Pourcentages de quoi ? Groupes, bases différentes et rapport des taux

« Le groupe A représente 10 % de la population, mais 40 % des détenus. » Ces deux pourcentages peuvent être corrects, mais ont-ils le même dénominateur ? Non : le premier concerne toute la population, le second uniquement les détenus. Lire 40 % comme « 40 % du groupe A est détenu » changerait complètement l’énoncé.

Apprenons à traduire les mots en fractions, à reconstruire un tableau et à distinguer quatre questions : combien sont-ils, quelle part représentent-ils, quel est le taux interne et quel est le rapport des taux ? Les groupes A et B et tous les nombres utilisés ici constituent un exemple pédagogique hypothétique, pas des données sur des populations réelles.

Ouvrir le laboratoire des pourcentages : exemples, graphiques et étapes

1. Première question : quel est le total ?

Définissons P comme la population totale et C comme le nombre total de détenus. Les groupes A et B sont disjoints et couvrent toute la population P. Le nombre a représente la part de A dans la population, en pourcentage ; b représente sa part parmi les détenus. Ainsi, a = 10 signifie a% = 10%, et non 0,10%.

Le taux interne à A est le nombre de détenus de A divisé par toute la population de A. Pour l’exprimer en pourcentage, on multiplie explicitement par 100%. Changer l’ensemble au dénominateur change la question, pas seulement la notation.

2. Des pourcentages aux effectifs : le tableau A et B

Prenons P = 100000, C = 1000, a = 10 et b = 40. A contient 10000 personnes et B en contient 90000. Parmi les 1000 détenus, 400 appartiennent à A et 600 à B.

B compte davantage de détenus en valeur absolue, mais sa population est aussi bien plus grande. Pour comparer les taux, il faut diviser chaque effectif par la population de son propre groupe. Le tableau juxtapose théorie et exemple sans intervertir les bases.

3. La formule du rapport des taux

Écrivons séparément les deux taux, puis divisons-les. C/P et le facteur 100% se simplifient dans le rapport : R est donc un nombre sans unité, et non un pourcentage.

Cette formule suppose P > 0, C > 0, 0 < a < 100 et 0 ≤ b < 100. Si b = 100, le taux de B est nul et le rapport avec le taux positif de A n’est pas fini. Si C = 0, les deux taux sont nuls et R est indéfini. Si a vaut 0 ou 100, l’un des groupes n’a pas de population et son taux ne peut pas être défini.

T_A = [(C × b/100)/(P × a/100)] × 100%
    = (C/P) × (b/a) × 100%

T_B = [(C × (100 − b)/100)/(P × (100 − a)/100)] × 100%
    = (C/P) × [(100 − b)/(100 − a)] × 100%

R = T_A/T_B = [b × (100 − a)]/[a × (100 − b)]

R = [40 × (100 − 10)]/[10 × (100 − 40)]
  = (40 × 90)/(10 × 60) = 6

4. Pourquoi 6, 2/3 et 4 répondent à des questions différentes

R = 6 signifie que, dans cet exemple, le taux de A est six fois celui de B. En revanche, 2/3 compare les effectifs 400 et 600 sans tenir compte des populations différentes. Enfin, b/a = 4 compare la part de A parmi les détenus à sa part dans la population : il ne compare pas directement les taux de A et B.

Être six fois une valeur signifie en représenter 600 %, ou lui être supérieur de 500 % : (6 − 1) × 100% = 500%. « Six fois » ne signifie pas « 600 % de plus ». De même, 40% − 10% = 30 points de pourcentage est une différence entre parts, pas entre taux internes.

La moyenne pondérée fournit une vérification utile : le taux de toute la population est la moyenne des deux taux, pondérée par la taille des groupes. On ne peut pas calculer la moyenne simple de 4 % et environ 0,667 %, car les groupes n’ont pas la même taille.

T = (a/100) × T_A + ((100 − a)/100) × T_B
  = (10/100) × 4% + (90/100) × (2/3)% = 1%
(C/P) × 100% = (1000/100000) × 100% = 1%

5. Comparer des groupes de même taille

Dans l’exemple principal, les taux correspondent à 40 détenus pour 1000 personnes de A et à environ 6,667 pour 1000 personnes de B. Cette dernière quantité est une fréquence normalisée, pas une fraction de personne dans un décompte concret.

Pour illustrer uniquement R = 6, on peut aussi imaginer deux groupes de 1000 personnes comprenant respectivement 6 et 1 détenus. Les taux deviennent 0,6 % et 0,1 %, avec toujours un rapport de 6. Ce nouvel exemple conserve le rapport, mais PAS les taux de 4 % et environ 0,667 % du premier.

6. Autres exemples : ce qui change et ce qui reste identique

Dans le tableau, a et b sont des parts en pourcentage ; dans la formule, on utilise les nombres devant %. Si b = a, les taux sont égaux ; si b > a, le taux de A dépasse celui de B ; si b < a, il est inférieur, dans les cas non dégénérés décrits précédemment.

Connaître a et b suffit pour R, mais pas pour les taux individuels : il manque C/P. Si C double alors que P, a et b restent constants, les deux taux doublent et leur rapport ne change pas. Le laboratoire permet également de l’observer.

Les données doivent être possibles : A ne peut pas avoir plus de détenus que de personnes, ni B non plus. Par exemple, P = 100, C = 50, a = 10 et b = 40 donneraient 20 détenus dans un groupe de 10 personnes : des données incompatibles.

7. Lire les données sans leur faire dire plus qu’elles ne montrent

Un rapport des taux décrit une différence observée dans l’exemple ; à lui seul, il n’en explique pas les causes et ne permet pas de conclusions sur les individus. Des données sur les détenus ne sont notamment pas automatiquement des taux d’infractions, de condamnations ou d’entrées en prison au cours d’une année.

Avant de calculer, vérifiez la comparabilité de la source, de la période, du territoire, de la définition de l’événement et des catégories. Distinguez les personnes présentes à un instant des événements sur une période ; n’additionnez pas des groupes qui se chevauchent. La structure par âge et d’autres facteurs peuvent aussi modifier la comparaison.

Si les pourcentages publiés sont arrondis, R est aussi une estimation. Les décomptes réels exigent des entiers cohérents ; les quantités décimales obtenues avec des pourcentages arbitraires sont théoriques, pas des personnes fractionnées.

1. Soulignez « par rapport à », « parmi », « du groupe » et « de plus » : ces mots identifient la base ou la comparaison.
2. Écrivez numérateur et dénominateur avant de remplacer les données.
3. Distinguez la part d’un groupe dans un ensemble du taux de l’événement dans ce groupe.
4. Ne comparez les taux qu’après normalisation par les populations respectives.
5. Vérifiez la compatibilité des effectifs, les arrondis et les limites de l’interprétation.

8. La même méthode pour les variations en pourcentage

Pour les variations, la question du dénominateur reste la même : la différence se compare à la valeur initiale, pas à la valeur finale. Le laboratoire permet de chercher la variation, la valeur finale ou la valeur initiale grâce aux formules inverses.

Avec deux variations successives, la seconde utilise comme base la valeur déjà modifiée. +20 % puis −20 % font passer 100 à 120 puis à 96 : on ne revient pas à 100. Après −20 %, il faut au contraire +25 % pour revenir à la valeur initiale. Les fiches dédiées montrent les facteurs, chaque étape et la vérification finale.

Dans les formules de variation, V est la valeur initiale, N la finale et P le nombre signé de la variation en pourcentage ; p et q sont deux variations successives et r celle du retour. Ici, P ne désigne pas la population totale du problème des groupes.

P% = (N − V)/V × 100%
N = V × (100 + P)/100
V = 100 × N/(100 + P)

N = V × (1 + p/100) × (1 + q/100)
r = −100p/(100 + p)

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9. Essayez, puis révélez la solution

Pour chaque question, écrivez d’abord le rapport à calculer. Les solutions restent cachées jusqu’au clic.

Si a = 20 et b = 40, le rapport des taux vaut-il 2 ?

Si a = 30 et b = 15, quel groupe a le taux le plus élevé ?

Avec P = 100000, a = 10 et b = 40, que se passe-t-il si C passe de 1000 à 2000 ?

Le nombre seul ne permet pas de comprendre un pourcentage : il faut connaître la quantité comparée, le total de référence et la question posée.