En una variable nos acercamos por dos lados; en el plano por rectas, parábolas e infinitos caminos. El límite debe describir todos los puntos próximos del dominio, no solo los elegidos para un dibujo. La etapa 20 une intuición, contraejemplos y pruebas para refutar o establecer límites.
Laboratorio: límites y continuidad en varias variables · Índice del recorrido
1. Acercarse en el plano: distancia y dominio
P=(x,y), P₀=(a,b)
r=‖P−P₀‖=√((x−a)²+(y−b)²)
P→P₀ ⇔ r→0
Ambas coordenadas se acercan a sus valores, no necesariamente a igual velocidad. En P=(t,t²), x decrece como t e y como t². La distancia es t√(1+t²) para t>0: t no es r.
El límite es relativo a D. P₀ debe ser de acumulación: existen puntos de D distintos de P₀ arbitrariamente próximos. P₀ puede estar fuera de D; f(P₀) no se necesita para el límite.
2. Definición ε–δ: una garantía para todos los puntos
lim_(x,y)→(a,b) f(x,y)=L
∀ε>0 ∃δ>0 ∀(x,y)∈D:
0<√((x−a)²+(y−b)²)<δ ⇒ |f(x,y)−L|<ε
ε es precisión de salida; δ, cercanía de entrada. El disco excluye su centro: no interviene el valor asignado al punto. Un mismo δ sirve para todos los puntos admisibles, no uno por punto o camino.
Un par ε,δ no prueba el límite. Hace falta una regla para todo ε>0, o un teorema aplicable. Muestras finitas no controlan todos los puntos del disco.
3. Primera opción: continuidad y sustitución
Los polinomios son continuos en ℝ². Sumas, productos y composiciones mantienen continuidad donde están definidos; un cociente exige denominador no nulo en el punto. No hacen falta caminos si estos teoremas ya resuelven el problema.
lim_(x,y)→(1,2)(x²+2y²)=1+2·4=9
lim_(x,y)→(1,1)(x+y)/(1+x²+y²)=2/3
En el origen, 0/0 no da una respuesta: el límite puede existir o no. Estudia la estructura; 0/0 no es un número.
4. Caminos: refutan, pero por sí solos no prueban
Si existe el límite global L, todo camino admisible debe dar L. Dos caminos discordantes lo refutan. Dos, diez o mil concordantes no lo prueban: otros pueden comportarse distinto.
P_n,Q_n∈D∖{P₀}, P_n→P₀, Q_n→P₀
f(P_n)→L₁, f(Q_n)→L₂, L₁≠L₂ ⇒ ∄lim_(P→P₀)f(P)
Criterio secuencial: el límite es L si y solo si toda sucesión del dominio, evitando el centro y acercándose a él, da valores que tienden a L. “Toda” no se reemplaza por unos dibujos.
5. Los ejes coinciden, la diagonal contradice
f(x,y)=xy/(x²+y²), (x,y)≠(0,0)
f(t,0)=0; f(0,t)=0
f(t,t)=t²/(2t²)=1/2
f(t,mt)=m/(1+m²)
Los ejes sugieren 0, pero la diagonal da 1/2 para todo t≠0. No hay límite global. La fórmula de las rectas depende de la pendiente m: importa la dirección.
Asignar f(0,0)=0 hace continuas ambas restricciones a los ejes. La función es continua por separado en cada variable, pero no conjuntamente en el origen. Continuidad separada no implica conjunta.
6. Contraejemplo decisivo: todas las rectas dan 0
g(x,y)=x²y/(x⁴+y²), (x,y)≠(0,0)
g(t,mt)=mt/(t²+m²)→0 (m≠0)
g(t,0)=0; g(0,t)=0
g(t,ct²)=c/(1+c²)
c=1 ⇒ g(t,t²)=1/2
Todas las rectas por el origen, incluido el eje vertical, dan 0. Sin embargo y=x² mantiene altura 1/2. Añadir pendientes no sirve: falta la familia de caminos curvos.
ε=1/4; δ>0
0<t<min(1,δ/√2)
0<√(t²+t⁴)<√2·t<δ
|g(t,t²)−0|=1/2>ε
Esto refuta rigurosamente el candidato 0: todo δ falla. El camino y=0 descarta otros candidatos, pues cualquier límite global tendría que ser 0. La inexistencia queda probada, no solo observada.
7. Límites iterados: distintos del límite global
h(x,y)=(x²−y²)/(x²+y²)
lim_x→0[lim_y→0 h(x,y)]=1
lim_y→0[lim_x→0 h(x,y)]=−1
En el límite interior fija la otra variable no nula; luego hazla tender a cero. Aquí el orden cambia la respuesta y no hay límite global. Límites iterados iguales tampoco garantizan el global.
Para xy/(x²+y²), ambos límites iterados son 0 aunque el global no exista. No sustituyas un problema por otro sin justificar su relación.
8. Probar un límite exige una cota para todos los puntos
r=√(x²+y²)
|x|≤r; |y|≤r
0≤x²+2y²≤2r²
δ=√(ε/2) ⇒ 0<r<δ ⇒ |x²+2y²|<ε
El polinomio tiene una prueba directa de límite 0 en el origen. Para ε=0,02 basta δ=0,1. Controla todo el disco, no una trayectoria particular.
u(x,y)=x²y/(x²+y²)
|u|=(x²/(x²+y²))|y|≤|y|≤r
δ=ε ⇒ 0<r<δ ⇒ |u|<ε
Este cociente también tiende a 0; para ε=0,02 elige δ=0,02. Un denominador que tiende a cero no implica por sí solo inexistencia: importan numerador y cota común. Un δ suficiente no tiene que ser el mayor posible.
9. Coordenadas polares: r tiende a cero, θ no es fijo
x=r cosθ; y=r sinθ; r>0
xy/(x²+y²)=cosθ sinθ
x²y/(x²+y²)=r cos²θ sinθ
El primero depende de θ y las direcciones difieren. El segundo cumple |cos²θ sinθ|≤1: |u|≤r independientemente del ángulo, justo el control necesario.
x²y/(x⁴+y²)=r cos²θ sinθ/(r²cos⁴θ+sin²θ)
Para cada θ fijo la última expresión tiende a 0, pero en y=x² vale 1/2. El ángulo de ese camino varía con r. “Cada ángulo fijo” no es “uniformemente en el ángulo”: hace falta una cota independiente de θ.
10. Oscilaciones y un límite no nulo
v(x,y)=r sin(1/r), r>0
|v|≤r ⇒ lim_(x,y)→(0,0)v=0
δ=ε
Las oscilaciones se aceleran cerca del origen, pero su amplitud es ≤r y se anula. La gráfica puede perder oscilaciones sin afectar la prueba: la cota garantiza el límite.
w(x,y)=sin r/r, r>0
|sin r−r|=|∫₀ʳ(cos u−1)du|≤∫₀ʳu²/2 du=r³/6
|w−1|≤r²/6
δ=√(6ε) ⇒ 0<r<δ ⇒ |w−1|<ε
Usa 1−cos u≤u²/2 para todo real u. Dividir entre r>0 da una cota global y límite 1. La fórmula original no está definida en origen; asignar 1 produce una extensión continua.
11. Límites en el borde: permanecer en el dominio
f(x,y)=√y; D={(x,y):y≥0}
0≤y≤r ⇒ |f−0|=√y≤√r
δ=ε² ⇒ 0<r<δ, (x,y)∈D ⇒ |f|<ε
Ningún disco completo centrado en el origen está dentro de D, pero el límite relativo es 0 y f es continua en ese borde. Solo cuentan puntos del disco pertenecientes a D. Para ε=0,1 basta δ=0,01.
La rama (t,−t), t>0 queda fuera de D y no refuta nada. (0,t), (t,0) y (t,t²) son admisibles. Comprueba dominio antes de comparar valores.
12. Continuidad y extensión: tres comprobaciones
P₀∈D; f(P₀)∈ℝ
∃L∈ℝ:lim_(P→P₀, P∈D)f(P)=L
lim_(P→P₀, P∈D)f(P)=f(P₀)
En un punto de acumulación de D, estas son las tres comprobaciones. Fuera del dominio, la continuidad no es propiedad de la función original: se pregunta si existe una extensión continua.
Para x²y/(x²+y²), límite 0: asignar 0 repara el punto; asignar 1 deja discontinuidad. Para sin r/r asigna 1. Sin límite, ningún valor aislado repara: cambiar el centro no cambia los puntos próximos.
13. Ejemplo numérico: mismo inicio, límites distintos
g(x,y)=x²y/(x⁴+y²)
A(t)=(t,t); g(A(t))=t/(1+t²)
B(t)=(t,t²); g(B(t))=1/2
t=1: A→0.5, B→0.5
t=0.1: A→0.0990099…, B→0.5
t=0.01: A→0.009999…, B→0.5
t=0.001: A→0.000999999…, B→0.5
Ambos caminos empiezan en (1,1) con valor 1/2, luego se separan. La primera fila sola engaña. En la animación A baja a 0 y B permanece en 1/2, mientras ambos puntos del plano se acercan al origen.
Los decimales ilustran, no prueban: lo hacen las fórmulas exactas y sus límites distintos. Nunca sustituyas t=0 en las expresiones originales.
14. El laboratorio y un método reutilizable
Ocho casos: A recta o eje vertical; B parábola, parábola con coordenadas intercambiadas o cúbica. t es positivo. Los límites indicados son analíticos, no estimados de la última muestra. Si caminos elegidos coinciden sin límite global, queda visible un contraejemplo probado.
En casos convergentes cambia ε,δ y compara B(δ) con ε. El botón propone un δ suficiente de la prueba. No certificar un δ no lo refuta: la cota puede no ser óptima. La fórmula para todo ε prueba; un par numérico solo aplica.
Superficies y gráficas son muestras y pueden perder crestas u oscilaciones: no son pruebas. Método: dominio y acumulación; sustitución válida; caminos para contradecir; cota independiente del camino para probar; comparación con f(P₀). Después, derivadas parciales, gradiente y plano tangente.
Ejercicios: intenta antes de revelar
1. ¿Cuál es el orden de cuantificadores ε–δ?
Mostrar la solución razonada
Para todo ε>0 existe δ>0 válida para todos los puntos del dominio con 0<r<δ. δ depende de ε y del punto objetivo, no de cada punto del disco.
2. ¿El límite exige f(0,0) definida?
Mostrar la solución razonada
No. El límite trata puntos próximos distintos del origen. La continuidad exige pertenencia al dominio y valor igual al límite en un punto de acumulación.
3. Para xy/(x²+y²), ¿bastan los ejes?
Mostrar la solución razonada
No. Los ejes dan 0, la diagonal y=x da 1/2. Límites distintos prueban que no existe el global.
4. Todas las rectas dan 0 para x²y/(x⁴+y²). ¿Conclusión?
Mostrar la solución razonada
No basta. En y=x² vale x⁴/(2x⁴)=1/2 para x≠0. No existe límite global aunque todas las rectas coincidan.
5. Para x²+2y² y ε=0,08 halla un δ suficiente.
Mostrar la solución razonada
|f|≤2r². δ=√(0,08/2)=0,2: r<0,2 da |f|<2·0,04=0,08 en todo el disco.
6. Prueba el límite de x²y/(x²+y²) con ε=0,05.
Mostrar la solución razonada
|f|≤|y|≤r. Elige δ=0,05: todo 0<r<δ da |f|<0,05. La regla δ=ε para todo ε>0 prueba límite 0.
7. ¿Oscilaciones cada vez más rápidas impiden el límite?
Mostrar la solución razonada
No necesariamente. r sin(1/r) oscila pero su valor absoluto ≤r tiende a 0. La amplitud decreciente garantiza límite aunque la gráfica pierda oscilaciones.
8. ¿Qué valor asignar en origen a sin r/r?
Mostrar la solución razonada
1. La cota |sin r/r−1|≤r²/6 prueba límite 1. Asignar 0 no da continuidad. Para ε=0,01 basta δ=√0,06.
9. Para √y en origen, ¿qué δ suficiente para ε=0,1?
Mostrar la solución razonada
En y≥0, √y≤√r. Elige δ=ε²=0,01. Los puntos y<0 están fuera del dominio y no intervienen en el límite relativo.
10. ¿Dos límites iterados iguales a 0 prueban el global?
Mostrar la solución razonada
No. xy/(x²+y²) tiene ambos iterados 0 pero vale 1/2 en la diagonal. La coincidencia no basta.
11. ¿Asignar 2 en origen repara x²y/(x²+y²)?
Mostrar la solución razonada
No. El límite sigue en 0, distinto de 2. Asigna 0 para extensión continua. Cambiar un punto no cambia el límite de puntos próximos.
12. Para √y, ¿puedo usar (t,−t) con t>0?
Mostrar la solución razonada
No: y=−t<0 hace inadmisible la rama. No refuta un límite relativo a y≥0. Usa (0,t) o (t,t²).
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