En la etapa 27 aprendimos a sumar flujo a través de una superficie. Ahora la cerramos alrededor de un volumen: ¿podemos obtener el balance de salidas y entradas mirando el interior? La divergencia describe un balance local; Gauss relaciona esos pequeños balances con el flujo de todo el borde. Las hipótesis importan tanto como la fórmula.
Gauss: del borde al volumen · Índice del recorrido
1. Entradas, salidas y balance neto
Imagina una caja en un campo de velocidades. El fluido entra por unos puntos y sale por otros. Con normal exterior, F·n̂ es positivo para salidas y negativo para entradas. El flujo total es el balance neto, no una suma de valores absolutos. No mide el fluido que ya está dentro de la caja.
Φ=∬∂V F·n̂_ext dS
Un flujo neto positivo sugiere producción o expansión; uno negativo, absorción o contracción. La interpretación depende de F. Para una velocidad, div F describe expansión local de volumen; la conservación de masa con densidad variable implica el flujo de masa ρF, no simplemente F.
2. La divergencia es una función escalar
F=(P,Q,R)
div F=∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z
Derivamos la primera componente respecto de x, la segunda respecto de y y la tercera respecto de z, y sumamos. El resultado es un número en cada punto, no un vector. No es P+Q+R, ni la norma de F, ni la suma de las nueve derivadas parciales posibles. Aquí R es la tercera componente; en ejemplos geométricos también será un radio, según contexto.
F=(x,y,z) → div F=1+1+1=3
F=(−x,−y,−z) → div F=−3
F=(1,0,0) → div F=0
F=(−y,x,0) → div F=0
F=(x³,y³,z³) → div F=3x²+3y²+3z²
Un campo no nulo puede tener divergencia nula. El campo constante transporta sin producción neta local; el rotacional puede girar sin expansión local. Divergencia y rotacional responden a preguntas distintas.
3. Por qué las derivadas miden un balance local
Tomemos una caja pequeña de lados Δx,Δy,Δz. El balance en las caras perpendiculares a x es aproximadamente [P(x+Δx,y,z)−P(x,y,z)]ΔyΔz. La diferencia es aproximadamente P_xΔx. Repitiendo para y y z, el flujo neto es aproximadamente div F por el pequeño volumen.
ΔΦ≈(P_x+Q_y+R_z)ΔxΔyΔz
div F(p)=lim[ε→0] Φ(∂Vε)/Vol(Vε)
En el límite Vε es una caja que se contrae regularmente alrededor de p, con normal exterior y regularidad del campo. Las flechas no deben alejarse del origen: F=(10+x,0,0) tiene divergencia 1 cerca del origen aunque todas apunten a la derecha. Importan las diferencias locales.
4. Teorema de Gauss: primero las hipótesis
En la forma clásica V es un sólido acotado con borde regular a trozos. Se incluye todo el borde, orientado hacia fuera de V. F tiene primeras derivadas continuas en un entorno abierto del sólido y su borde. Se permiten aristas y varias componentes de borde con orientación correcta.
B=∬∂V F·n̂_ext dS
I=∭V div F dV
B=I
A la izquierda hay integral de superficie, a la derecha integral triple. dV es un peso de volumen positivo sin orientación. No se comparan valores del campo en borde y centro, sino dos integrales distintas. Invertir todas las normales cambia B a −I; I no cambia.
5. La demostración en una caja
Para V=[0,a]×[0,b]×[0,c], las caras x=a y x=0 tienen normales (1,0,0) y (−1,0,0), con elemento de área dy dz. Sumando sus flujos y usando el teorema fundamental en x obtenemos una integral triple de P_x.
B_x=∫₀ᶜ∫₀ᵇ[P(a,y,z)−P(0,y,z)]dy dz
P(a,y,z)−P(0,y,z)=∫₀ᵃP_x(x,y,z)dx
B_x=∭V P_x dV
B_y=∭V Q_y dV; B_z=∭V R_z dV
B=B_x+B_y+B_z=∭V(P_x+Q_y+R_z)dV
En cajas adyacentes la cara común tiene normales opuestas y sus flujos se cancelan exactamente. Queda el borde de la unión. Esta es la idea del teorema general, no una sustitución de los argumentos técnicos de aproximación y límite para bordes curvos.
6. Dos cajas: divergencia constante y variable
Con F=(x,y,z), las caras en planos coordenados dan cero. En x=a, producto escalar a y área bc dan abc. Las caras y=b y z=c aportan también abc. La divergencia vale 3 en todo punto: el cálculo interior da tres veces el volumen.
B=abc+abc+abc=3abc
I=∫₀ᵃ∫₀ᵇ∫₀ᶜ3 dz dy dx=3abc
a=2,b=1,c=3/2 → Vol(V)=3; B=I=9
Para F=(x³,y³,z³), div F=3x²+3y²+3z². No basta multiplicar un valor arbitrario por el volumen; integramos cada término en su variable.
I=a³bc+ab³c+abc³=abc(a²+b²+c²)
B_(x=a)=a³bc; B_(y=b)=ab³c; B_(z=c)=abc³
a=2,b=1,c=3/2 → B=I=3(4+1+9/4)=87/4=21.75
7. Esfera: el cálculo se simplifica
Tomemos la bola de radio R y F=(x,y,z). En su borde esférico la normal unitaria exterior es (x,y,z)/R. Por tanto F·n̂=(x²+y²+z²)/R=R. Es constante aquí, no para cualquier campo.
B=R·Area(∂V)=R·4πR²=4πR³
I=3·Vol(V)=3·(4πR³/3)=4πR³
R=2 → B=I=32π
El teorema permite elegir el lado más sencillo tras comprobar hipótesis. El laboratorio calcula ambos por separado. Con pocas muestras pueden tener errores distintos: Gauss es identidad analítica, no igualdad automática entre sumas finitas.
8. El cilindro necesita también sus tapas
Sea V el cilindro de radio R y altura H entre z=0 y H. Su borde completo incluye pared y dos discos. Para F=(0,0,z), la normal de la pared es horizontal: flujo cero. Abajo el campo se anula; arriba F·n̂=H.
div F=1
B_laterale=0; B_inferiore=0; B_superiore=HπR²
B=πR²H=∭V1 dV=I
R=2,H=3 → B=I=12π
Al quitar tapas el flujo de la pared es cero pero la integral interior sigue siendo πR²H. No hay contradicción: la pared no es ∂V. Para F=(x,y,z), la pared aporta 2πR²H y la tapa superior πR²H: total 3πR²H.
9. Flujo cero no significa campo cero
En la caja F=(1,0,0) entra por x=0 y sale por x=a: −bc y +bc se cancelan. En la bola F=(−y,x,0) es tangente a esferas centradas en el origen: flujo cero punto a punto. El laboratorio compara ambos mecanismos.
Si div F=0 en todo volumen y se cumplen las otras hipótesis, el flujo cerrado es cero. El recíproco en un solo volumen es falso: divergencias positivas y negativas pueden cancelarse. F=(x²,0,0) en [−1,1]³ tiene div F=2x, no idénticamente cero, pero integral y flujo totales nulos por simetría.
10. Una cavidad exige un segundo borde
V={r≤ρ≤R}, ρ=√(x²+y²+z²), 0<r<R
F=(x,y,z)/ρ³
div F=(1/ρ³−3x²/ρ⁵)+(1/ρ³−3y²/ρ⁵)+(1/ρ³−3z²/ρ⁵)
=3/ρ³−3ρ²/ρ⁵=0, ρ>0
V es un cascarón esférico: el origen está en la cavidad, fuera de V. El campo es regular cerca del cascarón. En la esfera exterior salir aumenta el radio; en la interior salir del material significa ir al centro. La normal interior es opuesta a la dirección radial.
B_esterno=(1/R²)·4πR²=4π
B_interno=(−1/r²)·4πr²=−4π
B=4π−4π=0=∭V0 dV
El agujero no impide Gauss: exige todo el borde del material. Omitir esfera interior deja 4π y un borde incompleto. Cambiar radios no cambia estos flujos para este campo concreto.
11. Rellenar el agujero cambia las hipótesis
Usamos el mismo campo en la bola llena. El flujo esférico aún se calcula: 4π, pues el campo está definido en el borde. Pero F no existe en el origen, ahora interior al volumen. Falla la hipótesis C¹ en un entorno de todo V.
Escribir «div F=0 para ρ>0, luego el flujo de la bola es cero» aplica el teorema fuera de sus hipótesis. No se puede ignorar la singularidad. Quitando una bola de radio ε recuperamos un cascarón: el borde interior aporta −4π para cada ε>0 y no desaparece al reducir el radio.
Por eso el laboratorio muestra flujo de borde pero desactiva la integral interior como comprobación clásica de Gauss: no aplicable, no cero inferido de muestras regulares. No introduce implícitamente extensiones ni distribuciones para fuentes puntuales.
12. Orientación, unidades y conexiones
B_uscente=I
B_entrante=−I
dS=‖r_u×r_v‖du dv
F·n̂ dS=F·N du dv, N=±(r_u×r_v)
El producto vectorial ya contiene el factor de área: no multiplicar otra vez por su norma en flujo. Para velocidad en m/s, div F tiene unidades 1/s y su integral de volumen m³/s, como flujo superficial. Las unidades coinciden.
Green en forma de flujo relaciona borde de región plana con divergencia bidimensional. Gauss relaciona borde de volumen con divergencia tridimensional. Stokes tratará circulación y rotacional: no intercambiar divergencia y rotacional, ni flujo y trabajo en curva.
13. El laboratorio: dos cálculos independientes
Elige experimento, comprueba el borde incluido y compara sumas. Cada paso añade una celda de borde; el interior avanza por capas proporcionales. Las sumas parciales no deben coincidir: esos trozos no son necesariamente borde e interior del mismo subsólido.
ΔB=F(r(u*,v*))·N(u*,v*)/n²
ΔV=J_vol(u*,v*,w*)/n³
ΔI=div F(x*,y*,z*) ΔV
B≈ΣΔB; I≈ΣΔI; confronto finale: B con sI, s=±1
El laboratorio usa puntos medios, n² celdas por componente superficial y n³ celdas de volumen. El Jacobiano volumétrico difiere del factor de área. Las tablas muestran ambos; los errores comparan con referencias analíticas de casos guiados. Aumentar n ilustra convergencia, sin prueba ni cota certificada.
El corte visual solo permite ver el interior: no quita caras del cálculo. Omitir tapas o borde interior cambia realmente la superficie integrada e invalida la comparación de Gauss. El campo singular se bloquea antes de muestrear volumen aunque la cuadrícula no toque el origen.
Ejercicios: intenta antes de revelar
1. Calcula la divergencia de F=(x²,yz,3z).
Mostrar la solución razonada
P_x=2x,Q_y=z,R_z=3, luego div F=2x+z+3. En (1,2,−1) vale 4. No derivar yz respecto de z: es segunda componente.
2. Caja a=2,b=1,c=3/2, F=(x,y,z): flujo total.
Mostrar la solución razonada
Volumen abc=3 y div F=3 dan I=9. Tres caras alejadas aportan 3 cada una; planos coordenados cero: B=9.
3. Misma caja con sumidero F=(−x,−y,−z).
Mostrar la solución razonada
div F=−3 da I=−9. El flujo exterior −9 indica entrada neta. El volumen geométrico sigue siendo positivo, 3.
4. Campo constante F=(1,0,0): ¿por qué flujo cero?
Mostrar la solución razonada
x=0 da −bc=−1.5, x=a da +1.5; otras caras cero. Se cancelan aunque esos flujos no son nulos. Divergencia cero en todo punto.
5. Caja y campo cúbico: halla B con a=2,b=1,c=3/2.
Mostrar la solución razonada
B=abc(a²+b²+c²)=3(4+1+2.25)=21.75. Caras alejadas dan 12,3,6.75. Integrar divergencia variable da el mismo valor analítico.
6. Esfera radio 2, F=(x,y,z): aplica ambas fórmulas.
Mostrar la solución razonada
En borde F·n̂=2 y área 16π: B=32π. Dentro div F=3 y volumen 32π/3: I=32π.
7. Cilindro R=2,H=3, F=(0,0,z): ¿qué falta sin tapas?
Mostrar la solución razonada
Interior da I=12π. Pared y tapa inferior cero; superior 12π. Sin tapas B=0 en superficie abierta: Gauss no lo iguala a I.
8. Cilindro R=2,H=3, F=(x,y,z): reparte el flujo.
Mostrar la solución razonada
Pared 24π; tapa superior 12π; inferior cero; total 36π. Volumen 12π por divergencia 3 da I=36π.
9. Cascarón r=1,R=2 con campo inverso cuadrado: sentidos y flujos.
Mostrar la solución razonada
Normal radial en R da 4π. En r la normal del material apunta al centro: −4π. Total cero como integral de divergencia nula en cascarón regular.
10. Mismo campo en bola llena: ¿podemos declarar flujo cero?
Mostrar la solución razonada
No. El origen no está definido y falla hipótesis C¹. El flujo esférico directo es 4π. Muestrear solo fuera del origen no restaura las hipótesis.
11. Invierte todas las normales del primer ejemplo: ¿qué cambia?
Mostrar la solución razonada
B pasa de 9 a −9, I sigue en 9 y volumen 3. Comparar B=−I, no B=I. En cascarón invertir ambas componentes, no solo exterior.
12. ¿Flujo cero en una superficie cerrada implica divergencia cero en todo punto?
Mostrar la solución razonada
No. F=(x²,0,0) en [−1,1]³ tiene div F=2x, positiva para x>0 y negativa para x<0. Se cancelan contribuciones. Integral cero no exige función idénticamente nula.
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