Percentuali di che cosa? Gruppi, basi diverse e rapporto tra i tassi

«Il gruppo A è il 10% della popolazione, ma il 40% dei detenuti». Sono due percentuali corrette, ma hanno lo stesso denominatore? No: la prima riguarda tutta la popolazione, la seconda soltanto l’insieme dei detenuti. Leggere 40% come se significasse «il 40% di A è detenuto» cambierebbe completamente la frase.

Impariamo a tradurre le parole in frazioni, ricostruire una tabella e distinguere quattro domande: quanti sono, quale quota rappresentano, qual è il tasso interno e qual è il rapporto tra i tassi. I gruppi A e B e tutti i numeri usati qui sono un esempio didattico ipotetico, non dati su popolazioni reali.

Apri il laboratorio delle percentuali: esempi, grafici e passaggi

1. Prima domanda: qual è il totale?

Definiamo P come la popolazione totale e C come il totale dei detenuti. I gruppi A e B sono disgiunti e comprendono tutta P. Il numero a indica la quota percentuale di A nella popolazione; b indica la quota percentuale di A tra i detenuti. Quindi a = 10 significa a% = 10%, non 0,10%.

Il tasso interno ad A è il numero di detenuti di A diviso per l’intera popolazione di A. Per scriverlo in percentuale moltiplichiamo esplicitamente per 100%. Cambiare l’insieme al denominatore cambia la domanda, non soltanto la notazione.

2. Dalle percentuali ai numeri: la tabella A e B

Prendiamo P = 100000, C = 1000, a = 10 e b = 40. A contiene 10000 persone e B ne contiene 90000. Tra i 1000 detenuti, 400 appartengono ad A e 600 a B.

B ha più detenuti in valore assoluto, ma è anche molto più numeroso. Per confrontare i tassi dobbiamo dividere ogni conteggio per la popolazione del proprio gruppo. La tabella affianca teoria ed esempio, senza scambiare le due basi.

3. La formula del rapporto tra i tassi

Scriviamo separatamente i due tassi, poi dividiamoli. Nel rapporto si semplificano sia C/P sia il fattore 100%: R è quindi un numero senza unità di misura, non una percentuale.

Per questa formula supponiamo P > 0, C > 0, 0 < a < 100 e 0 ≤ b < 100. Se b = 100, il tasso di B è zero e il rapporto con il tasso positivo di A non è finito. Se C = 0, entrambi i tassi sono zero e R non è definito. Se a è 0 o 100, manca la popolazione di uno dei gruppi e non possiamo definirne il tasso.

T_A = [(C × b/100)/(P × a/100)] × 100%
    = (C/P) × (b/a) × 100%

T_B = [(C × (100 − b)/100)/(P × (100 − a)/100)] × 100%
    = (C/P) × [(100 − b)/(100 − a)] × 100%

R = T_A/T_B = [b × (100 − a)]/[a × (100 − b)]

R = [40 × (100 − 10)]/[10 × (100 − 40)]
  = (40 × 90)/(10 × 60) = 6

4. Perché 6, 2/3 e 4 rispondono a domande diverse

Il rapporto R = 6 dice che, nel nostro esempio, il tasso di A è sei volte quello di B. Il numero 2/3 confronta invece i conteggi 400 e 600, senza tener conto delle diverse popolazioni. Infine b/a = 4 confronta la presenza di A tra i detenuti con la sua presenza nella popolazione: non confronta direttamente il tasso di A con quello di B.

Essere sei volte un valore significa esserne il 600%, oppure essere superiore del 500%: (6 − 1) × 100% = 500%. «Sei volte» non significa «600% in più». Inoltre 40% − 10% = 30 punti percentuali è una differenza tra quote, non la differenza tra i tassi interni.

Un controllo utile è la media pesata: il tasso dell’intera popolazione è la media dei tassi dei due gruppi, pesata per la loro numerosità. Non possiamo fare la media semplice di 4% e circa 0,667%, perché i gruppi non hanno la stessa dimensione.

T = (a/100) × T_A + ((100 − a)/100) × T_B
  = (10/100) × 4% + (90/100) × (2/3)% = 1%
(C/P) × 100% = (1000/100000) × 100% = 1%

5. Confrontare gruppi della stessa numerosità

Nell’esempio principale i tassi corrispondono a 40 detenuti ogni 1000 persone di A e a circa 6,667 ogni 1000 persone di B. La seconda quantità è una frequenza normalizzata: non descrive una frazione di persona in un conteggio concreto.

Per visualizzare soltanto R = 6, possiamo anche immaginare due gruppi di 1000 persone con rispettivamente 6 e 1 detenuti. I tassi diventano 0,6% e 0,1% e il rapporto è ancora 6. Questo nuovo esempio conserva il rapporto, ma NON i tassi 4% e circa 0,667% del primo esempio.

6. Altri esempi: che cosa cambia e che cosa resta uguale

Nella tabella a e b sono quote percentuali; nella formula usiamo i numeri davanti al simbolo %. Se b = a, i due tassi coincidono; se b > a, il tasso di A supera quello di B; se b < a, è inferiore, nei casi non degeneri descritti sopra.

Conoscere soltanto a e b basta per R, ma non per conoscere i singoli tassi: manca il fattore C/P. Se raddoppiamo C mantenendo P, a e b, raddoppiano entrambi i tassi, mentre il loro rapporto non cambia. Il laboratorio permette di osservare anche questo.

I dati devono essere possibili: non possono esserci più detenuti di A che persone di A, né più detenuti di B che persone di B. Per esempio P = 100, C = 50, a = 10 e b = 40 darebbero 20 detenuti in un gruppo di 10 persone: sono dati incompatibili.

7. Come leggere i dati senza attribuire loro più di ciò che dicono

Un rapporto tra tassi descrive una differenza osservata nell’esempio; da solo non ne spiega le cause e non autorizza conclusioni sui singoli individui. In particolare un dato sui detenuti non coincide automaticamente con un tasso di reati, condanne o ingressi in carcere durante un anno.

Prima di calcolare, controlla che fonte, periodo, territorio, definizione dell’evento e categorie siano confrontabili. Distingui persone presenti in un certo momento da eventi avvenuti in un intervallo; non sommare gruppi sovrapposti. Anche composizione per età e altri fattori possono cambiare il confronto.

Se le percentuali pubblicate sono arrotondate, anche R è una stima. Per conteggi reali occorrono numeri interi coerenti; valori decimali generati da percentuali arbitrarie sono quantità teoriche, non persone frazionate.

1. Sottolinea «rispetto a», «tra», «del gruppo» e «in più»: individuano la base o il confronto.
2. Scrivi numeratore e denominatore prima di sostituire i dati.
3. Distingui la quota di un gruppo dentro un insieme dal tasso dell’evento dentro il gruppo.
4. Confronta i tassi solo dopo aver normalizzato per le rispettive popolazioni.
5. Controlla la compatibilità dei conteggi, gli arrotondamenti e i limiti dell’interpretazione.

8. Lo stesso metodo nelle variazioni percentuali

Nelle variazioni la domanda sul denominatore è la stessa: la differenza si confronta con il valore iniziale, non con quello finale. Nel laboratorio puoi cercare la variazione, il valore finale oppure quello iniziale usando le formule inverse.

Con due variazioni successive la base del secondo calcolo è il valore già modificato. Un +20% seguito da −20% porta 100 a 120 e poi a 96: non torna a 100. Dopo un −20% serve invece un +25% per tornare al valore iniziale. Le schede dedicate mostrano i fattori, ogni passaggio e il controllo finale.

Nelle formule delle variazioni V è il valore iniziale, N quello finale e P il numero con segno della variazione percentuale; p e q sono due variazioni successive e r quella di ritorno. In questa parte P non indica la popolazione totale del problema dei gruppi.

P% = (N − V)/V × 100%
N = V × (100 + P)/100
V = 100 × N/(100 + P)

N = V × (1 + p/100) × (1 + q/100)
r = −100p/(100 + p)

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9. Prova tu, poi rivela la soluzione

Per ogni domanda scrivi prima il rapporto che intendi calcolare. Le soluzioni restano nascoste fino al clic.

Se a = 20 e b = 40, il rapporto tra i tassi è 2?

Se a = 30 e b = 15, quale gruppo ha il tasso maggiore?

Con P = 100000, a = 10 e b = 40, che cosa accade se C passa da 1000 a 2000?

Una percentuale non si comprende dal solo numero: occorrono la quantità confrontata, il totale di riferimento e la domanda a cui si vuole rispondere.