Le premier article présentait dichotomie, Newton et Taylor. Approfondissons : comment calculer √2 et savoir quels chiffres sont fiables ? D’abord un procédé élémentaire sans dérivées, puis Newton étendu à d’autres équations. L’essentiel est de distinguer chiffre affiché et chiffre démontré.
Racines et Newton : laboratoire · Article introductif sur les approximations
1. √2 est exacte ; un décimal fini ne l’est pas
La diagonale du carré unité vaut √2. Immédiatement 1<√2<2 car 1²<2<2². Le symbole identifie exactement le positif de carré 2 ; 1,4142 est une approximation. Un premier contrôle ne nécessite aucun calculateur.
1,4142²=1,99996164<2
1,4143²=2,00024449>2
1,4142<√2<1,4143
√2 est irrationnelle : p/q irréductible impliquerait p²=2q², donc p pair ; p=2k donne q²=2k² et q pair aussi, contradiction. Fractions et décimaux finis ne peuvent être √2 mais peuvent l’encadrer toujours mieux.
2. Une formule pratique avec un carré proche
Soit N>0. Choisir un carré parfait proche M et m=√M>0. Première estimation (N+M)/(2√M). Pour √29, M=25,m=5 donne 54/10=5,4 ; pour √2, M=1 donne 3/2=1,5. Ce sont des approximations, pas des égalités.
q=(N+M)/(2√M)
q=(m²+N)/(2m)=(m+N/m)/2
La formule moyenne déjà m et N/m. Le carré parfait fournit seulement un départ facile ; les estimations suivantes n’ont pas à être des racines de carrés parfaits.
3. Pourquoi l’estimation est toujours une majoration
Un carré de différence est non négatif. L’appliquer à √N et √M puis diviser par 2√M positif donne à la fois la majoration et une formule exacte d’erreur.
(√N−√M)²≥0
N+M≥2√N√M
q≥√N
q−√N=(√N−√M)²/(2√M)
=(N−M)²/[2√M(√N+√M)²]
Égalité seulement si N=M. Une petite différence des racines est mise au carré, d’où une bonne première estimation. Choisir le carré le plus proche est une règle pratique, pas un théorème d’optimalité universel.
4. Méthode babylonienne : répéter la moyenne
Imaginer un rectangle d’aire N, côtés x et N/x. Si x est trop grand, N/x est trop petit ; la moyenne rapproche la nouvelle paire d’un carré. La méthode babylonienne, dite aussi de Héron, répète cela depuis n’importe quel x₀>0.
xₙ₊₁=(xₙ+N/xₙ)/2, N>0, x₀>0
Aucune dérivée nécessaire. Après une étape la valeur est au moins √N, même si x₀ était trop petit. Ensuite elle décroît, sauf exactitude, en restant au-dessus. Limite ℓ=(ℓ+N/ℓ)/2, donc ℓ²=N et ℓ=√N. N=0 donnerait x/2, cas distinct.
5. √2 pas à pas, avec fractions exactes
Posons N=2,x₀=1. Chaque ligne utilise le résultat précédent, non sa version affichée arrondie. Les fractions rendent les premiers calculs exacts.
x₁=(1+2)/2=3/2
x₂=(3/2+4/3)/2=17/12
x₃=(17/12+24/17)/2=577/408
x₄=665857/470832
x₅=886731088897/627013566048
| n | xₙ ≈ | 2/xₙ ≈ | Largeur intervalle ≈ | Décimales vérifiées |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 1 | — |
| 1 | 1,5 | 1,333333333333 | 0,166666666667 | — |
| 2 | 1,416666666667 | 1,411764705882 | 0,004901960784 | 1 |
| 3 | 1,414215686275 | 1,414211438475 | 0,0000042478 | 4 |
| 4 | 1,414213562375 | 1,414213562372 | 3.18972e-12 | 11 |
| 5 | 1,414213562373 | 1,414213562373 | 1.79859e-24 | 23 |
La vitesse frappe, mais les chiffres affichés ne suffisent pas. Un ordinateur peut répéter des chiffres par simple arrondi. Construisons un contrôle sans prendre son √2 comme preuve.
6. Bornes et chiffres vérifiés sans connaître la racine
Pour tout x>0, x et N/x encadrent √N ou lui sont égaux. Leur minimum et maximum donnent les bornes. Après une étape babylonienne x est la borne supérieure. N et x rationnels donnent des bornes rationnelles exactes.
L=min(x,N/x), U=max(x,N/x)
L≤√N≤U
0≤U−√N≤U−L
x=577/408 → 816/577<√2<577/408
Pour vérifier l’arrondi à d décimales, arrondir les deux bornes avec la même règle : si elles concordent, la racine aussi. Le laboratoire compare les fractions par entiers de précision arbitraire, non des bornes déjà arrondies à 15 chiffres. Les 24 décimales sont une limite d’affichage, non la précision du type Number.
7. Pourquoi l’erreur décroît si vite
Écrivons s=√N,eₙ=xₙ−s. Substitution N=s² et regroupement donnent un carré parfait. Identité exacte, non approximation de Taylor.
xₙ₊₁−s=(xₙ²+s²−2xₙs)/(2xₙ)
eₙ₊₁=eₙ²/(2xₙ)
Près de s>0 le dénominateur approche 2s et l’erreur est essentiellement mise au carré : convergence quadratique. Les chiffres corrects doublent approximativement, jusqu’à la limite arithmétique. Ni doublement exact à chaque pas ni précision infinie en arithmétique fixe.
8. √29 et autres nombres : même règle, autres données
Pour N=29,x₀=5 : x₁=5,4 puis x₂=5,385185185… . Racine environ 5,385164807… ; différence environ 0,000020378 après deux mises à jour. La deuxième utilise exactement 5,4, non une estimation indépendante.
x₂=(27/5+145/27)/2=727/135
| N | M | Estimation initiale ≈ | Référence numérique ≈ |
|---|---|---|---|
| 10 | 9 | 3,166666666667 | 3,162277660168 |
| 17 | 16 | 4,125 | 4,123105625618 |
| 29 | 25 | 5,4 | 5,385164807135 |
| 50 | 49 | 7,071428571429 | 7,071067811865 |
| 80 | 81 | 8,944444444444 | 8,944271909999 |
| 99 | 100 | 9,95 | 9,949874371066 |
M>N est permis : √80 avec M=81 donne 161/18≈8,944444, toujours par excès. Pour N=2, M=1 et M=4 donnent tous deux 1,5. Comparer les choix est plus instructif que suivre aveuglément « proche ».
9. Newton : du cas particulier à la règle générale
La méthode babylonienne précède largement Newton. Dans ce parcours Newton généralise l’idée : chercher un zéro de f, pas seulement une racine carrée. Généralisation mathématique, non invention de la méthode ancienne. Les dérivées interviennent à partir d’ici ; la première partie reste élémentaire.
Près de xₙ remplacer le graphe par sa tangente. Son intersection avec l’axe horizontal donne l’estimation suivante. Écrire l’équation, poser y=0 et isoler xₙ₊₁.
y=f(xₙ)+f′(xₙ)(x−xₙ)
0=f(xₙ)+f′(xₙ)(xₙ₊₁−xₙ)
f′(xₙ)(xₙ₊₁−xₙ)=−f(xₙ)
xₙ₊₁=xₙ−f(xₙ)/f′(xₙ), f′(xₙ)≠0
10. Dérivation complète pour √N
Pour √N choisir f=x²−N, de zéro positif égal à la racine cherchée, et f′=2x. Substituer dans Newton et simplifier chaque étape : on retrouve exactement la méthode babylonienne.
xₙ₊₁=xₙ−(xₙ²−N)/(2xₙ)
=(2xₙ²−xₙ²+N)/(2xₙ)
=(xₙ²+N)/(2xₙ)
=(xₙ+N/xₙ)/2
Les hypothèses comptent. Pour N>0,x₀>0 la méthode spécialisée converge globalement dans le positif, comme démontré. Newton général n’hérite pas de cette garantie. Près d’un zéro simple de dérivée non nulle et sous régularité suffisante, convergence habituellement quadratique ; loin, échec possible.
11. Autres racines : ∛N et racines kièmes
Pour ∛N résoudre x³−N=0, dérivée 3x². On ne copie pas la moyenne quadratique : poids de x égal à 2, diviseur 3.
xₙ₊₁=xₙ−(xₙ³−N)/(3xₙ²)
=(2xₙ+N/xₙ²)/3
N=2, x₀=1 → x₁=4/3 → x₂=91/72
∛2≈1,259921049894873
Pour k entier ≥2,N>0, Newton sur xᵏ−N donne ((k−1)x+N/xᵏ⁻¹)/k. Départ positif pour la racine positive. Une puissance parfaite proche n’est pas indispensable, mais un départ raisonnable limite coût et opérations extrêmes.
12. Une autre équation : cos x=x
Poser f=cos x−x,f′=−sin x−1, angles en radians. Depuis 1 : environ 0,750364,0,739113,0,739085. Plus de moyenne x et N/x : la correction emploie fonction et dérivée.
xₙ₊₁=xₙ−(cos xₙ−xₙ)/(−sin xₙ−1)
x*≈0,7390851332151607
Sur [0,1], continuité et signes f(0)>0,f(1)<0 garantissent un zéro ; f′<0 assure unicité. L’encadrement est une information distincte de la suite de Newton : un graphe convaincant n’est pas une preuve d’existence.
13. Dichotomie, sécante et Halley : différences
La dichotomie conserve et divise un encadrement de signes opposés : largeur w initiale, erreur du milieu au plus w/2ⁿ⁺¹ après n divisions. Plus lente mais contrôlée. La sécante remplace f′ par une pente entre deux points, sans garantir un encadrement.
xₙ₊₁=xₙ−f(xₙ)(xₙ−xₙ₋₁)/(f(xₙ)−f(xₙ₋₁))
Halley offre une autre comparaison. Pour la racine carrée, formule ci-dessous et identité cubique exacte avec s=√N : réduction potentiellement plus rapide mais coût par étape supérieur. Le seul nombre d’itérations ne compare pas correctement le coût.
H(x)=x(x²+3N)/(3x²+N)
H(x)−s=(x−s)³/(3x²+s²)
N=2, x₀=1 → x₁=7/5=1,4
14. Quand Newton échoue ou ralentit
Dérivée nulle : f=x³−1,x₀=0 donne f′(0)=0,f(0)=−1 ; pas d’étape malgré la racine 1. Cycle : f=x³−2x+2, départ 0, puis 1, puis 0. Des divisions permises ne garantissent donc pas la convergence.
f=x³−2x+2
0−2/(−2)=1
1−1/1=0
0 → 1 → 0 → 1 → …
Racine multiple : f=(x−1)² donne xₙ₊₁=(xₙ+1)/2, erreur seulement divisée par deux : convergence linéaire. Si multiplicité 2 connue, x−2f/f′ atteint 1 en un pas depuis x≠1 ; déjà en 1, ne pas faire 0/0. Domaines, grands sauts et autre racine sont d’autres risques.
15. Résidu, pas et erreur ne sont pas synonymes
Résidu |f(xₙ)|, pas |xₙ₊₁−xₙ|, erreur distance au vrai zéro. Petit résidu ne signifie pas erreur aussi petite : pour f=(x−1)², résidu 10⁻¹² et erreur 10⁻⁶. Pas machine nul peut signaler stagnation, non exactitude.
|x−√N|=|x²−N|/(x+√N), x>0
Pour les racines carrées utiliser les encadrements démontrés. En général, si |f′|≥m>0 entre estimation et racine, le théorème des accroissements finis donne erreur≤|f(x)|/m. Sinon tester résidu et pas est utile, non certification universelle. Limiter les itérations et gérer les échecs.
16. Laboratoire : de l’explication à l’expérience
Le nouveau laboratoire complète, sans remplacer, l’introduction dichotomie/Newton/Taylor. Neuf expériences, données modifiables, un pas par seconde. Graphe de fonction et tangente ou sécante ; encadrement pour la dichotomie ; rectangle d’aire N pour la méthode babylonienne.
Tableau distinguant estimation, résidu, pas et erreur contre référence numérique, cette dernière seulement diagnostique. En mode babylonien, fractions exactes contrôlent indépendamment les chiffres arrondis ; ouvrir les bornes pour vérifier. Coordonnées du graphe et du point restent approximatives même avec fraction exacte.
Essayer √29 depuis 5, puis √2 par dichotomie, Babylonien et Halley, ensuite ∛2 et cos x=x. Observer enfin cycle 0↔1 et dérivée nulle. Comparer vitesse et conditions de fiabilité.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Vérifier 1,4142<√2<1,4143 sans touche racine.
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1,4142²=1,99996164<2 et 1,4143²=2,00024449>2. Le carré croît sur les positifs, donc encadrement strict.
2. Deux étapes pour √29 depuis 5.
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x₁=(5+29/5)/2=27/5=5,4 ; x₂=(27/5+145/27)/2=727/135≈5,385185185. Majorations, non racines exactes.
3. Peut-on choisir M=81 pour √80 ?
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Oui : (80+81)/(2·9)=161/18≈8,944444. La preuve reste valable pour M>N : majoration.
4. Pour √2 comparer M=1 et M=4.
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M=1 donne 1,5 et M=4 aussi. Départs 1 et 2 sont les côtés d’un rectangle d’aire 2 : même moyenne.
5. Un départ sous √N donne-t-il une première étape sous elle ?
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Non : x₁−√N=(x₀−√N)²/(2x₀)≥0. Première mise à jour par excès ou exacte ; décroissance ensuite.
6. Prouver 816/577<√2<577/408 avec des entiers.
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577²=332929>2·408²=332928 ; 816²=665856<2·577²=665858. Dénominateurs positifs, donc encadrement strict.
7. Déduire l’itération babylonienne de Newton.
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f=x²−N,f′=2x : x−(x²−N)/(2x)=(x²+N)/(2x)=(x+N/x)/2. x≠0 requis ; x>0 pour la racine positive.
8. Première étape de Newton pour ∛2 depuis 1.
9. Comment poser Newton pour cos x=x ?
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f=cos x−x,f′=−sin x−1, radians. Depuis 1 : environ 0,750364 puis 0,739113. Pas de degrés.
10. Pourquoi 0→1→0 n’est-il pas une convergence ?
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f=x³−2x+2 donne f(0)=2,f(1)=1 : aucun zéro. Alternance sans limite ; plus d’étapes n’aide pas.
11. Résidu 10⁻¹² pour (x−1)² signifie-t-il erreur 10⁻¹² ?
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Non : |x−1|=10⁻⁶. Racine double, dérivée nulle à la solution, Newton ordinaire divise l’erreur par deux seulement.
12. Halley pour √2 depuis 1 : comparer la première étape.
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Halley donne 7/5=1,4 ; Babylonien 1,5. Ici Halley par défaut, Babylonien par excès. Proximité après un pas ne compare pas le coût total.
Article introductif sur les approximations · Laboratoire introductif : dichotomie, Newton et Taylor · Dérivées : du taux d’accroissement à la tangente et aux applications