Gauss comparait le flux au bord d’un volume à la divergence intérieure. Stokes relie la circulation le long d’une courbe au flux du rotationnel à travers une surface bordée par cette courbe. Objets et hypothèses diffèrent. Cette étape termine le programme 24–29 du Bloc 4, pas toute l’Analyse.
Stokes : circulation et rotationnel · Index du parcours
1. Le rotationnel : trois différences de dérivées
Pour F=(P,Q,R), la divergence était scalaire. Le rotationnel est un vecteur : ses composantes décrivent des densités de circulation selon trois directions normales. ∇×F rappelle un produit vectoriel, mais les dérivées agissent sur les composantes du champ.
rot F=∇×F=(R_y−Q_z, P_z−R_x, Q_x−P_y)
F=(z,x,y)
R_y−Q_z=1−0=1
P_z−R_x=1−0=1
Q_x−P_y=1−0=1
rot F=(1,1,1)
Signes et ordre des variables comptent. Pour F=(−y/2,x/2,0), le rotationnel vaut (0,0,1), la divergence zéro : circulation sans expansion locale. Le rotationnel n’est ni la norme du champ ni une tangente à une trajectoire.
2. Une petite boucle révèle la composante normale
Autour d’un point, prendre une petite région plane de normale n̂ et de bord orienté selon la main droite. Sous régularité, la circulation divisée par l’aire tend vers rot F·n̂ lorsque la région se rétrécit régulièrement au point. La normale fixe le signe.
rot F(p)·n̂=lim[ε→0] (∮∂Dε F·dr)/Area(Dε)
Ne pas identifier automatiquement la norme du rotationnel à une vitesse angulaire quelconque. Pour la rotation rigide F=(−ωy,ωx,0), la vitesse angulaire est ω mais le rotationnel (0,0,2ω). Les deux dérivées contribuent au facteur deux.
3. Stokes exige orientation et régularité
S est orientable et régulière par morceaux, avec bord C=∂S régulier par morceaux. F a des dérivées premières continues sur un voisinage ouvert de toute S, pas seulement de C. Normale et bord doivent être compatibles. Inclure toutes les composantes du bord avec leur sens induit.
L=∮∂S F·dr
I=∬S rot F·n̂ dS
L=I
Le pouce droit suit la normale, les doigts le sens positif du bord. Avec normale vers le haut, le bord extérieur est antihoraire vu d’en haut. Inverser un seul sens rompt la compatibilité ; inverser les deux change les deux signes et conserve Stokes. Un ruban de Möbius n’a pas de normale globale continue ; nos surfaces sont orientables.
4. Le disque : les deux calculs complets
Choisir F=(−y/2,x/2,0), disque de rayon R dans z=0, normale vers le haut. Paramétrer le bord en sens antihoraire. Comme t varie de 0 à 1, la dérivée contient 2π.
c(t)=(R cos(2πt),R sin(2πt),0)
c′(t)=(−2πR sin(2πt),2πR cos(2πt),0)
F(c)=(−R sin(2πt)/2,R cos(2πt)/2,0)
F(c)·c′=πR²[sin²(2πt)+cos²(2πt)]=πR²
L=∫₀¹πR²dt=πR²
rot F=(0,0,1); n̂=(0,0,1)
I=∬S1 dS=πR²
R=2 → L=I=4π
I est ici l’aire car la composante normale du rotationnel vaut un, pas pour tout champ. L n’est pas la longueur 2πR. Pour R=2 les nombres coïncident par hasard ; changer R révèle la différence.
5. Un exemple vraiment tridimensionnel
r(u,v)=(au,bv,hu), 0≤u,v≤1
r_u=(a,0,h); r_v=(0,b,0)
N=r_u×r_v=(−bh,0,ab)
F=(z,x,y); rot F=(1,1,1)
rot F·N=−bh+ab=b(a−h)
I=∫₀¹∫₀¹b(a−h)dv du=b(a−h)
Le bord suit (0,0,0),(a,0,h),(a,b,h),(0,b,0), puis se ferme. En paramétrant chaque côté de t=0 à 1, on obtient les contributions ci-dessous ; les termes ah/2 s’annulent.
L₁=ah/2; L₂=ab; L₃=−ah/2−bh; L₄=0
L=b(a−h)=I
a=2,b=1,h=1 → L=I=1
a=2,b=1,h=3 → L=I=−1
Area(S)=b√(a²+h²)
Le rotationnel a des composantes positives, mais son flux peut être négatif : le produit scalaire avec la normale compte. L’aire reste positive et distincte de l’intégrale. Avec F=(−y/2,x/2,0) sur ce plan, le résultat est ab, indépendant de h.
6. Même bord, surfaces différentes
Gardons le cercle x²+y²=R²,z=0 et F=(−y/2,x/2,0). Choisir le disque, la calotte parabolique z=h(1−(x²+y²)/R²) ou l’hémisphère supérieur. Même bord orienté, champ régulier près de chaque surface : Stokes donne le même flux πR².
Disco: Area=πR², I=πR²
Calotta, R=1,h=1: Area=π(5√5−1)/6, I=π
Emisfero: Area=2πR², I=πR²
Les aires diffèrent. Sur les morceaux inclinés, le rotationnel vertical ne traverse que selon sa composante normale : pente et poids d’aire se compensent dans le flux, pas dans l’aire. Remplacer une surface exige même bord, orientations compatibles et régularité près des deux, pas seulement un dessin ressemblant.
7. Un rotationnel variable
F=(−y³/3,x³/3,0)
rot F=(0,0,x²+y²)
I=∫₀²π∫₀ᴿ ρ²ρ dρ dθ=πR⁴/2
L=(R⁴/3)∫₀²π(sin⁴θ+cos⁴θ)dθ=πR⁴/2
R=2 → L=I=8π
La première intégrale utilise le disque ; la calotte de même bord donne encore ce résultat. La formule polaire contient ρ² venant du rotationnel et ρ venant de l’aire. Dans le calcul du bord, les moyennes de sin⁴θ et cos⁴θ sur un tour valent chacune 3/8.
Les quadratures sont indépendantes. Peu d’échantillons au bord peuvent mal représenter les termes trigonométriques, tandis que la surface a une autre erreur. Les tableaux distinguent analytique et numérique ; L=I n’est pas forcé.
8. Pourquoi Stokes prolonge Green
Pour une carte régulière C² r(u,v) sur D plan, définir A=F(r)·r_u et B=F(r)·r_v. L’intégrale au bord devient celle de A du+B dv sur ∂D avec orientation induite.
B_u−A_v=(DF(r)r_u)·r_v−(DF(r)r_v)·r_u+F(r)·(r_vu−r_uv)
r_vu=r_uv
B_u−A_v=(R_y−Q_z)(y_u z_v−z_u y_v)
+(P_z−R_x)(z_u x_v−x_u z_v)
+(Q_x−P_y)(x_u y_v−y_u x_v)
=rot F(r)·(r_u×r_v)
∮∂D A du+B dv=∬D(B_u−A_v)du dv=∬S rot F·n̂ dS
DF est la matrice dérivée du champ. Les dérivées mixtes s’annulent et Green dans les paramètres prouve ce cas. Pour plusieurs cartes ou morceaux, les bords communs se parcourent en sens opposés et s’annulent. La figure illustre l’idée, pas tous les détails techniques généraux.
9. Une surface trouée a deux bords
Considérer la couronne plane r≤√(x²+y²)≤R, normale vers le haut, avec F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²),0). Le champ est indéfini sur l’axe z qui ne rencontre pas la couronne. Le rotationnel est nul au voisinage de la surface et Stokes s’applique.
L_ext=2π, senso antiorario
L_int=−2π, senso orario
L=2π−2π=0=∬S0 dS
Le cercle intérieur est horaire avec normale vers le haut. La normale de la couronne ne change pas entre les bords ; le sens tangent induit change. Omettre le cercle intérieur rend C différent de ∂S et invalide la comparaison.
10. Le disque plein n’est pas une alternative licite
Le même champ angulaire a une circulation 2π sur le cercle extérieur. Remplir le trou fait rencontrer l’axe z au disque, à l’origine : F n’est pas C¹ près de toute S. Ne pas utiliser le rotationnel nul hors de l’axe pour annoncer un flux nul sur le disque et une contradiction.
Choisir simplement un hémisphère ne résout rien : le champ est singulier sur tout l’axe z qui rencontre aussi son pôle. Le laboratoire désactive la vérification surfacique du disque avant les échantillons ; éviter l’origine dans une grille ne répare pas les hypothèses.
11. Quand la surface n’a pas de bord
La sphère entière est fermée : son bord est vide, pas un cercle caché. Dans Stokes général, l’intégrale sur le bord vide vaut zéro. Un champ régulier près de la surface a donc un flux de rotationnel nul sur la sphère.
∂S=∅ → ∮∂S F·dr=0
F=(z,x,y); rot F=(1,1,1)
∬[sfera] (1,1,1)·n̂ dS=0
Le rotationnel n’est pas nul : les contributions de signes opposés se compensent. Stokes demande régularité près de la surface, Gauss près du volume entier. Courbe fermée et surface fermée sont distinctes : le disque possède une courbe de bord fermée mais n’est pas sans bord.
12. Distinguer Green, Gauss et Stokes
| Théorème | Bord | Intérieur / surface |
|---|---|---|
| Green | ∮∂D Pdx+Qdy | ∬D(Q_x−P_y)dA |
| Gauss | ∬∂V F·n̂ dS | ∭V div F dV |
| Stokes | ∮∂S F·dr | ∬S rot F·n̂ dS |
Green en circulation est Stokes plan avec normale verticale. Gauss relie une surface fermée au volume avec la divergence. Stokes relie courbe et surface avec le rotationnel. À droite c’est le flux du rotationnel de F, pas celui de F : distinction essentielle.
Pour un potentiel C², rot(∇φ)=0 ; F=(2x,2y,2z) en est un exemple. Rotationnel nul n’implique pas toujours potentiel global : le champ angulaire sur couronne montre le rôle du domaine. Pour F de classe C², div(rot F)=0 aussi, sans remplacer les contrôles de domaine et orientation.
13. Utiliser le laboratoire et terminer le Bloc 4
Commencer par disque, calotte et hémisphère de même bord. Comparer aire et flux du rotationnel : seul le second reste invariant. Essayer le plan incliné avec rotationnel non vertical. Les contrôles de sens sont indépendants ; les accorder rétablit la compatibilité, sans changer les formules pour cacher un écart.
ΔL=F(c(t*))·c′(t*) Δt
ΔI=rot F(r(u*,v*))·N(u*,v*)/n²
N=±(r_u×r_v)
Les sommes aux milieux sont indépendantes. Chaque pas ajoute un terme du bord et fait avancer des bandes de surface ; les sommes partielles ne coïncident pas forcément, car les morceaux ne se bordent pas mutuellement. Sur la sphère sans bord on ajoute les cellules directement. Les poids viennent des dérivées, pas des polygones dessinés.
La convergence numérique n’est ni preuve ni borne certifiée. Les hypothèses des cas sont vérifiées analytiquement : mauvais sens, bord intérieur omis, singularité signalés. Les six étapes 24–29 du Bloc 4 sont disponibles ; d’autres approfondissements seront choisis et ajoutés plus tard au même index.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Calculer le rotationnel de F=(z,x,y).
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Les différences R_y−Q_z,P_z−R_x,Q_x−P_y valent toutes 1−0. Rotationnel (1,1,1). La divergence est zéro : opération différente.
2. Pour F=(−3y,3x,0), trouver rotationnel et vitesse angulaire rigide.
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ω=3 mais Q_x−P_y=3−(−3)=6. Rotationnel (0,0,6), pas (0,0,3) ; sa norme n’est pas la vitesse angulaire.
3. Disque R=2, F=(−y/2,x/2,0) : calculer L et I.
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F(c)·c′=4π sur [0,1], donc L=4π. Rotationnel (0,0,1), normale vers le haut : I est l’aire 4π.
4. Inverser seulement la normale conserve-t-il l’égalité orientée ?
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Non. L reste 4π et I devient −4π : sens incompatibles. Inverser aussi le bord donne L=I=−4π ; aire géométrique 4π.
5. Sur r=(2u,v,u), F=(z,x,y), trouver le flux du rotationnel.
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Tangentes (2,0,1),(0,1,0), N=(−1,0,2). Rotationnel (1,1,1), produit 1. Carré paramétrique d’aire 1 : I=L=1 ; aire de surface √5.
6. Avec a=2,b=1,h=3, pourquoi le flux peut-il être négatif ?
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N=(−3,0,2), rotationnel (1,1,1), produit −1. L=I=−1 mais aire √13 positive. Le sens relatif compte, pas les signes des seules composantes.
7. Disque et hémisphère de rayon 2 ont-ils le même flux du rotationnel ?
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Pour F=(−y/2,x/2,0), oui : 4π avec sens standards. Aires différentes, 4π et 8π. Même bord et F régulier près des deux.
8. Champ cubique sur calotte de rayon 2 : résultat exact ?
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Rotationnel (0,0,x²+y²). Sur disque équivalent I=2π∫₀²ρ³dρ=8π. Même bord et champ régulier donnent cette valeur sur la calotte, sans dépendre de h.
9. Pourquoi le cercle extérieur ne suffit-il pas sur la couronne ?
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Normale vers le haut : extérieur 2π, intérieur horaire −2π. Bord complet nul comme flux du rotationnel nul. Omettre l’intérieur change le bord sans changer la surface.
10. Sur le disque angulaire, rotationnel nul hors axe impose-t-il L=0 ?
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Non. L’axe coupe la surface : F n’est pas C¹ près de toute celle-ci. Circulation du cercle 2π. Stokes ne s’applique pas ; échantillonner hors axe ne suffit pas.
11. Sphère entière, F=(z,x,y) : pourquoi le flux du rotationnel est-il nul ?
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∂S vide, intégrale zéro. Stokes donne flux nul du rotationnel non nul (1,1,1). Compensation des contributions ; ne pas inventer de bord équatorial pour la sphère entière.
12. Quel théorème utilise rotationnel, lequel divergence ?
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Stokes : intégrale de F sur ∂S égale flux de rot F sur S. Gauss : flux de F sur ∂V égal intégrale de div F dans V. Green en circulation est Stokes plan. Vérifier sens et régularité.
Avant : Gauss · Index du parcours