In una variabile ci avviciniamo a un punto da due lati. Nel piano possiamo arrivare lungo rette, parabole e infiniti altri percorsi. Il limite deve descrivere tutti i punti vicini del dominio, non soltanto quelli scelti per un disegno. La tappa 20 del terzo blocco unisce intuizione geometrica, controesempi e dimostrazioni: impariamo sia a negare un limite sia a provarne l’esistenza.
Laboratorio: limiti e continuità in più variabili · Indice del percorso
1. Avvicinarsi nel piano: distanza e dominio
P=(x,y), P₀=(a,b)
r=‖P−P₀‖=√((x−a)²+(y−b)²)
P→P₀ ⇔ r→0
Entrambe le coordinate devono avvicinarsi ai rispettivi valori, ma non necessariamente alla stessa velocità. Con P=(t,t²), x tende a zero come t e y come t². La distanza è t√(1+t²) per t>0: t non coincide con r.
Studiamo il limite rispetto al dominio D. P₀ deve essere un punto di accumulazione di D: devono esserci punti di D diversi da P₀ arbitrariamente vicini. P₀ non deve necessariamente appartenere a D e f(P₀) non serve per definire il limite.
2. La definizione ε–δ: una sola garanzia per tutti i punti
lim_(x,y)→(a,b) f(x,y)=L
∀ε>0 ∃δ>0 ∀(x,y)∈D:
0<√((x−a)²+(y−b)²)<δ ⇒ |f(x,y)−L|<ε
ε misura la precisione desiderata sull’uscita; δ quanto dobbiamo essere vicini nell’ingresso. Il disco è bucato nel centro: il valore in P₀ non interviene. La stessa δ deve funzionare per tutti i punti ammessi del disco, non una δ diversa per ogni punto o percorso.
Provare una sola coppia ε,δ non dimostra il limite. Occorre una regola che per ogni ε>0 produca una δ adeguata, oppure un teorema applicabile. Una lista finita di campioni non controlla tutti i punti del disco.
3. Prima scelta: continuità e sostituzione
Polinomi in x,y sono continui in tutto ℝ². Somme, prodotti e composizioni di funzioni continue restano continue dove definite; un quoziente richiede denominatore non nullo nel punto. Non bisogna inventare percorsi quando questi teoremi risolvono già il problema.
lim_(x,y)→(1,2)(x²+2y²)=1+2·4=9
lim_(x,y)→(1,1)(x+y)/(1+x²+y²)=2/3
Nell’origine, un’espressione 0/0 non fornisce invece una risposta: può esserci un limite, oppure no. Occorre studiare la struttura, non trattare 0/0 come un numero.
4. Percorsi: ottimi per smentire, insufficienti per confermare
Se esiste il limite globale L, ogni percorso ammissibile che si avvicina al punto deve dare L. Due percorsi con limiti diversi bastano quindi a negarlo. Due, dieci o mille percorsi concordi non bastano invece a dimostrarlo: potrebbero esisterne altri con comportamento diverso.
P_n,Q_n∈D∖{P₀}, P_n→P₀, Q_n→P₀
f(P_n)→L₁, f(Q_n)→L₂, L₁≠L₂ ⇒ ∄lim_(P→P₀)f(P)
Il criterio delle successioni è ancora più generale: il limite è L se e solo se ogni successione di punti del dominio, distinta dal centro e convergente a esso, produce valori convergenti a L. La parola “ogni” non si elimina con qualche disegno.
5. Gli assi concordano, ma la diagonale li smentisce
f(x,y)=xy/(x²+y²), (x,y)≠(0,0)
f(t,0)=0; f(0,t)=0
f(t,t)=t²/(2t²)=1/2
f(t,mt)=m/(1+m²)
I due assi suggeriscono 0, ma la diagonale dà 1/2 per ogni t≠0. Il limite globale non esiste. La formula lungo le rette mostra una dipendenza continua dal coefficiente m: la direzione conta.
Assegnando f(0,0)=0, le restrizioni ai due assi sono continue. Anzi la funzione è continua separatamente rispetto a ciascuna variabile, ma non congiuntamente nell’origine. La continuità separata non implica quella in due variabili.
6. Il controesempio decisivo: tutte le rette danno 0
g(x,y)=x²y/(x⁴+y²), (x,y)≠(0,0)
g(t,mt)=mt/(t²+m²)→0 (m≠0)
g(t,0)=0; g(0,t)=0
g(t,ct²)=c/(1+c²)
c=1 ⇒ g(t,t²)=1/2
Abbiamo controllato tutte le rette per l’origine, incluso l’asse verticale, e ottenuto 0. Eppure la parabola y=x² mantiene quota 1/2. Non basta aggiungere altre pendenze: il problema è la famiglia di percorsi che stiamo ignorando.
ε=1/4; δ>0
0<t<min(1,δ/√2)
0<√(t²+t⁴)<√2·t<δ
|g(t,t²)−0|=1/2>ε
Questa è una negazione rigorosa della definizione per il candidato 0: qualunque δ fallisce. Un altro candidato è escluso dal percorso y=0, che impone limite 0 se il limite globale esistesse. La non esistenza è quindi dimostrata, non soltanto osservata.
7. Limiti iterati: due domande diverse dal limite globale
h(x,y)=(x²−y²)/(x²+y²)
lim_x→0[lim_y→0 h(x,y)]=1
lim_y→0[lim_x→0 h(x,y)]=−1
Nel limite interno manteniamo una variabile fissa e non nulla; poi facciamo tendere anche quella a zero. Qui l’ordine cambia il risultato e il limite globale non esiste. Ma nemmeno l’uguaglianza dei due ordini garantisce l’esistenza.
Per xy/(x²+y²), entrambi i limiti iterati valgono 0, pur essendo il limite globale inesistente. Non dobbiamo sostituire un problema con un altro senza dimostrarne il collegamento.
8. Per dimostrare un limite serve una stima per tutti i punti
r=√(x²+y²)
|x|≤r; |y|≤r
0≤x²+2y²≤2r²
δ=√(ε/2) ⇒ 0<r<δ ⇒ |x²+2y²|<ε
Per il polinomio abbiamo una dimostrazione diretta del limite 0 nell’origine. Con ε=0,02 basta δ=0,1. Non controlliamo una traiettoria particolare: la disuguaglianza vale nell’intero disco.
u(x,y)=x²y/(x²+y²)
|u|=(x²/(x²+y²))|y|≤|y|≤r
δ=ε ⇒ 0<r<δ ⇒ |u|<ε
Anche questo quoziente ha limite 0. Con ε=0,02 scegliamo δ=0,02. La presenza di un denominatore che tende a zero non implica da sola la non esistenza: il numeratore e una stima comune decidono. Una δ sufficiente non è necessariamente la più grande possibile.
9. Coordinate polari: r tende a zero, θ non è fissato
x=r cosθ; y=r sinθ; r>0
xy/(x²+y²)=cosθ sinθ
x²y/(x²+y²)=r cos²θ sinθ
Nel primo caso rimane una dipendenza da θ e diverse direzioni danno valori diversi. Nel secondo, |cos²θ sinθ|≤1 fornisce la stima |u|≤r indipendente dall’angolo: proprio ciò che serve per il limite globale.
x²y/(x⁴+y²)=r cos²θ sinθ/(r²cos⁴θ+sin²θ)
Per ogni θ fissato quest’ultima espressione tende a 0, ma sappiamo già che sulla parabola y=x² resta 1/2. L’angolo di quel percorso varia mentre r diminuisce. “Per ogni angolo fissato” non significa “uniformemente rispetto all’angolo”: per usare le polari come prova serve una maggiorazione che non dipenda da θ.
10. Oscillazioni e un limite diverso da zero
v(x,y)=r sin(1/r), r>0
|v|≤r ⇒ lim_(x,y)→(0,0)v=0
δ=ε
La frequenza delle oscillazioni cresce vicino all’origine, ma l’ampiezza è al massimo r e si annulla. Un grafico campionato può perdere oscillazioni, senza compromettere la dimostrazione: è la stima a garantire il limite.
w(x,y)=sin r/r, r>0
|sin r−r|=|∫₀ʳ(cos u−1)du|≤∫₀ʳu²/2 du=r³/6
|w−1|≤r²/6
δ=√(6ε) ⇒ 0<r<δ ⇒ |w−1|<ε
Usiamo 1−cos u≤u²/2 per ogni u reale. La divisione per r>0 dà una stima globale e il limite 1. La formula originale non è definita nell’origine; assegnando lì 1 otteniamo un prolungamento continuo.
11. Limiti sul bordo: restare nel dominio
f(x,y)=√y; D={(x,y):y≥0}
0≤y≤r ⇒ |f−0|=√y≤√r
δ=ε² ⇒ 0<r<δ, (x,y)∈D ⇒ |f|<ε
Nell’origine non esiste un disco intero contenuto in D, ma il limite relativo a D vale 0 e f è continua in quel punto del bordo. La definizione richiede soltanto i punti del disco appartenenti a D. Con ε=0,1 basta δ=0,01.
Il ramo (t,−t), t>0, è fuori dal dominio: non è una prova contraria al limite. Possiamo usare (0,t), (t,0) o (t,t²), tutti ammissibili. Prima di confrontare valori, controlliamo sempre l’ammissibilità del percorso.
12. Continuità e prolungamento: tre controlli distinti
P₀∈D; f(P₀)∈ℝ
∃L∈ℝ:lim_(P→P₀, P∈D)f(P)=L
lim_(P→P₀, P∈D)f(P)=f(P₀)
In un punto di accumulazione del dominio questi sono i tre controlli della continuità. Se il punto non appartiene al dominio, la continuità lì non è una proprietà della funzione originaria: si può chiedere se esista un prolungamento continuo.
Per x²y/(x²+y²), il limite è 0: assegnare 0 ripara il punto escluso; assegnare 1 lascia una discontinuità. Per sin r/r bisogna assegnare 1, non 0. Per i casi senza limite, nessun valore isolato può riparare la situazione: cambiare il centro non cambia i punti vicini.
13. Esempio numerico: stessa partenza, destini diversi
g(x,y)=x²y/(x⁴+y²)
A(t)=(t,t); g(A(t))=t/(1+t²)
B(t)=(t,t²); g(B(t))=1/2
t=1: A→0.5, B→0.5
t=0.1: A→0.0990099…, B→0.5
t=0.01: A→0.009999…, B→0.5
t=0.001: A→0.000999999…, B→0.5
I due percorsi iniziano dallo stesso punto (1,1) e dallo stesso valore 1/2, poi si separano. Se osservassimo solo la prima riga, trarremmo una conclusione errata. Nell’animazione A scende verso 0, B resta a 1/2; entrambi i punti del piano tendono all’origine.
I decimali servono per vedere il comportamento, non per dimostrarlo: la dimostrazione è nelle due formule esatte e nel fatto che danno limiti diversi. Non sostituiamo mai t=0 nelle espressioni originarie.
14. Il laboratorio e il metodo da portare con sé
Scegli fra otto casi. Il percorso A è una retta o l’asse verticale; B una parabola, una parabola con variabili scambiate o una cubica. Il parametro t resta positivo. I limiti mostrati per i percorsi sono ricavati analiticamente, non stimati dall’ultimo campione. Se i percorsi scelti concordano in un caso senza limite, rimane visibile un controesempio già dimostrato.
Nei casi convergenti, cambia ε e δ e confronta B(δ) con ε. Il tasto propone una δ sufficiente ottenuta dalla prova. Se la stima non certifica la δ scelta, non significa automaticamente che sia sbagliata: la maggiorazione può non essere ottimale. La formula generale per ogni ε è la prova del limite; il controllo numerico di una coppia è solo un’applicazione.
La superficie 3D e i grafici sono campionati: possono perdere creste sottili o oscillazioni. Non trasformarli in prove. Metodo: dominio e punto di accumulazione; sostituzione se lecita; percorsi per cercare contraddizioni; stima indipendente dal percorso per provare; infine confronto con f(P₀). Il prossimo passo saranno derivate parziali, gradiente e piano tangente.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Quale ordine hanno i quantificatori ε–δ?
Mostra la soluzione ragionata
Per ogni ε>0 esiste δ>0 che funziona per tutti i punti del dominio con 0<r<δ. δ può dipendere da ε e dal punto limite, non dal singolo punto che scegliamo nel disco.
2. Il limite richiede che f(0,0) sia definita?
Mostra la soluzione ragionata
No. Il limite riguarda punti vicini diversi dall’origine. Per parlare di continuità nell’origine, invece, il punto deve appartenere al dominio e il valore deve coincidere con il limite, se è punto di accumulazione.
3. Per xy/(x²+y²), gli assi bastano?
Mostra la soluzione ragionata
No. Gli assi danno 0, la diagonale y=x dà 1/2. Due limiti diversi provano che il limite globale non esiste.
4. Tutte le rette danno 0 per x²y/(x⁴+y²). Conclusione?
Mostra la soluzione ragionata
Non basta. Sulla parabola y=x² il valore è x⁴/(2x⁴)=1/2 per x≠0. Il limite globale non esiste, nonostante tutte le rette concordino.
5. Per x²+2y² e ε=0,08 trova una δ sufficiente.
Mostra la soluzione ragionata
|f|≤2r². δ=√(0,08/2)=0,2: se r<0,2 allora |f|<2·0,04=0,08. La stima vale in tutto il disco.
6. Per x²y/(x²+y²) prova il limite con ε=0,05.
Mostra la soluzione ragionata
|f|≤|y|≤r. Scegli δ=0,05: ogni punto con 0<r<δ dà |f|<0,05. La stessa regola δ=ε funziona per ogni ε>0 e prova il limite 0.
7. Oscillazioni sempre più rapide impediscono il limite?
Mostra la soluzione ragionata
Non necessariamente. r sin(1/r) oscilla, ma il valore assoluto è ≤r e tende a 0. L’ampiezza che si annulla garantisce il limite, anche se il grafico non risolve ogni oscillazione.
8. Quale valore assegnare nell’origine a sin r/r?
Mostra la soluzione ragionata
1. La stima |sin r/r−1|≤r²/6 prova il limite 1. Assegnare 0 non dà un prolungamento continuo. Con ε=0,01 basta δ=√0,06.
9. Per √y nell’origine, ε=0,1 richiede quale δ sufficiente?
Mostra la soluzione ragionata
Sul dominio y≥0, √y≤√r. Scegli δ=ε²=0,01. Non serve includere i punti con y<0: sono fuori dal dominio e non partecipano al limite relativo.
10. Due limiti iterati uguali a 0 provano il limite globale?
Mostra la soluzione ragionata
No. xy/(x²+y²) ha entrambi i limiti iterati uguali a 0, ma sulla diagonale vale 1/2. La concordanza dei limiti iterati non basta.
11. Assegnare 2 nell’origine ripara x²y/(x²+y²)?
Mostra la soluzione ragionata
No. Il limite resta 0 e differisce dal valore 2. Per il prolungamento continuo occorre assegnare 0. Cambiare un punto non cambia il limite sui punti vicini.
12. Per √y, posso usare (t,−t) con t>0?
Mostra la soluzione ragionata
No: y=−t<0 rende il ramo non ammissibile. Il mancato valore reale non smentisce il limite sul dominio y≥0. Usa ad esempio (0,t) o (t,t²).
Prima: funzioni di due variabili · Indice del percorso