L’integrale in una variabile somma contributi distribuiti su un intervallo. Un integrale doppio somma su una regione del piano; un integrale triplo su un solido. Il punto decisivo non è imparare più simboli di integrale, ma capire che cosa si somma, su quale insieme e con quale elemento di area o volume. La tappa 23 completa il blocco multivariabile programmato, non tutta l’Analisi.
Integrali doppi e tripli: laboratorio · Indice del percorso
1. Che cosa misura un integrale multiplo?
Se f≥0 rappresenta un’altezza sopra una regione D del piano, ∬D f dA è il volume sotto il grafico e sopra D. Se f=1, otteniamo invece l’area di D. Se f è una densità superficiale di massa, il risultato è una massa. Il simbolo da solo non decide il significato: contano funzione e unità di misura.
Area(D)=∬D 1 dA
Vol(E)=∭E 1 dV
M=∬D σ(x,y) dA; M=∭E δ(x,y,z) dV
Un integrale triplo somma quantità distribuite nello spazio: densità volumica per volume elementare, per esempio kg/m³ moltiplicati per m³. Un doppio integrale non è automaticamente un’area e un triplo non è automaticamente una massa. Prima di calcolare, scrivi sempre il significato dell’integrando.
2. Piccole somme, limite e teorema di Fubini
Suddividiamo D in piccole celle, scegliamo un punto in ogni cella e sommiamo f nel punto per l’area della cella. Per funzioni e regioni sufficientemente regolari, il limite al raffinarsi della suddivisione è l’integrale doppio. Non tutte le celle devono essere quadrate: conta la loro area effettiva.
S=Σ f(xᵢ*,yⱼ*) ΔAᵢⱼ
∬[a,b]×[c,d] f dA = ∫ₐᵇ [∫𝚌ᵈ f(x,y) dy] dx
Se f è continua sul rettangolo chiuso, Fubini consente di calcolare l’integrale mediante integrali iterati in entrambi gli ordini. Più in generale è sufficiente l’integrabilità assoluta; per funzioni non negative Tonelli consente lo scambio anche con risultato infinito. Non scambiare senza controllo integrali impropri con cambi di segno o singolarità: gli ordini possono dare esiti diversi se mancano le ipotesi.
3. Primo esempio: un rettangolo
Calcoliamo ∬D(x+2y)dA per D=[0,L]×[0,L], con L>0. L’integrale più interno si calcola trattando l’altra variabile come costante. I differenziali indicano l’ordine: dy dx significa prima y, poi x. Manteniamo L simbolico e solo alla fine assegniamo un numero.
∫₀ᴸ [∫₀ᴸ (x+2y) dy] dx
=∫₀ᴸ [xy+y²]ᵧ₌₀ᵧ₌ᴸ dx
=∫₀ᴸ (Lx+L²) dx
=L³/2+L³=3L³/2
Con L=2 il risultato è 12. Invertendo, l’integrale interno è ∫₀ᴸ(x+2y)dx=L²/2+2Ly e l’integrale esterno restituisce ancora 12. Non è una coincidenza numerica: segue da Fubini. Il laboratorio permette di confrontare entrambi gli ordini.
4. Domini normali: leggere una regione
Un dominio semplice rispetto a x può essere scritto a≤x≤b e α(x)≤y≤β(x): una striscia verticale incontra un solo intervallo di D. Nell’ordine dy dx i limiti interni possono dipendere da x; quelli esterni sono i numeri a,b. Se una striscia incontra più intervalli, occorre dividerli o suddividere il dominio.
D={a≤x≤b, α(x)≤y≤β(x)}
∬D f dA=∫ₐᵇ ∫[α(x),β(x)] f(x,y) dy dx
D△={x≥0,y≥0,x+y≤L}
∫₀ᴸ ∫₀ᴸ⁻ˣ (x+2y) dy dx = ∫₀ᴸ L(L−x) dx=L³/2
Il triangolo ha area L²/2, ma l’integrale di x+2y vale L³/2: non confondere i due risultati. Per L=2 sono rispettivamente 2 e 4. Prima disegna i vertici (0,0),(L,0),(0,L), poi ricava i limiti dalla retta x+y=L.
5. Invertire l’ordine non significa scambiare due lettere
Per lo stesso triangolo, strisce orizzontali danno 0≤y≤L e 0≤x≤L−y. Cambiano i limiti e i differenziali, non i punti del dominio né la funzione. Il valore esatto resta uguale; le approssimazioni numeriche su griglie diverse possono avere errori differenti.
∫₀ᴸ ∫₀ᴸ⁻ʸ (x+2y) dx dy
=∫₀ᴸ [(L−y)²/2+2y(L−y)] dy=L³/2
Un cambio d’ordine può rendere elementare un integrale difficile. Per I=∫₀¹∫ₓ¹ exp(y²)dy dx, non cerchiamo una primitiva elementare di exp(y²). Il dominio è 0≤x≤y≤1: prima x varia da 0 a y, poi y da 0 a 1.
I=∫₀¹ ∫₀ʸ exp(y²) dx dy
=∫₀¹ y exp(y²) dy=(e−1)/2
6. Coordinate polari: perché compare r
Un piccolo settore a distanza r dall’origine ha lati approssimativi Δr e rΔθ. La sua area è circa rΔrΔθ, non ΔrΔθ. Lo stesso risultato segue dal determinante della trasformazione x=r cosθ, y=r sinθ. L’angolo θ è misurato in radianti.
J=det[ cosθ −r sinθ ; sinθ r cosθ ]=r
dA=|J| dr dθ=r dr dθ
∬x²+y²≤L² (L²−x²−y²)dA
=∫₀ᴸ∫₀²π (L²−r²)r dθ dr
=2π[L²r²/2−r⁴/4]₀ᴸ=πL⁴/2
Per la corona L/2≤r≤L e 0≤θ≤2π, integrare 1 dà ∫ᴸ/₂ᴸ2πr dr=3πL²/4. Non dimenticare il foro. Per un settore o un disco traslato vanno riscritti correttamente i limiti e, se necessario, il centro delle coordinate.
7. Integrale con segno e volume geometrico
Prendiamo f=x su D=[−L,L]×[0,L]. I contributi per x<0 sono negativi e cancellano quelli per x>0: l’integrale è 0. Questo non significa che la superficie sia piatta né che il volume tra il grafico e il piano z=0 sia nullo. Per quel volume serve |f|.
∬D x dA=0
∬D |x| dA=L∫₋ᴸᴸ|x|dx=L³
V=∬D |f₂−f₁| dA
Se f₂≥f₁ su tutto D, il valore assoluto si elimina e si integra f₂−f₁. Se le superfici si scambiano di posto, si suddivide D lungo la loro intersezione. Il laboratorio usa colori diversi sopra e sotto z=0 e mostra sia la somma con segno sia quella dei valori assoluti.
8. Valore medio, massa e baricentro
Il valore medio di f su una regione di area positiva è l’integrale diviso per l’area: non è in generale la media dei valori misurati in pochi punti. Per il triangolo precedente, (L³/2)/(L²/2)=L. Il risultato è coerente con il baricentro geometrico (L/3,L/3): essendo f lineare, il suo valore nel baricentro è proprio L.
f̄=(1/Area(D))∬D f dA
M=∬D σ dA>0
x̄=(1/M)∬D xσ dA, ȳ=(1/M)∬D yσ dA
La densità σ deve essere non negativa per descrivere una massa ordinaria. Con densità uniforme σ costante, il fattore si semplifica nelle coordinate del baricentro; con densità variabile no. In tre dimensioni si aggiunge z̄=(1/M)∭E zδ dV. Simmetrie di dominio e densità possono annullare alcuni momenti, ma la sola forma simmetrica del dominio non basta.
9. Integrali tripli: un parallelepipedo con densità variabile
Un integrale triplo usa piccoli elementi di volume ΔV. Per E=[0,L]³ e densità matematica δ=1+z, iniziamo da z: x e y rimangono costanti. Tutte le variabili hanno qui coordinate adimensionali; in un modello fisico i coefficienti della densità devono avere unità coerenti.
M=∫₀ᴸ∫₀ᴸ∫₀ᴸ(1+z) dz dy dx
=∫₀ᴸ∫₀ᴸ(L+L²/2) dy dx
=L³+L⁴/2
Vol(E)=L³, δ̄=M/Vol(E)=1+L/2
Per L=2 il volume è 8 e la massa matematica è 16. Sono numeri di significato diverso. Una densità costante 1 avrebbe dato massa uguale numericamente al volume; questo esempio serve proprio a separare i due concetti. Fubini permette altri ordini perché l’integrando è continuo sul cubo.
10. Un solido non rettangolare: il tetraedro
Consideriamo E={x,y,z≥0, x+y+z≤L}. Per una coppia fissata x,y, la coordinata z varia tra 0 e L−x−y. La proiezione sul piano xy è il triangolo x≥0,y≥0,x+y≤L. Di conseguenza, dopo avere scelto x tra 0 e L, y non può superare L−x.
Vol(E)=∫₀ᴸ∫₀ᴸ⁻ˣ∫₀ᴸ⁻ˣ⁻ʸ 1 dz dy dx
=∫₀ᴸ∫₀ᴸ⁻ˣ(L−x−y) dy dx
=∫₀ᴸ (L−x)²/2 dx=L³/6
La sezione x=t è un triangolo rettangolo con cateti L−t e area (L−t)²/2. Integrare quest’area lungo x dà il volume: è il collegamento con il principio di Cavalieri. Per L=3 otteniamo 27/6=4,5. Usare tre intervalli indipendenti [0,L] darebbe il cubo, non il tetraedro.
11. Coordinate cilindriche: polari più altezza
In presenza di simmetria attorno all’asse z, usiamo x=r cosθ,y=r sinθ e lasciamo z invariata. L’elemento di volume è r dr dθ dz: ogni piccolo settore della base viene moltiplicato per un’altezza. Il fattore r non scompare passando da due a tre dimensioni.
E={x²+y²≤L², 0≤z≤L}
∭E z dV=∫₀ᴸ∫₀²π∫₀ᴸ z r dz dθ dr
=∫₀ᴸ∫₀²π (L²/2)r dθ dr=πL⁴/2
Vol(E)=πL³
Per L=2, l’integrale vale 8π e il volume del cilindro è anch’esso 8π: in questo solo esempio la media di z è 1. In generale la media è L/2 e le due quantità non coincidono. Se il tetto fosse z=L²−r², il limite superiore di z dipenderebbe da r; non si potrebbe mantenere z≤L.
12. Coordinate sferiche: dichiarare gli angoli
Adottiamo ρ≥0 come distanza dall’origine, θ come angolo azimutale nel piano xy e φ come angolo dall’asse z positivo. Per l’intera sfera: 0≤θ≤2π,0≤φ≤π. Alcuni testi scambiano i nomi dei due angoli: non memorizzare il simbolo del seno senza controllare la convenzione.
x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ sinθ, z=ρ cosφ
dV=ρ² sinφ dρ dφ dθ
Vol(BL)=∫₀ᴸ∫₀π∫₀²π ρ² sinφ dθ dφ dρ
=(L³/3)·2·2π=4πL³/3
Il fattore ρ² sinφ descrive la variazione dei piccoli volumi: più lontano dall’origine crescono due lunghezze, vicino ai poli le linee di longitudine si avvicinano. Per una semisfera superiore si usa 0≤φ≤π/2; per un guscio si cambia l’intervallo di ρ. Non si modifica il Jacobiano per adattarlo al risultato atteso.
13. Cambi di variabili e valore assoluto del Jacobiano
Per una trasformazione C¹ invertibile tra gli interni dei domini, con determinante non nullo e opportune condizioni di regolarità, l’area locale viene moltiplicata per |det DT|. Occorre trasformare insieme funzione, dominio ed elemento di misura. Le coordinate polari o sferiche hanno degenerazioni su assi e origine: in questi casi usuali tali insiemi di misura nulla non alterano l’integrale, ma non autorizzano trasformazioni arbitrarie.
∬D f(x,y)dxdy=∬U f(x(u,v),y(u,v)) |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv
x=au, y=bv, a,b>0 → |J|=ab
x²/a²+y²/b²≤1 → u²+v²≤1
Area=ab∬u²+v²≤1 1 dudv=πab
Il valore assoluto impedisce che una trasformazione che inverte l’orientamento renda negativa un’area. Se una trasformazione copre più volte la stessa regione, non è lecito ignorare la molteplicità. In tre dimensioni si usa il determinante 3×3. Un errore tipico è trasformare f e lasciare dxdy oppure dxdydz invariati.
14. Un percorso pratico e il laboratorio
Procedi così: definisci ciò che vuoi misurare; disegna il dominio o la sua proiezione; scegli coordinate e ordine; scrivi i limiti dall’interno verso l’esterno; inserisci il Jacobiano; integra; controlla segno, unità, scala e simmetrie. Se raddoppi L, un’area scala come L², un volume come L³; un integrando che dipende da L può cambiare la potenza finale.
Il laboratorio propone nove casi guidati, non un risolutore simbolico generale. Imposta L e il numero n di suddivisioni per coordinata: n² celle nel doppio, n³ nel triplo. Il metodo dei punti medi lavora in coordinate normalizzate u,v,w tra 0 e 1; perciò il Jacobiano numerico comprende anche le riscalature degli intervalli. Una cella pesa f(T(u*,v*,w*))|J|/nᵈ, con d=2 oppure 3.
Premi Avvia per aggiungere una striscia o un guscio ogni secondo. Il totale parziale mostra quanto è stato sommato; il grafico dell’integrale esterno mostra cosa resta da accumulare. Confronta valore esatto, somma numerica ed errore per n crescenti. I grafici usano una griglia ridotta dichiarata, mentre il calcolo usa tutte le nᵈ celle. L’errore è misurato rispetto alla formula esatta disponibile: non è una stima rigorosa per funzioni arbitrarie.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Integra x+2y su [0,2]×[0,2].
Mostra la soluzione ragionata
Con L=2, 3L³/2=12. Prima ∫₀²(x+2y)dy=2x+4; poi ∫₀²(2x+4)dx=12. L’area del dominio è invece 4.
2. Area del triangolo x,y≥0, x+y≤3.
Mostra la soluzione ragionata
Integra 1, non x+2y: ∫₀³∫₀³⁻ˣ1 dy dx=∫₀³(3−x)dx=9/2. È anche base×altezza/2=3×3/2.
3. Integra x+2y sullo stesso triangolo, in entrambi gli ordini.
Mostra la soluzione ragionata
dy dx: ∫₀³3(3−x)dx=27/2. dx dy: ∫₀³[(3−y)²/2+2y(3−y)]dy=27/2. I limiti interni diventano 3−y dopo l’inversione.
4. Calcola ∫₀¹∫ₓ¹ exp(y²) dy dx cambiando ordine.
Mostra la soluzione ragionata
Il dominio è 0≤x≤y≤1. Quindi ∫₀¹∫₀ʸ exp(y²)dxdy=∫₀¹y exp(y²)dy. Con t=y², dt=2y dy, il risultato è (e−1)/2.
5. Volume sotto 4−x²−y² sul disco di raggio 2.
Mostra la soluzione ragionata
Polari: 2π∫₀²(4−r²)rdr=8π. La formula πL⁴/2 con L=2 conferma 8π. L’area di base vale 4π, non 8π.
6. Area della corona 1≤r≤2: dove serve il Jacobiano?
Mostra la soluzione ragionata
∫₁²∫₀²πr dθdr=π(4−1)=3π. Senza r si otterrebbe 2π, sbagliato. L’integrando fisico è 1, quello trasformato è r.
7. f=x sul rettangolo [−2,2]×[0,2]: integrale e volume.
Mostra la soluzione ragionata
L’integrale è 0 per disparità in x. Il volume tra grafico e z=0 è ∫∫|x|dA=L³=8. I contributi geometrici non si cancellano.
8. Valore medio di x+2y sul triangolo di lato L.
Mostra la soluzione ragionata
Dividi integrale per area: (L³/2)/(L²/2)=L. Per L=2 la media è 2, mentre l’integrale vale 4. È indispensabile normalizzare con la misura del dominio.
9. Massa del cubo [0,2]³ con densità 1+z.
Mostra la soluzione ragionata
M=L³+L⁴/2=8+8=16. Il volume è 8 e la densità media 16/8=2. Il valore 1+z va integrato, non sostituito con 1.
10. Volume di x,y,z≥0, x+y+z≤3.
Mostra la soluzione ragionata
Integra 1 con z da 0 a 3−x−y, y da 0 a 3−x, x da 0 a 3. Ottieni L³/6=27/6=4,5. La sezione a x è (3−x)²/2.
11. Volume della sfera di raggio 3 con coordinate sferiche.
Mostra la soluzione ragionata
Con φ dall’asse z: ∫₀³ρ²dρ=9, ∫₀πsinφdφ=2, ∫₀²πdθ=2π. Prodotto 36π. Dimenticare sinφ o ρ² cambia il risultato e la geometria.
12. Area dell’ellisse x²/9+y²/4≤1.
Mostra la soluzione ragionata
Poni x=3u,y=2v: il dominio diventa il disco unitario e |J|=6. Quindi area=6π. Trasformare soltanto il dominio senza Jacobiano darebbe π, non l’area dell’ellisse.
Prima: massimi e minimi liberi e vincolati · Indice del percorso