À l’étape 27 nous avons appris à additionner le flux à travers une surface. Fermons maintenant cette surface autour d’un volume : peut-on retrouver le bilan des sorties et entrées depuis l’intérieur ? La divergence décrit un bilan local ; Gauss relie ces petits bilans au flux de tout le bord. Les hypothèses comptent autant que la formule.
Gauss : du bord au volume · Index du parcours
1. Entrées, sorties et bilan net
Imaginons une boîte dans un champ de vitesses. Le fluide entre à certains endroits et sort à d’autres. Avec la normale sortante, F·n̂ est positif pour une sortie et négatif pour une entrée. Le flux total est un bilan net, pas une somme de valeurs absolues. Il ne mesure pas le fluide déjà contenu dans la boîte.
Φ=∬∂V F·n̂_ext dS
Un flux net positif évoque production ou expansion ; un flux négatif, absorption ou contraction. Le sens dépend de F. Pour une vitesse, div F décrit une expansion locale de volume ; la conservation de masse à densité variable concerne le flux de masse ρF, pas simplement F.
2. La divergence est une fonction scalaire
F=(P,Q,R)
div F=∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z
Dériver la première composante en x, la deuxième en y et la troisième en z, puis additionner. Le résultat est un nombre en chaque point, pas un vecteur. Ce n’est ni P+Q+R, ni la norme de F, ni la somme des neuf dérivées partielles possibles. Ici R désigne la troisième composante ; dans la géométrie il désignera aussi un rayon, selon le contexte.
F=(x,y,z) → div F=1+1+1=3
F=(−x,−y,−z) → div F=−3
F=(1,0,0) → div F=0
F=(−y,x,0) → div F=0
F=(x³,y³,z³) → div F=3x²+3y²+3z²
Un champ non nul peut avoir une divergence nulle. Le champ constant transporte sans production nette locale ; un champ tournant peut tourner sans expansion locale. Divergence et rotationnel répondent à des questions distinctes.
3. Pourquoi les dérivées mesurent un bilan local
Prenons une petite boîte de côtés Δx,Δy,Δz. Le bilan sur les deux faces perpendiculaires à x est environ [P(x+Δx,y,z)−P(x,y,z)]ΔyΔz. La différence vaut environ P_xΔx. En répétant pour y et z, le flux net vaut environ div F fois le petit volume.
ΔΦ≈(P_x+Q_y+R_z)ΔxΔyΔz
div F(p)=lim[ε→0] Φ(∂Vε)/Vol(Vε)
Dans la limite, Vε est une boîte se rétrécissant régulièrement autour de p, avec normale sortante et hypothèses de régularité. Les flèches ne doivent pas fuir l’origine : F=(10+x,0,0) a divergence 1 près de l’origine alors qu’elles pointent toutes vers la droite. Les différences locales comptent.
4. Théorème de Gauss : d’abord les hypothèses
Dans la forme classique, V est un solide borné à bord régulier par morceaux. Inclure tout le bord, orienté vers l’extérieur de V. F possède des dérivées premières continues sur un voisinage ouvert du solide et de son bord. Arêtes et plusieurs composantes de bord sont admises avec leur bonne orientation.
B=∬∂V F·n̂_ext dS
I=∭V div F dV
B=I
À gauche une intégrale de surface, à droite une intégrale triple. dV est un poids de volume positif sans orientation. On ne compare pas le champ au bord à sa valeur au centre, mais deux intégrales différentes. Inverser toutes les normales change B en −I ; I reste fixe.
5. La démonstration sur une boîte
Pour V=[0,a]×[0,b]×[0,c], les faces x=a et x=0 ont les normales (1,0,0) et (−1,0,0), avec élément d’aire dy dz. Additionner leurs flux et utiliser le théorème fondamental en x donne une intégrale triple de P_x.
B_x=∫₀ᶜ∫₀ᵇ[P(a,y,z)−P(0,y,z)]dy dz
P(a,y,z)−P(0,y,z)=∫₀ᵃP_x(x,y,z)dx
B_x=∭V P_x dV
B_y=∭V Q_y dV; B_z=∭V R_z dV
B=B_x+B_y+B_z=∭V(P_x+Q_y+R_z)dV
Pour deux boîtes voisines, la face commune a des normales opposées : ses flux s’annulent exactement. Il reste le bord de l’union. C’est l’idée du théorème général, pas un remplacement des arguments techniques d’approximation et de limite pour les bords courbes.
6. Deux boîtes : divergence constante et variable
Avec F=(x,y,z), les faces sur les plans coordonnés donnent zéro. Sur x=a, produit scalaire a et aire bc donnent abc. Les faces y=b et z=c donnent chacune abc. La divergence vaut 3 partout : le calcul intérieur donne trois fois le volume.
B=abc+abc+abc=3abc
I=∫₀ᵃ∫₀ᵇ∫₀ᶜ3 dz dy dx=3abc
a=2,b=1,c=3/2 → Vol(V)=3; B=I=9
Pour F=(x³,y³,z³), div F=3x²+3y²+3z². Il ne suffit pas de multiplier une valeur arbitraire par le volume ; intégrer chaque terme dans sa variable.
I=a³bc+ab³c+abc³=abc(a²+b²+c²)
B_(x=a)=a³bc; B_(y=b)=ab³c; B_(z=c)=abc³
a=2,b=1,c=3/2 → B=I=3(4+1+9/4)=87/4=21.75
7. Sphère : le calcul se simplifie
Prenons la boule de rayon R et F=(x,y,z). Sur son bord sphérique, la normale unitaire sortante est (x,y,z)/R. Donc F·n̂=(x²+y²+z²)/R=R. C’est constant ici, pas pour un champ arbitraire.
B=R·Area(∂V)=R·4πR²=4πR³
I=3·Vol(V)=3·(4πR³/3)=4πR³
R=2 → B=I=32π
Le théorème permet de choisir le côté le plus simple après vérification des hypothèses. Le laboratoire calcule tout de même les deux côtés indépendamment. Avec peu d’échantillons leurs erreurs peuvent différer : Gauss est une identité analytique, pas une égalité automatique entre sommes finies.
8. Le cylindre doit aussi avoir ses bases
Soit V le cylindre de rayon R et hauteur H, de z=0 à H. Son bord complet comprend paroi et deux disques. Pour F=(0,0,z), la normale de la paroi est horizontale : flux nul. En bas le champ est nul ; en haut F·n̂=H.
div F=1
B_laterale=0; B_inferiore=0; B_superiore=HπR²
B=πR²H=∭V1 dV=I
R=2,H=3 → B=I=12π
Sans les bases, le flux de la paroi est nul mais l’intégrale intérieure reste πR²H. Pas de contradiction : la paroi n’est pas ∂V. Pour F=(x,y,z), la paroi donne 2πR²H et la base supérieure πR²H, total 3πR²H.
9. Flux nul ne signifie pas champ nul
Dans la boîte, F=(1,0,0) entre par x=0 et sort par x=a : −bc et +bc se compensent. Dans la boule, F=(−y,x,0) est tangent aux sphères centrées à l’origine : flux nul en chaque point. Le laboratoire compare ces deux mécanismes.
Si div F=0 partout dans le volume et les autres hypothèses tiennent, le flux fermé est nul. La réciproque pour un seul volume est fausse : des divergences positives et négatives peuvent se compenser. F=(x²,0,0) sur [−1,1]³ a div F=2x, non identiquement nulle, mais intégrale et flux totaux nuls par symétrie.
10. Une cavité exige un second bord
V={r≤ρ≤R}, ρ=√(x²+y²+z²), 0<r<R
F=(x,y,z)/ρ³
div F=(1/ρ³−3x²/ρ⁵)+(1/ρ³−3y²/ρ⁵)+(1/ρ³−3z²/ρ⁵)
=3/ρ³−3ρ²/ρ⁵=0, ρ>0
V est une coquille sphérique : l’origine est dans la cavité, hors de V. Le champ est régulier au voisinage de la coquille. Sur la sphère extérieure, sortir signifie augmenter le rayon ; sur la sphère intérieure, sortir du matériau signifie aller vers le centre. La normale intérieure est donc opposée au rayon.
B_esterno=(1/R²)·4πR²=4π
B_interno=(−1/r²)·4πr²=−4π
B=4π−4π=0=∭V0 dV
Le trou n’interdit pas Gauss : il impose tout le bord du matériau. Omettre la sphère intérieure laisse 4π et un bord incomplet. Changer les rayons ne change pas ces flux pour ce champ particulier.
11. Remplir le trou change les hypothèses
Utilisons le même champ sur la boule pleine. Son flux sphérique se calcule encore : 4π, car le champ est défini au bord. Mais F est indéfini à l’origine, maintenant intérieure au volume. L’hypothèse C¹ au voisinage de tout V échoue.
Écrire « div F=0 pour ρ>0, donc flux nul de la boule » applique le théorème hors de ses hypothèses. On ne peut ignorer la singularité. En retirant une petite boule de rayon ε, on retrouve une coquille : le bord intérieur contribue −4π pour tout ε>0, sans disparaître quand le rayon diminue.
Le laboratoire affiche donc le flux au bord mais désactive l’intégrale intérieure comme vérification classique de Gauss : non applicable, pas zéro déduit d’échantillons réguliers. Il n’introduit pas implicitement des prolongements ou distributions pour les sources ponctuelles.
12. Orientation, unités et liens
B_uscente=I
B_entrante=−I
dS=‖r_u×r_v‖du dv
F·n̂ dS=F·N du dv, N=±(r_u×r_v)
Le produit vectoriel contient déjà le facteur d’aire : ne pas multiplier encore par sa norme dans le flux. Pour une vitesse en m/s, div F est en 1/s et son intégrale volumique en m³/s, comme le flux de surface. Les unités concordent.
Green sous forme de flux relie le bord d’une région plane à une divergence bidimensionnelle. Gauss relie le bord d’un volume à une divergence tridimensionnelle. Stokes traitera circulation et rotationnel : ne pas échanger divergence et rotationnel, ni flux et travail sur une courbe.
13. Le laboratoire : deux calculs indépendants
Choisir une expérience, vérifier le bord inclus et comparer les sommes. Chaque pas ajoute une cellule du bord ; l’intérieur avance par couches proportionnelles. Les sommes partielles ne doivent pas coïncider : ces morceaux ne bordent pas nécessairement le même sous-solide.
ΔB=F(r(u*,v*))·N(u*,v*)/n²
ΔV=J_vol(u*,v*,w*)/n³
ΔI=div F(x*,y*,z*) ΔV
B≈ΣΔB; I≈ΣΔI; confronto finale: B con sI, s=±1
Le laboratoire utilise les milieux, n² cellules par composante de surface et n³ cellules de volume. Le jacobien volumique diffère du facteur d’aire. Les tableaux montrent les deux ; les erreurs comparent aux références analytiques des cas guidés. Augmenter n illustre la convergence, sans preuve ni borne certifiée.
La coupe visuelle révèle seulement l’intérieur, sans retirer de faces du calcul. Omettre bases ou bord intérieur modifie réellement la surface intégrée et invalide la comparaison de Gauss. Le champ singulier est bloqué avant l’échantillonnage du volume, même si la grille évite l’origine.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Calculer la divergence de F=(x²,yz,3z).
Afficher la solution expliquée
P_x=2x,Q_y=z,R_z=3, donc div F=2x+z+3. En (1,2,−1) : 4. Ne pas dériver yz en z : c’est la deuxième composante.
2. Boîte a=2,b=1,c=3/2, F=(x,y,z) : flux total.
Afficher la solution expliquée
Volume abc=3 et div F=3 donnent I=9. Les trois faces éloignées donnent 3 chacune, les plans coordonnés zéro : B=9.
3. Même boîte avec le puits F=(−x,−y,−z).
Afficher la solution expliquée
div F=−3 donne I=−9. Le flux sortant −9 indique une entrée nette. Le volume géométrique reste positif : 3.
4. Champ constant F=(1,0,0) : pourquoi le flux est-il nul ?
Afficher la solution expliquée
x=0 donne −bc=−1.5, x=a donne +1.5 ; autres faces nulles. Annulation malgré des flux non nuls sur ces faces. Divergence nulle partout.
5. Boîte et champ cubique : trouver B pour a=2,b=1,c=3/2.
Afficher la solution expliquée
B=abc(a²+b²+c²)=3(4+1+2.25)=21.75. Les faces éloignées donnent 12,3,6.75. L’intégrale de la divergence variable donne la même valeur analytique.
6. Sphère de rayon 2, F=(x,y,z) : utiliser les deux formules.
Afficher la solution expliquée
Au bord F·n̂=2, aire 16π : B=32π. À l’intérieur div F=3 et volume 32π/3 : I=32π.
7. Cylindre R=2,H=3, F=(0,0,z) : que manque-t-il sans bases ?
Afficher la solution expliquée
L’intérieur donne I=12π. Paroi et base inférieure : zéro ; base supérieure : 12π. Sans bases, B=0 sur une surface ouverte : Gauss ne l’égale pas à I.
8. Cylindre R=2,H=3, F=(x,y,z) : répartir le flux.
Afficher la solution expliquée
Paroi : 24π ; base supérieure : 12π ; inférieure : zéro ; total 36π. Volume 12π fois divergence 3 : I=36π.
9. Coquille r=1,R=2, champ en carré inverse : sens et flux.
Afficher la solution expliquée
Normale radiale sur R : 4π. Au bord r, la normale du matériau pointe vers le centre : −4π. Total nul comme l’intégrale de divergence nulle dans la coquille régulière.
10. Même champ dans la boule pleine : peut-on annoncer un flux nul ?
Afficher la solution expliquée
Non. Le champ est indéfini à l’origine, l’hypothèse C¹ échoue. Le flux sphérique direct est 4π. Échantillonner seulement hors de l’origine ne rétablit pas les hypothèses.
11. Inverser toutes les normales du premier exemple : que change-t-il ?
Afficher la solution expliquée
B passe de 9 à −9, I reste 9 et le volume 3. Comparer B=−I, pas B=I. Pour la coquille inverser les deux composantes, pas seulement l’extérieure.
12. Un flux nul sur une surface fermée impose-t-il une divergence partout nulle ?
Afficher la solution expliquée
Non. F=(x²,0,0) sur [−1,1]³ a div F=2x, positive pour x>0, négative pour x<0. Les contributions se compensent. Une intégrale nulle n’impose pas une fonction identiquement nulle.
Avant : intégrales de surface · Index du parcours