Nel primo articolo sulle approssimazioni abbiamo incontrato bisezione, Newton e Taylor. Qui approfondiamo una domanda concreta: come si calcola √2, e come possiamo sapere quali cifre sono affidabili? Partiamo da un procedimento elementare, senza derivate; poi ricaviamo Newton come estensione a equazioni molto diverse. Il passaggio più importante è distinguere una cifra visualizzata da una cifra dimostrata.
Radici e Newton: laboratorio · Articolo introduttivo sulle approssimazioni
1. √2 è esatta; una sua scrittura decimale finita no
La diagonale di un quadrato di lato 1 ha lunghezza √2. Sappiamo subito che 1<√2<2, perché 1²<2<2². Il simbolo √2 identifica esattamente il numero positivo il cui quadrato è 2; 1,4142 è invece un’approssimazione. Non occorre aspettare un calcolatore per costruire un primo controllo.
1,4142²=1,99996164<2
1,4143²=2,00024449>2
1,4142<√2<1,4143
√2 è irrazionale. Se fosse p/q con p,q interi coprimi, p²=2q² renderebbe p pari; scrivendo p=2k avremmo q²=2k² e anche q pari, contro l’ipotesi. Una frazione o un decimale finito non possono quindi coincidere con √2, ma possono racchiuderla con precisione crescente.
2. Una formula pratica usando un quadrato vicino
Sia N>0. Scegliamo un quadrato perfetto M vicino a N e poniamo m=√M>0. La prima stima è (N+M)/(2√M). Per √29 scegliamo M=25, m=5: otteniamo 54/10=5,4. Per √2 possiamo scegliere M=1: otteniamo 3/2=1,5. Non stiamo affermando un’uguaglianza con la radice.
q=(N+M)/(2√M)
q=(m²+N)/(2m)=(m+N/m)/2
La formula pratica è quindi già una media tra due numeri: m e N/m. Il quadrato perfetto serve per ottenere facilmente il primo m; non è necessario che le stime successive siano radici di quadrati perfetti.
3. Perché la stima è sempre per eccesso
Il quadrato di una differenza è non negativo. Applichiamo questo fatto a √N e √M e dividiamo per il numero positivo 2√M. Otteniamo non solo il verso della stima, ma una formula esatta per il suo errore matematico.
(√N−√M)²≥0
N+M≥2√N√M
q≥√N
q−√N=(√N−√M)²/(2√M)
=(N−M)²/[2√M(√N+√M)²]
L’uguaglianza si ha solo per N=M. Se le due radici sono vicine, la loro differenza viene elevata al quadrato: ecco perché il primo tentativo può essere già buono. “Scegli il quadrato più vicino” è una comoda regola iniziale, non un teorema sull’ottimo assoluto tra tutte le stime possibili.
4. Il metodo babilonese: ripetere la media
Immagina un rettangolo di area N con lati x e N/x. Se x è troppo grande, N/x è troppo piccolo; fare la media rende la nuova coppia di lati più simile a quella di un quadrato. Il metodo babilonese, detto anche metodo di Erone, ripete questa operazione partendo da un qualunque x₀>0.
xₙ₊₁=(xₙ+N/xₙ)/2, N>0, x₀>0
La formula non richiede derivate. Dopo il primo aggiornamento la stima è sempre almeno √N, anche se x₀ era per difetto. Da quel momento le stime decrescono, salvo il caso già esatto, e restano sopra la radice. Il limite deve soddisfare ℓ=(ℓ+N/ℓ)/2, quindi ℓ²=N e ℓ=√N. Per N=0 la formula diventa x/2: è un caso distinto, non quello studiato qui.
5. √2 passo passo, anche con frazioni esatte
Poniamo N=2 e partiamo da x₀=1. Ogni nuova riga usa il risultato precedente, non il valore arrotondato stampato in tabella. Le frazioni permettono di svolgere i primi calcoli senza introdurre alcun arrotondamento.
x₁=(1+2)/2=3/2
x₂=(3/2+4/3)/2=17/12
x₃=(17/12+24/17)/2=577/408
x₄=665857/470832
x₅=886731088897/627013566048
| n | xₙ ≈ | 2/xₙ ≈ | Ampiezza intervallo ≈ | Decimali verificati |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 1 | — |
| 1 | 1,5 | 1,333333333333 | 0,166666666667 | — |
| 2 | 1,416666666667 | 1,411764705882 | 0,004901960784 | 1 |
| 3 | 1,414215686275 | 1,414211438475 | 0,0000042478 | 4 |
| 4 | 1,414213562375 | 1,414213562372 | 3.18972e-12 | 11 |
| 5 | 1,414213562373 | 1,414213562373 | 1.79859e-24 | 23 |
La rapidità è impressionante, ma non basta guardare quante cifre compaiono. Un computer può stampare molte cifre identiche per semplice arrotondamento. Nella prossima sezione costruiamo un controllo che non usa √2 calcolata dalla macchina come prova.
6. Intervalli e cifre controllate senza conoscere la radice
Per qualunque x>0, i numeri x e N/x stanno ai due lati di √N, oppure coincidono con essa. Possiamo dunque prendere come estremi il minore e il maggiore dei due. Dopo un passo babilonese x è il maggiore. Con N e x razionali entrambi gli estremi sono frazioni esatte.
L=min(x,N/x), U=max(x,N/x)
L≤√N≤U
0≤U−√N≤U−L
x=577/408 → 816/577<√2<577/408
Per verificare l’arrotondamento a d decimali, arrotondiamo entrambi gli estremi con la stessa regola: se danno lo stesso numero, anche la radice deve arrotondarsi a quel numero. Nel laboratorio le frazioni vengono confrontate con interi di precisione arbitraria, non con due estremi già arrotondati a 15 cifre. “24 decimali verificati” è il limite scelto per la visualizzazione, non una promessa sulla precisione del tipo Number di JavaScript.
7. Perché l’errore si riduce così rapidamente
Scriviamo s=√N ed eₙ=xₙ−s. Sostituendo N=s² nella formula e raccogliendo, il numeratore diventa un quadrato perfetto. Questa identità è esatta, non un’approssimazione di Taylor.
xₙ₊₁−s=(xₙ²+s²−2xₙs)/(2xₙ)
eₙ₊₁=eₙ²/(2xₙ)
Vicino a s>0, il denominatore è vicino a 2s e l’errore viene essenzialmente elevato al quadrato: è convergenza quadratica. Il numero di cifre corrette tende circa a raddoppiare, finché l’aritmetica disponibile lo permette. Questo non significa raddoppiare esattamente a ogni passo né ottenere infinite cifre da un calcolo in precisione fissa.
8. √29 e altri numeri: stessa formula, nuovi dati
Per N=29 e x₀=5 otteniamo x₁=5,4 e x₂=5,385185185… . La radice vale circa 5,385164807…: dopo due aggiornamenti la differenza è circa 0,000020378. Il secondo aggiornamento va calcolato con 5,4 esatto, non con un’altra stima scelta indipendentemente.
x₂=(27/5+145/27)/2=727/135
| N | M | Stima iniziale ≈ | Riferimento numerico ≈ |
|---|---|---|---|
| 10 | 9 | 3,166666666667 | 3,162277660168 |
| 17 | 16 | 4,125 | 4,123105625618 |
| 29 | 25 | 5,4 | 5,385164807135 |
| 50 | 49 | 7,071428571429 | 7,071067811865 |
| 80 | 81 | 8,944444444444 | 8,944271909999 |
| 99 | 100 | 9,95 | 9,949874371066 |
Anche M>N è ammesso: per √80 usiamo M=81 e otteniamo 161/18≈8,944444, ancora per eccesso. Per N=2 sia M=1 sia M=4 danno 1,5. Confrontare due scelte è spesso più istruttivo che affidarsi ciecamente alla parola “vicino”.
9. Newton: dal caso speciale a una regola generale
Il metodo babilonese precede di molto Newton. Nel nostro percorso didattico, Newton ne estende l’idea: invece di cercare soltanto una radice quadrata, cerchiamo uno zero di una funzione f. Questa è una generalizzazione matematica, non l’affermazione che Newton abbia inventato il procedimento babilonese. Da qui servono le derivate; la parte precedente rimane interamente elementare.
Vicino alla stima xₙ sostituiamo il grafico con la sua tangente. Il punto in cui questa retta incontra l’asse orizzontale diventa la nuova stima. Scriviamo l’equazione della tangente, imponiamo y=0 e isoliamo xₙ₊₁.
y=f(xₙ)+f′(xₙ)(x−xₙ)
0=f(xₙ)+f′(xₙ)(xₙ₊₁−xₙ)
f′(xₙ)(xₙ₊₁−xₙ)=−f(xₙ)
xₙ₊₁=xₙ−f(xₙ)/f′(xₙ), f′(xₙ)≠0
10. La derivazione completa per √N
Per trovare √N scegliamo f(x)=x²−N, perché il suo zero positivo è proprio la radice cercata. La derivata è f′(x)=2x. Sostituiamo nella formula di Newton e semplifichiamo ogni passaggio: ritroviamo esattamente il metodo babilonese, non soltanto qualcosa di simile.
xₙ₊₁=xₙ−(xₙ²−N)/(2xₙ)
=(2xₙ²−xₙ²+N)/(2xₙ)
=(xₙ²+N)/(2xₙ)
=(xₙ+N/xₙ)/2
Le ipotesi contano. Con N>0 e x₀>0 il metodo specializzato ha la convergenza globale positiva dimostrata prima. Per una funzione qualsiasi Newton non eredita automaticamente questa garanzia. Vicino a uno zero semplice, con derivata non nulla e regolarità sufficiente, la convergenza è normalmente quadratica; lontano dallo zero può fallire.
11. Altre radici: ∛N e radici k-esime
Per ∛N risolviamo x³−N=0 e usiamo la derivata 3x². Non si può copiare la media aritmetica del caso quadratico senza cambiare i coefficienti. Il peso di x diventa 2 e il divisore diventa 3.
xₙ₊₁=xₙ−(xₙ³−N)/(3xₙ²)
=(2xₙ+N/xₙ²)/3
N=2, x₀=1 → x₁=4/3 → x₂=91/72
∛2≈1,259921049894873
Per un intero k≥2 e N>0, Newton applicato a xᵏ−N dà ((k−1)x+N/xᵏ⁻¹)/k. Si parte da x>0 per cercare la radice positiva. La formula è utile anche quando il numero non è vicino a una potenza perfetta; una scelta iniziale ragionevole resta importante per il costo e per evitare operazioni numericamente estreme.
12. Un’equazione diversa: cos x=x
Scriviamo f(x)=cos x−x e f′(x)=−sin x−1. Gli angoli sono in radianti. Partendo da 1, le prime stime sono circa 0,750364, 0,739113 e 0,739085. Qui non stiamo più facendo una media tra x e N/x: la correzione usa davvero la funzione e la sua derivata.
xₙ₊₁=xₙ−(cos xₙ−xₙ)/(−sin xₙ−1)
x*≈0,7390851332151607
Su [0,1], f(0)=1>0 e f(1)=cos1−1<0: la continuità garantisce uno zero. Inoltre f′<0, quindi su quell’intervallo lo zero è unico. Un intervallo iniziale è un’informazione matematica separata dalla sequenza di Newton: non bisogna confondere il grafico convincente con una prova di esistenza.
13. Bisezione, secante e Halley: che cosa cambia
La bisezione mantiene un intervallo con cambio di segno e lo dimezza: su un intervallo iniziale di ampiezza w, dopo n dimezzamenti il punto medio ha errore al più w/2ⁿ⁺¹. È più lenta ma fornisce un controllo immediato. La secante sostituisce f′ con la pendenza tra due punti; non richiede la derivata, ma non garantisce di conservare un intervallo.
xₙ₊₁=xₙ−f(xₙ)(xₙ−xₙ₋₁)/(f(xₙ)−f(xₙ₋₁))
Un altro confronto interessante è Halley. Nel caso della radice quadrata la sua formula è quella sotto. Se s=√N, l’errore soddisfa una relazione cubica esatta: può ridursi ancora più rapidamente, ma il passo richiede più operazioni. Contare soltanto le iterazioni non confronta correttamente il costo dei metodi.
H(x)=x(x²+3N)/(3x²+N)
H(x)−s=(x−s)³/(3x²+s²)
N=2, x₀=1 → x₁=7/5=1,4
14. Quando Newton fallisce o rallenta
Derivata nulla: per f=x³−1, x₀=0 dà f′(0)=0 ma f(0)=−1; la tangente è orizzontale e il passo non è definito, benché esista la radice 1. Ciclo: per f=x³−2x+2, partendo da 0 si passa a 1 e poi torna a 0. Una divisione consentita non garantisce quindi convergenza.
f=x³−2x+2
0−2/(−2)=1
1−1/1=0
0 → 1 → 0 → 1 → …
Radice multipla: per f=(x−1)², Newton dà xₙ₊₁=(xₙ+1)/2, quindi l’errore si dimezza soltanto: convergenza lineare. Se conosciamo la molteplicità 2, la correzione modificata x−2f/f′ raggiunge 1 in un passo da x≠1; se siamo già in 1 non si deve dividere 0 per 0. Esistono anche problemi di dominio, salti enormi e convergenza verso uno zero diverso da quello desiderato.
15. Residuo, scarto ed errore non sono sinonimi
Il residuo è |f(xₙ)|; lo scarto è |xₙ₊₁−xₙ|; l’errore è la distanza dallo zero vero. Un residuo piccolo non è automaticamente un errore altrettanto piccolo: per f=(x−1)², residuo 10⁻¹² corrisponde a errore 10⁻⁶. Uno scarto nullo in aritmetica macchina può indicare stagnazione, non una soluzione esatta.
|x−√N|=|x²−N|/(x+√N), x>0
Per la radice quadrata possiamo usare gli intervalli dimostrati sopra. Per una funzione generale, se sappiamo |f′|≥m>0 tra stima e radice, il teorema del valor medio dà errore≤|f(x)|/m. Senza ipotesi, sommare un criterio sul residuo e uno sullo scarto è un buon controllo operativo, non una certificazione universale. Servono anche un limite alle iterazioni e una gestione esplicita degli errori.
16. Il laboratorio: dalla spiegazione all’esperimento
Il nuovo laboratorio affianca, senza sostituirlo, quello introduttivo su bisezione, Newton e Taylor. Scegli uno dei nove esperimenti, modifica i dati e avanza un passo al secondo. Il grafico mostra la funzione e la tangente o la secante del passo corrente; per la bisezione mostra l’intervallo, per il metodo babilonese anche il rettangolo di area N.
La tabella distingue stima, residuo, scarto ed errore rispetto a un riferimento numerico. Quest’ultimo è solo un confronto diagnostico. Nel caso babilonese le frazioni esatte danno invece un vero controllo indipendente delle cifre arrotondate della radice: puoi aprirle per verificare gli estremi. Le cifre del punto mobile e del grafico rimangono approssimate, anche quando la frazione sottostante è esatta.
Prova √29 con partenza 5; confronta √2 con bisezione, babilonese e Halley; poi passa a ∛2 e cos x=x. Infine osserva il ciclo 0↔1 e la derivata nulla. Il confronto mette in luce sia la velocità sia le condizioni necessarie per fidarsi di un algoritmo.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Verifica 1,4142<√2<1,4143 senza usare il tasto radice.
Mostra la soluzione ragionata
1,4142²=1,99996164<2 e 1,4143²=2,00024449>2. Poiché il quadrato è crescente per numeri positivi, la radice è strettamente fra i due estremi.
2. Calcola le prime due stime per √29 da 5.
Mostra la soluzione ragionata
x₁=(5+29/5)/2=27/5=5,4. x₂=(27/5+145/27)/2=727/135≈5,385185185. Sono entrambi valori per eccesso; non sono radici esatte.
3. Si può scegliere M=81 per approssimare √80?
Mostra la soluzione ragionata
Sì: (80+81)/(2·9)=161/18≈8,944444. La prova con il quadrato della differenza vale anche se M>N, quindi la stima resta per eccesso.
4. Per √2 confronta M=1 e M=4.
Mostra la soluzione ragionata
M=1 dà (2+1)/2=1,5. M=4 dà (2+4)/(2·2)=1,5. Due partenze diverse, 1 e 2, producono lo stesso primo aggiornamento perché sono i due lati del rettangolo di area 2.
5. Se la partenza è sotto √N, anche il primo aggiornamento è sotto?
Mostra la soluzione ragionata
No: x₁−√N=(x₀−√N)²/(2x₀)≥0 per x₀>0. La nuova stima è sempre per eccesso o esatta. La monotonia decrescente riguarda le stime dal primo aggiornamento in poi.
6. Giustifica 816/577<√2<577/408 con soli interi.
Mostra la soluzione ragionata
577²=332929 e 2·408²=332928: il limite superiore ha quadrato >2. 816²=665856 e 2·577²=665858: il limite inferiore ha quadrato <2. I denominatori sono positivi.
7. Ricava la formula babilonese da Newton.
Mostra la soluzione ragionata
Per f=x²−N e f′=2x: x−(x²−N)/(2x)=(2x²−x²+N)/(2x)=(x²+N)/(2x)=(x+N/x)/2. Serve x≠0; per la radice positiva scegliamo x>0.
8. Primo passo di Newton per ∛2 da 1.
Mostra la soluzione ragionata
f=x³−2,f′=3x². x₁=1−(1−2)/3=4/3. La regola generale è (2x+2/x²)/3, non (x+2/x)/2.
9. Come si imposta Newton per cos x=x?
Mostra la soluzione ragionata
Scrivi f=cos x−x,f′=−sin x−1, con radianti. Da x₀=1 ottieni circa 0,750364 e poi 0,739113. Non usare gradi nella funzione trigonometrica.
10. Perché 0→1→0 non è convergenza?
Mostra la soluzione ragionata
Per f=x³−2x+2, f(0)=2 e f(1)=1: nessuno dei due punti è zero. La sequenza alterna due valori distinti e non ha limite. Il numero di passi da solo non migliora la stima.
11. Residuo 10⁻¹² per (x−1)² significa errore 10⁻¹²?
Mostra la soluzione ragionata
No: |x−1|=√10⁻¹²=10⁻⁶. La radice è doppia, f′ si annulla nella soluzione e Newton ordinario dimezza l’errore, senza convergenza quadratica.
12. Halley per √2 da 1: confronta il primo passo.
Mostra la soluzione ragionata
Halley dà 1·(1+6)/(3+2)=7/5=1,4; il babilonese dà 1,5. Halley parte qui per difetto, il babilonese per eccesso. Essere più vicino in un passo non basta per confrontare il costo completo.
Articolo introduttivo sulle approssimazioni · Laboratorio introduttivo: bisezione, Newton e Taylor · Derivate: dal rapporto incrementale alla tangente e alle applicazioni