: compara x⁴+y⁴ y x⁴−y⁴.
Mostrar la solución razonada
Ambas pruebas inconcluyentes. Primera ≥0 con mínimo absoluto estricto en origen; segunda cambia signo en ejes: silla. D=0 no implica «sin extremos».
5. Halla tres estacionarios de (x²−1)²+y².
Mostrar la solución razonada
4x(x²−1)=0 y 2y=0 dan (−1,0),(0,0),(1,0). En ±1 D=16, valor 0: mínimos absolutos. Origen D=−8, valor 1: silla.
6. ¿x²+y² tiene máximo en disco unitario abierto?
Mostrar la solución razonada
No. Todo valor <1, pero acercarse al borde da valores cercanos a 1. Supremo 1 no alcanzado; mínimo 0 alcanzado en origen.
7. Aplica Lagrange a x+2y en circunferencia radio 2.
Mostrar la solución razonada
1=2λx, 2=2λy implican y=2x. Con x²+y²=4: puntos ±(2/√5,4/√5), valores ±2√5, λ=±√5/4. Compacidad y lista completa dan extremos absolutos.
8. Distancia al cuadrado a (2,0) en disco r=1.
Mostrar la solución razonada
(2,0) no factible. En borde f=5−4cosθ: mínimo 1 en (1,0), máximo 9 en (−1,0). Gradientes f no nulos: prueba libre no reemplaza borde.
9. Mismo disco r=3: ¿por qué estudiar interior?
Mostrar la solución razonada
Mínimo de borde 1 en (3,0), máximo 25 en (−3,0). Interior contiene (2,0) con f=0: verdadero mínimo de disco. Mínimo de borde no siempre minimiza dominio.
10. xy en rectángulo [0,2]×[0,4].
Mostrar la solución razonada
0≤xy≤8. Máximo único 8 en (2,4); mínimo 0 en lados completos x=0 o y=0. (0,0),(2,0),(0,4) solo representantes de mínimos.
11. Rectángulo perímetro 20: área máxima y mínima.
Mostrar la solución razonada
Lados positivos: y=10−x, 0<x<10, área 25−(x−5)², máximo 25 en cuadrado 5×5. Sin mínimo, ínfimo 0. Si admitimos lados nulos, mínimo 0 en dos rectángulos degenerados.
12. f=x con x²+y²=0: ¿Lagrange halla extremos?
Mostrar la solución razonada
Conjunto solo (0,0), mínimo y máximo 0. Pero ∇g=(0,0), ∇f=(1,0): ningún λ. Falta regularidad; añadir punto singular y estudiarlo directamente.
Antes: parciales, gradiente y plano tangente · Índice del recorrido