¿Porcentajes de qué? Grupos, bases distintas y razón entre tasas

«El grupo A representa el 10 % de la población, pero el 40 % de los presos». Ambos porcentajes pueden ser correctos, pero ¿tienen el mismo denominador? No: el primero se refiere a toda la población y el segundo solo al conjunto de presos. Interpretar el 40 % como «el 40 % de A está preso» cambiaría por completo la afirmación.

Aprenderemos a traducir palabras en fracciones, reconstruir una tabla y distinguir cuatro preguntas: cuántos hay, qué proporción representan, cuál es la tasa interna y cuál es la razón entre tasas. Los grupos A y B y todos los números de este artículo son un ejemplo didáctico hipotético, no datos de poblaciones reales.

Abrir el laboratorio de porcentajes: ejemplos, gráficos y pasos

1. Primera pregunta: ¿cuál es el total?

Definimos P como la población total y C como el total de presos. A y B son grupos disjuntos que abarcan toda P. El número a indica el porcentaje de A en la población; b indica el porcentaje de A entre los presos. Así, a = 10 significa a% = 10%, no 0,10%.

La tasa interna de A es el número de presos de A dividido entre toda la población de A. Para expresarla como porcentaje multiplicamos explícitamente por 100%. Cambiar el conjunto del denominador cambia la pregunta, no solo la notación.

2. De los porcentajes a los recuentos: tabla A y B

Tomemos P = 100000, C = 1000, a = 10 y b = 40. A contiene 10000 personas y B contiene 90000. De los 1000 presos, 400 pertenecen a A y 600 a B.

B tiene más presos en términos absolutos, pero también una población mucho mayor. Para comparar las tasas debemos dividir cada recuento entre la población de su propio grupo. La tabla enfrenta teoría y ejemplo sin intercambiar las bases.

3. La fórmula de la razón entre tasas

Escribimos las dos tasas por separado y después las dividimos. En la razón se simplifican C/P y el factor 100%: R es un número sin unidad, no un porcentaje.

Esta fórmula supone P > 0, C > 0, 0 < a < 100 y 0 ≤ b < 100. Si b = 100, la tasa de B es cero y la razón con la tasa positiva de A no es finita. Si C = 0, ambas tasas son cero y R no está definida. Si a vale 0 o 100, uno de los grupos no tiene población y no podemos definir su tasa.

T_A = [(C × b/100)/(P × a/100)] × 100%
    = (C/P) × (b/a) × 100%

T_B = [(C × (100 − b)/100)/(P × (100 − a)/100)] × 100%
    = (C/P) × [(100 − b)/(100 − a)] × 100%

R = T_A/T_B = [b × (100 − a)]/[a × (100 − b)]

R = [40 × (100 − 10)]/[10 × (100 − 40)]
  = (40 × 90)/(10 × 60) = 6

4. Por qué 6, 2/3 y 4 responden a preguntas distintas

R = 6 significa que, en este ejemplo, la tasa de A es seis veces la de B. En cambio, 2/3 compara los recuentos 400 y 600 sin ajustar por las poblaciones diferentes. Por último, b/a = 4 compara la proporción de A entre los presos con su proporción en la población: no compara directamente las tasas de A y B.

Ser seis veces un valor significa representar su 600 %, o superarlo en un 500 %: (6 − 1) × 100% = 500%. «Seis veces» no significa «un 600 % más». Además, 40% − 10% = 30 puntos porcentuales es una diferencia entre proporciones, no entre tasas internas.

Una comprobación útil es la media ponderada: la tasa de toda la población es la media de las tasas de los dos grupos, ponderada por su tamaño. No podemos calcular la media simple del 4 % y aproximadamente el 0,667 %, porque los grupos no tienen el mismo tamaño.

T = (a/100) × T_A + ((100 − a)/100) × T_B
  = (10/100) × 4% + (90/100) × (2/3)% = 1%
(C/P) × 100% = (1000/100000) × 100% = 1%

5. Comparar grupos del mismo tamaño

En el ejemplo principal, las tasas equivalen a 40 presos por cada 1000 personas de A y aproximadamente 6,667 por cada 1000 de B. Esta última cantidad es una frecuencia normalizada, no una fracción de persona en un recuento concreto.

Para visualizar únicamente R = 6, también podemos imaginar dos grupos de 1000 personas con 6 y 1 presos respectivamente. Las tasas son entonces 0,6 % y 0,1 %, y la razón sigue siendo 6. El nuevo ejemplo conserva la razón, pero NO las tasas del 4 % y aproximadamente 0,667 % del primero.

6. Otros ejemplos: qué cambia y qué se mantiene

En la tabla, a y b son proporciones porcentuales; en la fórmula usamos los números delante de %. Si b = a, las tasas coinciden; si b > a, la tasa de A supera la de B; si b < a, es inferior, en los casos no degenerados descritos anteriormente.

Conocer solo a y b basta para obtener R, pero no las tasas individuales: falta el factor C/P. Si duplicamos C manteniendo P, a y b, ambas tasas se duplican y su razón no cambia. El laboratorio también permite observarlo.

Los datos deben ser posibles: A no puede tener más presos que personas, ni B tampoco. Por ejemplo, P = 100, C = 50, a = 10 y b = 40 darían 20 presos en un grupo de 10 personas: datos incompatibles.

7. Leer los datos sin atribuirles más de lo que muestran

Una razón entre tasas describe una diferencia observada en el ejemplo; por sí sola no explica sus causas ni permite conclusiones sobre los individuos. En particular, los datos de presos no coinciden automáticamente con tasas de delitos, condenas o ingresos en prisión durante un año.

Antes de calcular, comprueba que la fuente, el periodo, el territorio, la definición del evento y las categorías sean comparables. Distingue las personas presentes en un momento de los eventos ocurridos durante un intervalo; no sumes grupos solapados. La composición por edades y otros factores también pueden modificar la comparación.

Si los porcentajes publicados están redondeados, R también es una estimación. Los recuentos reales requieren enteros coherentes; las cantidades decimales obtenidas con porcentajes arbitrarios son valores teóricos, no personas fraccionadas.

1. Subraya «respecto a», «entre», «del grupo» y «más»: identifican la base o la comparación.
2. Escribe numerador y denominador antes de sustituir los datos.
3. Distingue la proporción de un grupo dentro de un conjunto de la tasa del evento dentro del grupo.
4. Compara las tasas solo después de normalizar por sus respectivas poblaciones.
5. Comprueba la compatibilidad de los recuentos, el redondeo y los límites de la interpretación.

8. El mismo método en las variaciones porcentuales

En las variaciones, la pregunta sobre el denominador es la misma: la diferencia se compara con el valor inicial, no con el final. El laboratorio permite buscar la variación, el valor final o el inicial mediante fórmulas inversas.

Con dos variaciones sucesivas, la segunda utiliza como base el valor ya modificado. Un +20 % seguido de −20 % lleva 100 a 120 y después a 96: no vuelve a 100. Tras −20 % hace falta +25 % para regresar al valor inicial. Las fichas correspondientes muestran los factores, cada paso y la comprobación final.

En las fórmulas de variación, V es el valor inicial, N el final y P el número con signo de la variación porcentual; p y q son dos variaciones sucesivas y r la de retorno. Aquí P no indica la población total del problema de los grupos.

P% = (N − V)/V × 100%
N = V × (100 + P)/100
V = 100 × N/(100 + P)

N = V × (1 + p/100) × (1 + q/100)
r = −100p/(100 + p)

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9. Inténtalo y después revela la solución

Para cada pregunta escribe primero la razón que quieres calcular. Las soluciones permanecen ocultas hasta hacer clic.

Si a = 20 y b = 40, ¿la razón entre tasas es 2?

Si a = 30 y b = 15, ¿qué grupo tiene la tasa mayor?

Con P = 100000, a = 10 y b = 40, ¿qué sucede si C pasa de 1000 a 2000?

Un porcentaje no se comprende con el número aislado: necesitamos la cantidad comparada, el total de referencia y la pregunta que queremos responder.