En une variable on approche par deux côtés ; dans le plan par droites, paraboles et une infinité d’autres chemins. La limite doit décrire tous les points proches du domaine, pas seulement ceux choisis pour un dessin. L’étape 20 associe intuition, contre-exemples et preuves pour réfuter ou établir une limite.
Laboratoire : limites et continuité à plusieurs variables · Index du parcours
1. Approcher dans le plan : distance et domaine
P=(x,y), P₀=(a,b)
r=‖P−P₀‖=√((x−a)²+(y−b)²)
P→P₀ ⇔ r→0
Les deux coordonnées approchent leurs cibles, pas forcément à la même vitesse. Sur P=(t,t²), x décroît comme t et y comme t². La distance est t√(1+t²) pour t>0 : t n’est pas r.
La limite est relative à D. P₀ doit être un point d’accumulation : des points de D distincts de P₀ existent arbitrairement près. P₀ peut être hors de D ; f(P₀) n’est pas nécessaire à la limite.
2. Définition ε–δ : une garantie pour tous les points
lim_(x,y)→(a,b) f(x,y)=L
∀ε>0 ∃δ>0 ∀(x,y)∈D:
0<√((x−a)²+(y−b)²)<δ ⇒ |f(x,y)−L|<ε
ε est la précision de sortie, δ la proximité d’entrée. Le disque est privé de son centre : la valeur au point n’intervient pas. Un même δ vaut pour tous les points admis, pas un δ par point ou chemin.
Un couple ε,δ ne prouve pas la limite. Il faut une règle pour tout ε>0, ou un théorème applicable. Des échantillons finis ne contrôlent pas tous les points du disque.
3. Premier choix : continuité et substitution
Les polynômes sont continus sur ℝ². Sommes, produits et compositions restent continus là où définis ; un quotient exige un dénominateur non nul au point. Inutile de tester des chemins quand ces théorèmes suffisent.
lim_(x,y)→(1,2)(x²+2y²)=1+2·4=9
lim_(x,y)→(1,1)(x+y)/(1+x²+y²)=2/3
À l’origine, 0/0 ne donne aucune réponse : la limite peut exister ou non. Étudier la structure ; 0/0 n’est pas un nombre.
4. Chemins : réfuter, pas confirmer à eux seuls
Si la limite globale L existe, tout chemin admissible doit donner L. Deux chemins discordants la réfutent. Deux, dix ou mille chemins concordants ne la prouvent pas : d’autres peuvent différer.
P_n,Q_n∈D∖{P₀}, P_n→P₀, Q_n→P₀
f(P_n)→L₁, f(Q_n)→L₂, L₁≠L₂ ⇒ ∄lim_(P→P₀)f(P)
Critère séquentiel : la limite vaut L exactement si toute suite de points du domaine, évitant le centre et y convergeant, donne des valeurs tendant vers L. « Toute » ne se remplace pas par quelques dessins.
5. Les axes concordent, la diagonale contredit
f(x,y)=xy/(x²+y²), (x,y)≠(0,0)
f(t,0)=0; f(0,t)=0
f(t,t)=t²/(2t²)=1/2
f(t,mt)=m/(1+m²)
Les axes suggèrent 0 ; la diagonale donne 1/2 pour tout t≠0. Pas de limite globale. La formule des droites dépend de leur pente m : la direction compte.
Attribuer f(0,0)=0 rend continues les restrictions aux axes. La fonction est même continue séparément en chaque variable, mais pas conjointement à l’origine. Continuité séparée n’implique pas continuité conjointe.
6. Contre-exemple décisif : toutes les droites donnent 0
g(x,y)=x²y/(x⁴+y²), (x,y)≠(0,0)
g(t,mt)=mt/(t²+m²)→0 (m≠0)
g(t,0)=0; g(0,t)=0
g(t,ct²)=c/(1+c²)
c=1 ⇒ g(t,t²)=1/2
Toutes les droites par l’origine, axe vertical inclus, donnent 0. Pourtant y=x² reste à hauteur 1/2. Ajouter des pentes ne suffit pas : la famille des chemins courbes manque.
ε=1/4; δ>0
0<t<min(1,δ/√2)
0<√(t²+t⁴)<√2·t<δ
|g(t,t²)−0|=1/2>ε
C’est une réfutation rigoureuse du candidat 0 : tout δ échoue. Le chemin y=0 élimine les autres candidats, car une limite globale devrait être 0. La non-existence est démontrée, pas seulement observée.
7. Limites itérées : autres que la limite globale
h(x,y)=(x²−y²)/(x²+y²)
lim_x→0[lim_y→0 h(x,y)]=1
lim_y→0[lim_x→0 h(x,y)]=−1
Dans la limite intérieure, l’autre variable est fixée non nulle, puis approche zéro. Ici l’ordre change le résultat et la limite globale n’existe pas. Des limites itérées égales ne garantissent pas non plus la limite globale.
Pour xy/(x²+y²), les deux limites itérées valent 0 sans limite globale. Ne pas remplacer un problème par un autre sans justifier le lien.
8. Prouver une limite par une borne pour tous les points
r=√(x²+y²)
|x|≤r; |y|≤r
0≤x²+2y²≤2r²
δ=√(ε/2) ⇒ 0<r<δ ⇒ |x²+2y²|<ε
Le polynôme a ainsi une preuve directe de limite 0 à l’origine. Pour ε=0,02, δ=0,1 suffit. Toute la région du disque est contrôlée, pas un chemin particulier.
u(x,y)=x²y/(x²+y²)
|u|=(x²/(x²+y²))|y|≤|y|≤r
δ=ε ⇒ 0<r<δ ⇒ |u|<ε
Ce quotient tend aussi vers 0 ; pour ε=0,02 choisir δ=0,02. Un dénominateur tendant vers zéro ne suffit pas à nier la limite : numérateur et borne globale comptent. Un δ suffisant n’est pas forcément maximal.
9. Coordonnées polaires : r tend vers zéro, θ n’est pas fixé
x=r cosθ; y=r sinθ; r>0
xy/(x²+y²)=cosθ sinθ
x²y/(x²+y²)=r cos²θ sinθ
Le premier dépend de θ et les directions diffèrent. Le second vérifie |cos²θ sinθ|≤1, donc |u|≤r indépendamment de l’angle : c’est le contrôle requis.
x²y/(x⁴+y²)=r cos²θ sinθ/(r²cos⁴θ+sin²θ)
Pour chaque θ fixé, la dernière expression tend vers 0, mais reste 1/2 sur y=x². L’angle de ce chemin varie avec r. « Chaque angle fixé » ne veut pas dire « uniformément en angle » : il faut une borne indépendante de θ.
10. Oscillations et limite non nulle
v(x,y)=r sin(1/r), r>0
|v|≤r ⇒ lim_(x,y)→(0,0)v=0
δ=ε
Les oscillations s’accélèrent près de l’origine, mais l’amplitude est ≤r et s’annule. Un dessin peut manquer des oscillations sans modifier la preuve : la borne garantit la limite.
w(x,y)=sin r/r, r>0
|sin r−r|=|∫₀ʳ(cos u−1)du|≤∫₀ʳu²/2 du=r³/6
|w−1|≤r²/6
δ=√(6ε) ⇒ 0<r<δ ⇒ |w−1|<ε
Utiliser 1−cos u≤u²/2 pour tout réel u. Diviser par r>0 donne une borne globale et limite 1. La formule initiale est indéfinie à l’origine ; y attribuer 1 donne un prolongement continu.
11. Limites au bord : rester dans le domaine
f(x,y)=√y; D={(x,y):y≥0}
0≤y≤r ⇒ |f−0|=√y≤√r
δ=ε² ⇒ 0<r<δ, (x,y)∈D ⇒ |f|<ε
Aucun disque entier centré à l’origine n’est contenu dans D, mais la limite relative vaut 0 et f est continue au bord. Seuls les points du disque appartenant à D comptent. Pour ε=0,1, δ=0,01 suffit.
La branche (t,−t), t>0 est hors de D et ne réfute rien. (0,t), (t,0) et (t,t²) sont admissibles. Vérifier le domaine avant de comparer.
12. Continuité et prolongement : trois contrôles
P₀∈D; f(P₀)∈ℝ
∃L∈ℝ:lim_(P→P₀, P∈D)f(P)=L
lim_(P→P₀, P∈D)f(P)=f(P₀)
En un point d’accumulation de D, voici les trois contrôles. Hors du domaine, la continuité n’est pas une propriété de la fonction initiale : on demande un prolongement continu éventuel.
Pour x²y/(x²+y²), limite 0 : attribuer 0 répare le point, attribuer 1 laisse une discontinuité. Pour sin r/r, attribuer 1. Sans limite, aucun choix isolé ne répare : changer le centre ne change pas le voisinage.
13. Exemple numérique : même départ, limites distinctes
g(x,y)=x²y/(x⁴+y²)
A(t)=(t,t); g(A(t))=t/(1+t²)
B(t)=(t,t²); g(B(t))=1/2
t=1: A→0.5, B→0.5
t=0.1: A→0.0990099…, B→0.5
t=0.01: A→0.009999…, B→0.5
t=0.001: A→0.000999999…, B→0.5
Les chemins partent de (1,1) avec valeur 1/2 puis se séparent. La première ligne seule tromperait. L’animation montre A descendant vers 0 et B restant à 1/2, tous deux approchant l’origine dans le plan.
Les décimales illustrent sans prouver : les formules exactes et leurs limites distinctes démontrent. Ne jamais substituer t=0 dans les expressions initiales.
14. Le laboratoire et une méthode réutilisable
Huit cas : A droite ou axe vertical ; B parabole, parabole à coordonnées échangées ou cubique. t reste positif. Les limites affichées sont analytiques, pas estimées du dernier point. Si les chemins choisis concordent sans limite globale, un contre-exemple prouvé reste visible.
Pour les cas convergents, changer ε,δ et comparer B(δ) à ε. Le bouton propose un δ suffisant issu de la preuve. Une borne ne certifiant pas δ ne le réfute pas : elle peut être non optimale. La formule pour tout ε démontre ; un couple numérique applique seulement.
Surfaces et graphes sont échantillonnés et peuvent manquer crêtes ou oscillations : pas des preuves. Méthode : domaine, accumulation ; substitution licite ; chemins pour contredire ; borne globale pour démontrer ; comparaison à f(P₀). Puis dérivées partielles, gradient et plan tangent.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Quel ordre pour les quantificateurs ε–δ ?
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Pour tout ε>0, il existe δ>0 valable pour tous les points du domaine avec 0<r<δ. δ dépend de ε et du point cible, pas de chaque point du disque.
2. La limite exige-t-elle f(0,0) définie ?
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Non. La limite concerne les points proches distincts de l’origine. La continuité exige appartenance au domaine et valeur égale à la limite en un point d’accumulation.
3. Pour xy/(x²+y²), les axes suffisent-ils ?
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Non. Les axes donnent 0, la diagonale y=x donne 1/2. Ces limites distinctes prouvent la non-existence globale.
4. Toutes les droites donnent 0 pour x²y/(x⁴+y²). Conclusion ?
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Insuffisant. Sur y=x², la valeur est x⁴/(2x⁴)=1/2 pour x≠0. Pas de limite globale malgré toutes les droites concordantes.
5. Pour x²+2y² et ε=0,08, trouver un δ suffisant.
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|f|≤2r². δ=√(0,08/2)=0,2 : r<0,2 donne |f|<2·0,04=0,08 dans tout le disque.
6. Prouver la limite de x²y/(x²+y²) avec ε=0,05.
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|f|≤|y|≤r. Choisir δ=0,05 : tout 0<r<δ donne |f|<0,05. La règle δ=ε pour tout ε>0 prouve limite 0.
7. Des oscillations plus rapides empêchent-elles la limite ?
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Pas forcément. r sin(1/r) oscille, mais sa valeur absolue ≤r tend vers 0. L’amplitude décroissante garantit la limite malgré les oscillations manquées par un dessin.
8. Quelle valeur à l’origine pour sin r/r ?
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1. La borne |sin r/r−1|≤r²/6 prouve limite 1. Attribuer 0 n’est pas continu. Pour ε=0,01, δ=√0,06 suffit.
9. Pour √y à l’origine, quel δ pour ε=0,1 ?
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Sur y≥0, √y≤√r. Choisir δ=ε²=0,01. Les points y<0 sont hors du domaine et ne comptent pas pour la limite relative.
10. Deux limites itérées nulles prouvent-elles la limite globale ?
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Non. xy/(x²+y²) a deux limites itérées nulles mais vaut 1/2 sur la diagonale. La concordance ne suffit pas.
11. Attribuer 2 à l’origine répare-t-il x²y/(x²+y²) ?
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Non. La limite reste 0, différente de 2. Il faut attribuer 0 pour un prolongement continu. Changer un point ne change pas la limite voisine.
12. Pour √y, peut-on utiliser (t,−t), t>0 ?
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Non : y=−t<0 rend cette branche inadmissible. Cela ne réfute pas la limite relative à y≥0. Utiliser (0,t) ou (t,t²).
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