Calcular √2: del método babilónico a Newton

Primer artículo presentó bisección, Newton y Taylor. Profundizamos: ¿cómo calcular √2 y saber qué cifras son fiables? Empezamos sin derivadas y luego derivamos Newton para otras ecuaciones. Lo esencial: distinguir cifra mostrada de cifra demostrada.

Raíces y Newton: laboratorio · Artículo introductorio de aproximaciones

1. √2 es exacta; un decimal finito no

Diagonal de cuadrado unidad es √2. De inmediato 1<√2<2 por 1²<2<2². Símbolo identifica exactamente positivo de cuadrado 2; 1,4142 es aproximación. Primer control no requiere calculadora.

1,4142²=1,99996164<2
1,4143²=2,00024449>2
1,4142<√2<1,4143

√2 irracional: p/q irreducible implica p²=2q² y p par; p=2k da q²=2k² y q también par: contradicción. Fracciones y decimales finitos no son √2 pero pueden encerrarla cada vez mejor.

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2. Fórmula práctica usando cuadrado cercano

Sea N>0. Elegir cuadrado perfecto cercano M y m=√M>0. Primera estimación (N+M)/(2√M). Para √29 M=25,m=5 da 54/10=5,4; para √2 M=1 da 3/2=1,5. Aproximaciones, no igualdades.

q=(N+M)/(2√M)
q=(m²+N)/(2m)=(m+N/m)/2

Fórmula ya promedia m y N/m. Cuadrado perfecto solo proporciona inicio fácil; estimaciones posteriores no necesitan ser raíces de cuadrados perfectos.

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3. Por qué estimación siempre es cota superior

Cuadrado de diferencia no negativo. Aplicarlo a √N y √M y dividir por 2√M positivo da cota superior y fórmula exacta de error.

(√N−√M)²≥0
N+M≥2√N√M
q≥√N
q−√N=(√N−√M)²/(2√M)
=(N−M)²/[2√M(√N+√M)²]

Igualdad solo si N=M. Diferencia pequeña de raíces se eleva al cuadrado: explica buena primera estimación. Elegir cuadrado más cercano es regla práctica, no teorema de optimalidad universal.

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4. Método babilónico: repetir promedio

Imaginar rectángulo área N con lados x y N/x. Si x es demasiado grande, N/x demasiado pequeño; promediar acerca nueva pareja a cuadrado. Método babilónico, también de Herón, repite operación desde cualquier x₀>0.

xₙ₊₁=(xₙ+N/xₙ)/2, N>0, x₀>0

No necesita derivadas. Tras primer paso estimación al menos √N, incluso si x₀ era inferior. Luego decrece salvo exactitud y queda encima. Límite cumple ℓ=(ℓ+N/ℓ)/2, así ℓ²=N y ℓ=√N. N=0 daría x/2, caso distinto.

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5. √2 paso a paso, con fracciones exactas

Poner N=2,x₀=1. Cada fila usa resultado anterior, no valor impreso redondeado. Fracciones permiten primeros cálculos sin redondeo.

x₁=(1+2)/2=3/2
x₂=(3/2+4/3)/2=17/12
x₃=(17/12+24/17)/2=577/408
x₄=665857/470832
x₅=886731088897/627013566048

Velocidad notable, pero cifras mostradas no bastan. Computadora puede repetir cifras por redondeo. Construimos control sin tomar su √2 como demostración.

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6. Cotas y cifras verificadas sin conocer raíz

Para todo x>0, x y N/x quedan en lados opuestos de √N o iguales. Su mínimo y máximo la encierran. Tras paso babilónico x es extremo superior. N y x racionales dan extremos exactos.

L=min(x,N/x), U=max(x,N/x)
L≤√N≤U
0≤U−√N≤U−L
x=577/408 → 816/577<√2<577/408

Para verificar redondeo a d decimales, redondear extremos con misma regla: si coinciden, raíz también. Laboratorio compara fracciones con enteros de precisión arbitraria, no extremos ya redondeados a 15 cifras. Las 24 decimales son límite de visualización, no precisión de Number.

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7. Por qué error disminuye tan deprisa

Escribir s=√N,eₙ=xₙ−s. Sustituir N=s² y reagrupar da cuadrado perfecto. Identidad exacta, no aproximación Taylor.

xₙ₊₁−s=(xₙ²+s²−2xₙs)/(2xₙ)
eₙ₊₁=eₙ²/(2xₙ)

Cerca de s>0 denominador se acerca a 2s y error se eleva esencialmente al cuadrado: convergencia cuadrática. Cifras correctas aproximadamente duplican hasta límite aritmético. No duplicación exacta por paso ni precisión infinita con aritmética fija.

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8. √29 y otros números: misma regla, nuevos datos

Para N=29,x₀=5: x₁=5,4 y x₂=5,385185185… . Raíz aproximadamente 5,385164807…; diferencia aproximada 0,000020378 tras dos pasos. Segundo usa 5,4 exacto, no estimación independiente.

x₂=(27/5+145/27)/2=727/135

Se permite M>N: √80 con M=81 da 161/18≈8,944444, aún por exceso. Para N=2 M=1 y M=4 dan ambos 1,5. Comparar elecciones enseña más que confiar ciegamente en «cercano».

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9. Newton: del caso particular a regla general

Método babilónico precede mucho a Newton. En este recorrido Newton generaliza idea: buscar cero de f, no solo raíz cuadrada. Generalización matemática, no afirmar que inventara método antiguo. Desde aquí se necesitan derivadas; primera parte sigue elemental.

Cerca de xₙ sustituir gráfica por tangente. Su corte con eje horizontal da siguiente estimación. Escribir ecuación, poner y=0 y despejar xₙ₊₁.

y=f(xₙ)+f′(xₙ)(x−xₙ)
0=f(xₙ)+f′(xₙ)(xₙ₊₁−xₙ)
f′(xₙ)(xₙ₊₁−xₙ)=−f(xₙ)
xₙ₊₁=xₙ−f(xₙ)/f′(xₙ), f′(xₙ)≠0

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10. Derivación completa para √N

Para √N elegir f=x²−N, cuyo cero positivo es raíz buscada, y f′=2x. Sustituir y simplificar cada paso: se recupera exactamente método babilónico.

xₙ₊₁=xₙ−(xₙ²−N)/(2xₙ)
=(2xₙ²−xₙ²+N)/(2xₙ)
=(xₙ²+N)/(2xₙ)
=(xₙ+N/xₙ)/2

Hipótesis importan. Para N>0,x₀>0 método especializado tiene convergencia global positiva demostrada. Newton general no hereda garantía. Cerca de cero simple con derivada no nula y regularidad suficiente, convergencia normalmente cuadrática; lejos puede fallar.

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11. Otras raíces: ∛N y raíces de orden k

Para ∛N resolver x³−N=0 con derivada 3x². No copiar promedio cuadrático sin cambios: peso de x pasa a 2 y divisor a 3.

xₙ₊₁=xₙ−(xₙ³−N)/(3xₙ²)
=(2xₙ+N/xₙ²)/3
N=2, x₀=1 → x₁=4/3 → x₂=91/72
∛2≈1,259921049894873

Para entero k≥2,N>0, Newton en xᵏ−N da ((k−1)x+N/xᵏ⁻¹)/k. Partir positivo para raíz positiva. Potencia perfecta cercana no es necesaria, pero inicio razonable limita coste y operaciones extremas.

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12. Ecuación distinta: cos x=x

Poner f=cos x−x,f′=−sin x−1, radianes. Desde 1: aproximadamente 0,750364,0,739113,0,739085. Ya no es promedio de x y N/x: usa función y derivada.

xₙ₊₁=xₙ−(cos xₙ−xₙ)/(−sin xₙ−1)
x*≈0,7390851332151607

En [0,1], continuidad y signos f(0)>0,f(1)<0 garantizan cero; f′<0 da unicidad. Intervalo es información distinta de sucesión Newton: gráfica convincente no prueba existencia.

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13. Bisección, secante y Halley: diferencias

Bisección conserva intervalo con signos opuestos y lo divide: ancho inicial w, error de punto medio ≤w/2ⁿ⁺¹ tras n divisiones. Más lenta pero controlada. Secante reemplaza f′ por pendiente entre dos puntos y no garantiza conservar intervalo.

xₙ₊₁=xₙ−f(xₙ)(xₙ−xₙ₋₁)/(f(xₙ)−f(xₙ₋₁))

Halley ofrece otra comparación. Para raíz cuadrada usa fórmula inferior e identidad cúbica exacta con s=√N: potencialmente más rápido, pero cada paso cuesta más operaciones. Contar solo iteraciones no compara coste justamente.

H(x)=x(x²+3N)/(3x²+N)
H(x)−s=(x−s)³/(3x²+s²)
N=2, x₀=1 → x₁=7/5=1,4

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14. Cuándo Newton falla o se ralentiza

Derivada nula: f=x³−1,x₀=0 tiene f′(0)=0,f(0)=−1; no hay paso aunque raíz 1 existe. Ciclo: f=x³−2x+2 desde 0 pasa a 1 y vuelve a 0. Divisiones válidas no garantizan convergencia.

f=x³−2x+2
0−2/(−2)=1
1−1/1=0
0 → 1 → 0 → 1 → …

Raíz múltiple: f=(x−1)² da xₙ₊₁=(xₙ+1)/2, error solo se divide por dos: convergencia lineal. Con multiplicidad 2 conocida, x−2f/f′ llega a 1 en paso desde x≠1; ya en 1 no dividir 0/0. Dominios, saltos enormes y otra raíz son otros riesgos.

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15. Residuo, tamaño de paso y error no son sinónimos

Residuo |f(xₙ)|, paso |xₙ₊₁−xₙ|, error distancia a cero real. Residuo pequeño no implica error igual: para f=(x−1)² residuo 10⁻¹² significa error 10⁻⁶. Paso máquina cero puede ser estancamiento, no exactitud.

|x−√N|=|x²−N|/(x+√N), x>0

Para raíces cuadradas usar intervalos demostrados. En general, si |f′|≥m>0 entre estimación y raíz, teorema del valor medio da error≤|f(x)|/m. Sin hipótesis, comprobar residuo y paso es útil, no certificación universal. Limitar iteraciones y gestionar fallos.

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16. Laboratorio: de explicación a experimento

Nuevo laboratorio complementa, no reemplaza, introducción bisección/Newton/Taylor. Nueve experimentos, datos editables y paso por segundo. Gráfica de función y tangente o secante; intervalo para bisección; rectángulo área N para método babilónico.

Tabla distingue estimación, residuo, paso y error frente a referencia numérica, último solo diagnóstico. En modo babilónico fracciones exactas verifican independientemente cifras redondeadas; abrir extremos para comprobar. Coordenadas de gráfica y punto siguen aproximadas incluso con fracción exacta.

Probar √29 desde 5; comparar √2 con bisección, babilónico y Halley; después ∛2 y cos x=x. Finalmente ciclo 0↔1 y derivada nula. Comparar velocidad y condiciones de confianza.

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Ejercicios: intenta antes de revelar

1. Verifica 1,4142<√2<1,4143 sin tecla raíz.

2. Calcula dos pasos para √29 desde 5.

3. ¿Se puede elegir M=81 para √80?

4. Para √2 compara M=1 y M=4.

5. ¿Inicio bajo √N da primer paso también inferior?

6. Prueba 816/577<√2<577/408 solo con enteros.

7. Deriva iteración babilónica de Newton.

8. Primer paso Newton para ∛2 desde 1.

9. ¿Cómo plantear Newton para cos x=x?

10. ¿Por qué 0→1→0 no es convergencia?

11. ¿Residuo 10⁻¹² para (x−1)² significa error 10⁻¹²?

12. Halley para √2 desde 1: compara primer paso.

Artículo introductorio de aproximaciones · Laboratorio introductorio: bisección, Newton y Taylor · Derivadas: del cociente incremental a la tangente y sus aplicaciones

Para profundizar

OpenStax · Newton’s method