Después de Green pasamos del plano al espacio. Una vela, membrana o pared curva necesita dos coordenadas para localizar un punto. Podemos medir su área, sumar una densidad o contar cuánto campo la atraviesa: tres preguntas distintas. Construimos primero la geometría y después las fórmulas, sin suponer los teoremas de Gauss o Stokes.
Superficies: área, masa y flujo · Índice del recorrido
1. Tres preguntas, tres cantidades
El área indica cuánto material se necesita para cubrir la superficie. La masa de una lámina suma su densidad superficial, que puede variar. El flujo mide la componente de un campo que atraviesa la superficie respecto de una normal elegida. Una corriente rápida paralela a una pared puede tener flujo nulo a través de ella.
A=∬S 1 dS
M=∬S ρ dS
Φ=∬S F·n̂ dS
dS es un elemento de área, no de volumen. Con longitudes en metros y ρ en kg/m², M está en kg. Si F es velocidad en m/s, el flujo está en m³/s. Su signo distingue los sentidos de paso; una densidad de masa no negativa no produce masas negativas.
2. Una superficie a partir de dos parámetros
r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)), (u,v)∈D⊂ℝ²
D es el dominio plano de parámetros; S es su imagen en el espacio. Los parámetros no tienen que ser coordenadas cartesianas: pueden ser ángulos o alturas. Fijando v y variando u obtenemos una curva sobre la superficie; fijando u y variando v, otra. Las dos familias forman una cuadrícula.
r(u,v)=(2u,v,u+v), 0≤u,v≤1
r(0,0)=(0,0,0); r(1,0)=(2,0,1)
r(0,1)=(0,1,1); r(1,1)=(2,1,2)
Es un paralelogramo inclinado, no el cuadrado de parámetros. Para u=1/2,v=1/4 obtenemos (1,1/4,3/4). La ecuación z=x/2+y no determina por sí sola el trozo: también hacen falta los intervalos de x e y.
3. Dos tangentes y una normal
Las derivadas r_u y r_v son tangentes a las curvas coordenadas. Su producto vectorial es perpendicular a ambas. Su norma es el área del paralelogramo que generan, no el producto de sus normas salvo si son ortogonales.
U=(U₁,U₂,U₃), V=(V₁,V₂,V₃)
U×V=(U₂V₃−U₃V₂, U₃V₁−U₁V₃, U₁V₂−U₂V₁)
r_u=(2,0,1), r_v=(0,1,1)
r_u×r_v=(0−1, 0−2, 2−0)=(−1,−2,2)
J=‖r_u×r_v‖=√(1+4+4)=3
n̂=(−1,−2,2)/3
La parametrización es regular donde J≠0. La normal unitaria n̂ tiene longitud uno; r_u×r_v incluye también un factor de área. Cambiar el orden de los vectores invierte el signo del producto, no su norma.
4. Por qué el área necesita un factor
Una celda pequeña Δu×Δv tiene lados aproximados r_uΔu y r_vΔv, y por tanto área JΔuΔv. Sumando celdas y tomando el límite se obtiene la fórmula. No es el área de la proyección ni la del rectángulo de parámetros.
dS=‖r_u×r_v‖ du dv=J du dv
A(S)=∬D J du dv
r=(2u,v,u+v), D=[0,1]² → A=∫₀¹∫₀¹3 dv du=3
Aquí la proyección tiene área 2, el cuadrado paramétrico 1 y la superficie 3. El laboratorio calcula J mediante derivadas, no a partir de los cuadriláteros dibujados: el dibujo aproxima la superficie y la cuadratura usa el factor analítico.
5. Una integral escalar: masa de la lámina
Primero componemos la densidad con la parametrización: ρ(x,y,z) pasa a ser ρ(r(u,v)). Después multiplicamos por J. En el plano anterior elegimos ρ=1+z en unidades coherentes. Como z=u+v, la densidad es 1+u+v y siempre es positiva.
∬S f dS=∬D f(r(u,v))J du dv
M=∫₀¹∫₀¹3(1+u+v)dv du
=3∫₀¹(3/2+u)du=3(3/2+1/2)=6
La densidad media ponderada por área es M/A=2. En general no se puede tomar la densidad en un punto arbitrario y multiplicarla por el área. Una integral escalar de una función con signo puede ser negativa; interpretar una masa con ρ≥0 es lo que garantiza M≥0.
6. El gráfico z=g(x,y) no es un volumen
r(x,y)=(x,y,g(x,y))
r_x=(1,0,g_x), r_y=(0,1,g_y)
r_x×r_y=(−g_x,−g_y,1)
dS=√(1+g_x²+g_y²) dx dy
Para z=x²+y² sobre el disco unidad, g_x=2x,g_y=2y. Usamos coordenadas polares en el dominio plano: x=t cosθ,y=t sinθ. El factor t es el Jacobiano polar y √(1+4t²) representa la inclinación. Hacen falta ambos.
A=∫₀²π∫₀¹ t√(1+4t²)dt dθ
=2π[(1+4t²)^(3/2)/12]₀¹
=π(5√5−1)/6
V=∬[x²+y²≤1] (x²+y²)dx dy=π/2
A mide la piel curva; V mide el volumen entre ella y z=0. Tienen unidades y significados distintos. No sustituir √(1+g_x²+g_y²) por g en la fórmula del área.
7. Cilindro: pared lateral y tapas
r(θ,z)=(R cosθ,R sinθ,z), 0≤θ≤2π, 0≤z≤H
r_θ=(−R sinθ,R cosθ,0), r_z=(0,0,1)
r_θ×r_z=(R cosθ,R sinθ,0), J=R
A_laterale=∫₀ᴴ∫₀²π R dθ dz=2πRH
La normal obtenida apunta hacia fuera. La parametrización describe solo la pared, no los dos discos. Con R=2,H=3 el área lateral es 12π y la del cilindro cerrado 12π+2·4π=20π. Hay que identificar la superficie solicitada antes de integrar.
Las líneas θ=0 y θ=2π coinciden: es una costura, no una doble cobertura de toda la pared. Esa coincidencia de borde no altera la integral. En cambio, 0≤θ≤4π cubre cada trozo dos veces y duplica el resultado paramétrico.
8. La esfera y los polos del parametrizado
r(φ,θ)=(R sinφ cosθ,R sinφ sinθ,R cosφ)
0≤φ≤π, 0≤θ≤2π
r_φ×r_θ=R²sinφ (sinφ cosθ,sinφ sinθ,cosφ)
J=R²sinφ
A=∫₀²π∫₀π R²sinφ dφ dθ=4πR²
El vector entre paréntesis es normal unitaria exterior. En los polos sinφ=0: esta carta no es regular allí, pero la esfera no tiene puntas. Es un defecto de coordenadas que otras cartas resuelven. Para estas integrales, costura y polos tienen área nula; se integran las partes regulares con límites en el borde.
Para el hemisferio superior, 0≤φ≤π/2 da área 2πR². Con ρ=1+z/R=1+cosφ la masa es 2πR²∫₀^(π/2)(1+cosφ)sinφ dφ=3πR². La densidad va de 1 en el ecuador a 2 en el polo; su media ponderada por área es 3/2, no una media sin pesos de muestras arbitrarias.
9. El flujo: importa la componente normal
Elegimos un campo continuo sobre la superficie y una normal continua, al menos en cada trozo orientado. Como n̂=(r_u×r_v)/J y dS=Jdu dv, los factores J se cancelan. Así se obtiene la fórmula compacta: no multiplicar otra vez por J.
Φ=∬S F·n̂ dS=∬D F(r(u,v))·(r_u×r_v)du dv
r=(2u,v,u+v), F=(0,0,1)
F·(r_u×r_v)=(0,0,1)·(−1,−2,2)=2
Φ=∫₀¹∫₀¹2 dv du=2
En el cilindro, F=(0,0,1) tiene flujo lateral nulo porque es tangente a la pared. Para F=(x,y,z), F·n̂=R, luego Φ=2πR²H; R=2,H=3 da 24π. La componente z no aporta en la pared porque la normal tiene tercera componente nula.
En la esfera F=(x,y,z) da F·n̂=R y Φ=4πR³. Para el campo vertical las mitades aportan +πR² y −πR²: total cero no significa contribuciones nulas en cada punto. El hemisferio superior solo conserva +πR².
10. Cono y toro: otros dos ejemplos
r(u,v)=(Ru cos(2πv),Ru sin(2πv),H(1−u)), 0≤u,v≤1
r_u×r_v=2πRu(H cos(2πv),H sin(2πv),R)
J=2πRu√(R²+H²)
A_cono=πR√(R²+H²); Φ_(F=(0,0,1))=πR²
Es el manto del cono, sin disco de base. La normal sale del sólido situado debajo. En el vértice u=0 el producto se anula: hay una verdadera punta geométrica. Integramos las partes regulares y nos acercamos al vértice por límite; el punto excluido tiene área nula. R=1,H=2 da área π√5 y flujo vertical π.
r(θ,φ)=((R+r cosφ)cosθ,(R+r cosφ)sinθ,r sinφ)
0≤θ,φ≤2π, 0<r<R
J=r(R+r cosφ)
A_toro=4π²Rr
R es el radio del círculo central y r el del tubo. r<R evita degeneración y autointersección. Con normal exterior y F=(x,y,z), el producto con r_θ×r_φ es r(R+r cosφ)(R cosφ+r). Integrando cosφ, de media cero, y cos²φ, de media 1/2, resulta Φ=6π²Rr². Para R=2,r=1/2: A=4π² y Φ=3π². Es integración directa, sin usar Gauss por adelantado.
11. Orientación, bordes y superficies cerradas
Invertir la normal cambia Φ por −Φ, pero no el área ni la integral escalar de la misma densidad. Una superficie orientable permite elegir una normal continua; la cinta de Möbius no la admite globalmente. Aquí solo usamos superficies orientables, divididas en partes regulares si hace falta.
La esfera y el toro son superficies cerradas sin borde. La pared del cilindro, el cono sin base y el hemisferio tienen borde: no añadir mentalmente tapas no solicitadas. Para una superficie cerrada que encierra un sólido suele elegirse normal exterior. En una abierta, «exterior» puede ser ambiguo: indicar arriba, abajo o el sentido del producto vectorial.
Si orientamos también el borde, la regla de la mano derecha lo relaciona con la normal. Con normal hacia arriba, el borde positivo se ve antihorario desde arriba. Esto prepara Stokes; no convierte ya cualquier flujo en una integral sobre el borde.
12. Reparametrizar no es cubrir dos veces
Las fórmulas geométricas requieren cobertura simple, salvo solapamientos de área nula entre cartas o bordes. La integral paramétrica cuenta multiplicidades: recorrer dos veces toda la superficie suma dos copias. El cilindro de dos vueltas distingue área geométrica y área contada por la parametrización.
r̃(s,v)=r(s²,v), 0≤s,v≤1
r̃_s=2s r_u(s²,v); r̃_v=r_v(s²,v)
r̃_s×r̃_v=2s (r_u×r_v)(s²,v)
La sustitución u=s² es creciente: no cubre dos veces ni invierte la normal. Redistribuye las celdas e introduce 2s. Su inversa no es regular en el borde s=0, pero el cambio sí lo es en el interior y ese borde tiene área nula en los ejemplos. Las sumas numéricas pueden variar, no las integrales exactas. Un determinante negativo invertiría la orientación inducida.
13. Usar el laboratorio y comprobar
Empieza por el plano: los valores iniciales dan área 3, masa 6 y flujo 2. Un paso resalta una celda paramétrica y su imagen espacial. Los detalles muestran r_u,r_v,su producto,J,normal unitaria,ρ,F y las tres contribuciones. Cambiar ángulos de vista modifica el dibujo, no los cálculos.
u_i=(i+1/2)/n, v_j=(j+1/2)/n, ΔuΔv=1/n²
ΔA=J(u_i,v_j)/n²
ΔM=ρ(r(u_i,v_j)) ΔA
ΔΦ=F(r(u_i,v_j))·N(u_i,v_j)/n²
N=±(r_u×r_v)
Prueba después el campo vertical en la esfera: las contribuciones de flujo tienen signos opuestos y se compensan. Invierte la normal: área y masa siguen iguales. Aumenta n y compara con referencias analíticas sin tomar el acuerdo numérico por prueba. El laboratorio usa puntos medios, no un resolutor simbólico general ni cotas certificadas.
Comprobación final: superficie y dominio correctos, cobertura simple, partes regulares, orden del producto, densidad compuesta con r, sin duplicar J en flujo, tapas solo si se piden. Ya podremos relacionar el flujo de una superficie cerrada con el interior del volumen: etapa 28, divergencia y Gauss.
Ejercicios: intenta antes de revelar
1. ¿Dónde va u=1/2,v=1/4 bajo r=(2u,v,u+v)?
Mostrar la solución razonada
Sustituimos en cada coordenada: x=1,y=1/4,z=3/4. El punto espacial es (1,1/4,3/4), no la pareja de parámetros.
2. Calcula tangentes, producto vectorial y área del plano inicial.
Mostrar la solución razonada
r_u=(2,0,1),r_v=(0,1,1); producto (−1,−2,2), norma 3. D tiene área 1 y J constante, así que A=3.
3. ¿Por qué la masa no vale 3 en el plano con ρ=1+z?
Mostrar la solución razonada
3 es área, correspondiente a densidad 1. Aquí ρ(r)=1+u+v y M=3∫₀¹∫₀¹(1+u+v)dv du=6. La densidad media ponderada vale 2.
4. Para F=(0,0,1), ¿cuáles son los dos flujos del plano?
Mostrar la solución razonada
Con N=(−1,−2,2), F·N=2 y Φ=2. Normal opuesta da −2. No multiplicar otra vez por J=3, ya incluido en N. Área 3 y masa 6 no cambian.
5. Paraboloide unidad: ¿coinciden área curva y flujo vertical?
Mostrar la solución razonada
No. Área π(5√5−1)/6; flujo vertical hacia arriba ∫∫D1 dxdy=π. El flujo cuenta proyección orientada, el área incluye inclinación.
6. Cilindro R=2,H=3: área lateral, cerrada y flujo radial.
Mostrar la solución razonada
Área lateral 12π; tapas 8π, total 20π. Para F=(x,y,z) la componente normal lateral es R=2, luego flujo de la pared sola 24π.
7. ¿Cómo puede el cilindro tener área positiva y flujo cero?
Mostrar la solución razonada
Para F=(0,0,1) la normal lateral tiene tercera componente cero. F·n̂=0 en toda pared mientras A=2πRH>0. El campo es tangente, no nulo.
8. Esfera R=2: compara campos radial y vertical.
Mostrar la solución razonada
Área 16π. F radial tiene componente normal 2: Φ=32π. F vertical da 4π arriba y −4π abajo: total cero.
9. Hemisferio R=2 con ρ=1+z/R: área, masa y flujo vertical.
Mostrar la solución razonada
A=8π,M=12π,Φ=4π con normal exterior. Es solo el cascarón superior sin disco ecuatorial. Invertir normal cambia únicamente flujo a −4π.
10. Toro R=2,r=1/2: área y flujo de F=(x,y,z).
Mostrar la solución razonada
A=4π²Rr=4π²; flujo exterior Φ=6π²Rr²=3π². Se cumple r<R; los radios tienen papeles diferentes.
11. ¿Dos vueltas duplican la pared geométrica del cilindro?
Mostrar la solución razonada
No. El conjunto de puntos de la pared no cambia. La integral paramétrica cuenta dos coberturas: 4πRH frente a 2πRH geométrica. La costura de una vuelta tiene área nula.
12. ¿Por qué pueden cambiar las sumas numéricas con u=s²?
Mostrar la solución razonada
Los puntos medios en s no se convierten en puntos medios equidistantes en u. El factor 2s entra en la primera tangente y el producto vectorial. La integral exacta no cambia; el error a n fijo puede variar. No comparar dibujos ignorando pesos.
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