Con Gauss abbiamo confrontato il flusso sul bordo di un volume con la divergenza al suo interno. Stokes collega invece la circolazione lungo una curva al flusso del rotore attraverso una superficie che ha quella curva come bordo. Non sono lo stesso teorema: cambiano gli oggetti integrati e le ipotesi. Questa tappa completa il programma 24–29 del Blocco 4, non tutta l’Analisi.
Stokes: circolazione e rotore · Indice del percorso
1. Il rotore: tre differenze di derivate
Per F=(P,Q,R), la divergenza era una funzione scalare. Il rotore è invece un vettore: le sue componenti descrivono densità di circolazione rispetto a tre possibili direzioni normali. Il simbolo ∇×F ricorda il prodotto vettoriale, ma qui si applicano derivate alle componenti del campo.
rot F=∇×F=(R_y−Q_z, P_z−R_x, Q_x−P_y)
F=(z,x,y)
R_y−Q_z=1−0=1
P_z−R_x=1−0=1
Q_x−P_y=1−0=1
rot F=(1,1,1)
I segni e l’ordine delle variabili non sono decorativi. Per F=(−y/2,x/2,0), il rotore è (0,0,1), mentre la divergenza è zero: un campo può avere circolazione senza espansione locale. Il rotore non è la norma del campo né un vettore tangente alla traiettoria.
2. Una piccola curva rivela la componente normale
Intorno a un punto, consideriamo una piccola regione piana con normale unitaria n̂ e bordo orientato secondo la mano destra. Sotto le ipotesi di regolarità, la circolazione divisa per l’area tende alla componente rot F·n̂ quando la regione si restringe regolarmente al punto. Il verso normale stabilisce il segno.
rot F(p)·n̂=lim[ε→0] (∮∂Dε F·dr)/Area(Dε)
Non bisogna leggere automaticamente il modulo del rotore come velocità angolare di qualunque oggetto nel campo. Per la rotazione rigida F=(−ωy,ωx,0), la velocità angolare è ω ma il rotore è (0,0,2ω). Il fattore due nasce dal contributo di entrambe le derivate.
3. Stokes richiede orientamento e regolarità
S è una superficie orientabile, regolare a tratti, con bordo C=∂S regolare a tratti. F deve avere derivate prime continue in un aperto che contiene tutta S, non soltanto C. La normale e il verso del bordo devono essere compatibili. Per più componenti di bordo si includono tutte con i rispettivi versi indotti.
L=∮∂S F·dr
I=∬S rot F·n̂ dS
L=I
Con il pollice destro nella direzione della normale, le dita indicano il verso positivo del bordo. Per una superficie vista dall’alto con normale verso l’alto, il bordo esterno è antiorario. Invertire solo la normale o solo il bordo rompe la compatibilità; invertirli entrambi cambia segno a entrambi gli integrali e conserva Stokes. Un nastro di Möbius non offre una normale globale continua: qui usiamo superfici orientabili.
4. Il disco: entrambi i calcoli completi
Scegliamo F=(−y/2,x/2,0), il disco di raggio R sul piano z=0 e la normale verso l’alto. Parametrizziamo il bordo con un giro antiorario. Il parametro t va da 0 a 1, quindi la derivata contiene il fattore 2π.
c(t)=(R cos(2πt),R sin(2πt),0)
c′(t)=(−2πR sin(2πt),2πR cos(2πt),0)
F(c)=(−R sin(2πt)/2,R cos(2πt)/2,0)
F(c)·c′=πR²[sin²(2πt)+cos²(2πt)]=πR²
L=∫₀¹πR²dt=πR²
rot F=(0,0,1); n̂=(0,0,1)
I=∬S1 dS=πR²
R=2 → L=I=4π
Qui I coincide con l’area perché la componente normale del rotore vale uno. Non è una proprietà di qualunque campo. La circolazione L non è la lunghezza 2πR del bordo. Per R=2 i due numeri coincidono per caso; cambiando R la differenza emerge subito.
5. Un esempio davvero tridimensionale
r(u,v)=(au,bv,hu), 0≤u,v≤1
r_u=(a,0,h); r_v=(0,b,0)
N=r_u×r_v=(−bh,0,ab)
F=(z,x,y); rot F=(1,1,1)
rot F·N=−bh+ab=b(a−h)
I=∫₀¹∫₀¹b(a−h)dv du=b(a−h)
Il bordo segue nell’ordine (0,0,0), (a,0,h), (a,b,h), (0,b,0), poi torna all’inizio. I quattro contributi dell’integrale di linea sono quelli indicati sotto; si possono ottenere parametrizzando ciascun lato da t=0 a t=1. Le parti ah/2 si cancellano.
L₁=ah/2; L₂=ab; L₃=−ah/2−bh; L₄=0
L=b(a−h)=I
a=2,b=1,h=1 → L=I=1
a=2,b=1,h=3 → L=I=−1
Area(S)=b√(a²+h²)
Il rotore ha tutte le componenti positive, ma il suo flusso può essere negativo: conta il prodotto scalare con la normale. In particolare l’area resta positiva e non coincide con questo integrale. Se usiamo invece F=(−y/2,x/2,0), sullo stesso piano il risultato è ab, indipendente da h.
6. Stesso bordo, superfici diverse
Manteniamo il cerchio x²+y²=R²,z=0 e F=(−y/2,x/2,0). Possiamo scegliere il disco, la calotta parabolica z=h(1−(x²+y²)/R²) oppure l’emisfero superiore. Le tre superfici hanno il medesimo bordo orientato, e il campo è regolare vicino a ciascuna. Stokes assegna lo stesso valore πR² ai tre flussi del rotore.
Disco: Area=πR², I=πR²
Calotta, R=1,h=1: Area=π(5√5−1)/6, I=π
Emisfero: Area=2πR², I=πR²
Le aree non sono uguali. Sulla parte inclinata il rotore verticale attraversa soltanto secondo la sua componente normale; il fattore d’area e l’inclinazione si compensano nel flusso, non nell’area. Per sostituire una superficie con un’altra servono stesso bordo, orientamenti compatibili e regolarità del campo vicino a entrambe. Non basta che il disegno sembri delimitare la stessa regione.
7. Un rotore che cambia da punto a punto
F=(−y³/3,x³/3,0)
rot F=(0,0,x²+y²)
I=∫₀²π∫₀ᴿ ρ²ρ dρ dθ=πR⁴/2
L=(R⁴/3)∫₀²π(sin⁴θ+cos⁴θ)dθ=πR⁴/2
R=2 → L=I=8π
Il primo integrale è sul disco; sulla calotta con lo stesso bordo vale ancora lo stesso risultato. Nella formula polare compaiono sia ρ², che viene dal rotore, sia ρ, che viene dal fattore d’area. Nel secondo calcolo le medie di sin⁴θ e cos⁴θ su un giro sono entrambe 3/8.
Le quadrature del laboratorio sono indipendenti. Con pochi punti la somma sul bordo può risentire del campionamento trigonometrico, mentre la superficie ha un altro errore. La tabella di convergenza distingue valori analitici e numerici: non impone artificialmente L=I.
8. Perché Stokes estende Green
Per una superficie descritta da una carta regolare r(u,v) di classe C² su un dominio piano D, definiamo due funzioni scalari: A=F(r)·r_u e B=F(r)·r_v. L’integrale di F lungo il bordo della superficie diventa l’integrale di A du+B dv sul bordo di D, con orientamento indotto.
B_u−A_v=(DF(r)r_u)·r_v−(DF(r)r_v)·r_u+F(r)·(r_vu−r_uv)
r_vu=r_uv
B_u−A_v=(R_y−Q_z)(y_u z_v−z_u y_v)
+(P_z−R_x)(z_u x_v−x_u z_v)
+(Q_x−P_y)(x_u y_v−y_u x_v)
=rot F(r)·(r_u×r_v)
∮∂D A du+B dv=∬D(B_u−A_v)du dv=∬S rot F·n̂ dS
DF è la matrice delle derivate del campo. Le derivate miste della superficie si cancellano e Green sul dominio dei parametri completa la prova in questo caso. Per più carte e superfici regolari a tratti, i bordi condivisi si percorrono in versi opposti e si cancellano. La figura illustra questa idea, senza sostituire i dettagli tecnici della costruzione generale.
9. Una superficie con un buco ha due bordi
Consideriamo l’anello piano r≤√(x²+y²)≤R con normale verso l’alto e campo F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²),0). Il campo non è definito sull’asse z, ma quell’asse non incontra l’anello. Il rotore è nullo in un intorno della superficie e Stokes si applica.
L_ext=2π, senso antiorario
L_int=−2π, senso orario
L=2π−2π=0=∬S0 dS
Il bordo interno si percorre in senso orario quando la normale della superficie è verso l’alto. Non cambiamo la normale dell’anello fra bordo esterno e interno: cambia il verso tangente indotto. Omettere il cerchio interno rende C diverso da ∂S e invalida il confronto.
10. Il disco pieno non è un’alternativa lecita
Lo stesso campo angolare ha circolazione 2π sul cerchio esterno. Se riempiamo il buco con un disco, la superficie incontra l’asse z nell’origine: il campo non è C¹ vicino a tutta S. Non è lecito usare rot F=0 fuori dall’asse per dichiarare il flusso del rotore sul disco uguale a zero e dedurre una contraddizione.
Nemmeno la semplice scelta di un emisfero risolve il problema: questo campo è singolare lungo tutto l’asse z, che incontra anche il polo dell’emisfero. Nel laboratorio la verifica interna sul disco è disabilitata prima del campionamento; una griglia che non prende l’origine non ripara le ipotesi.
11. Se la superficie non ha bordo
Una sfera intera è una superficie chiusa: il suo bordo è vuoto, non un cerchio nascosto. La forma generale di Stokes assegna all’integrale sul bordo vuoto il valore zero. Se il campo è regolare vicino alla superficie, il flusso del suo rotore attraverso la sfera è quindi zero.
∂S=∅ → ∮∂S F·dr=0
F=(z,x,y); rot F=(1,1,1)
∬[sfera] (1,1,1)·n̂ dS=0
Il rotore non è nullo: si compensano contributi positivi e negativi. Per Stokes la regolarità riguarda un intorno della superficie; per Gauss riguarda un intorno dell’intero volume. Una curva chiusa non è una superficie chiusa: nel caso del disco la curva di bordo è chiusa, ma la superficie ha proprio quel bordo.
12. Green, Gauss e Stokes senza confonderli
| Teorema | Bordo | Interno / superficie |
|---|---|---|
| Green | ∮∂D Pdx+Qdy | ∬D(Q_x−P_y)dA |
| Gauss | ∬∂V F·n̂ dS | ∭V div F dV |
| Stokes | ∮∂S F·dr | ∬S rot F·n̂ dS |
Green nella forma di circolazione è il caso piano di Stokes con normale verticale. Gauss confronta una superficie chiusa con un volume e usa la divergenza. Stokes confronta una curva con una superficie e usa il rotore. Il suo lato destro non è il flusso di F, ma del rotore di F: questa differenza è essenziale.
Per un potenziale di classe C², rot(∇φ)=0: il campo F=(2x,2y,2z) ne è un esempio. Non concludere però «rotore nullo implica sempre potenziale globale»: il campo angolare sull’anello mostra il ruolo del dominio. Per campi di classe C² vale anche div(rot F)=0, ma Stokes non si riduce a usare questa identità senza controllare il dominio e gli orientamenti.
13. Usare il laboratorio e chiudere il Blocco 4
Parti dal disco, poi passa a calotta ed emisfero con lo stesso bordo. Confronta l’area geometrica e il flusso del rotore: soltanto il secondo resta invariato. Prova poi il piano inclinato con rotore non verticale. I due controlli di orientamento sono indipendenti; il pulsante per abbinarli ristabilisce la compatibilità, non modifica le formule per nascondere uno scarto.
ΔL=F(c(t*))·c′(t*) Δt
ΔI=rot F(r(u*,v*))·N(u*,v*)/n²
N=±(r_u×r_v)
Le somme ai punti medi sono indipendenti. Un passo aggiunge un contributo di bordo e avanza per strisce sulla superficie; le somme parziali non devono coincidere perché non delimitano necessariamente lo stesso pezzo. Nella sfera senza bordo l’animazione somma direttamente le celle della superficie. I pesi vengono dalle derivate, non dai poligoni disegnati.
La convergenza numerica non sostituisce una dimostrazione né certifica l’errore. Le ipotesi dei casi guidati sono controllate analiticamente: orientamento sbagliato, bordo interno omesso e singolarità vengono segnalati. Con questa tappa sono disponibili tutte le sei tappe 24–29 del Blocco 4; eventuali nuovi approfondimenti saranno scelti e aggiunti in seguito allo stesso indice.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Calcola il rotore di F=(z,x,y).
Mostra la soluzione ragionata
Le tre differenze sono R_y−Q_z=1−0, P_z−R_x=1−0, Q_x−P_y=1−0. Quindi rot F=(1,1,1). La divergenza, invece, è 0+0+0=0: è un’altra operazione.
2. Per F=(−3y,3x,0), quanto valgono rotore e velocità angolare rigida?
Mostra la soluzione ragionata
ω=3, mentre Q_x−P_y=3−(−3)=6. Il rotore è (0,0,6), non (0,0,3). Il modulo del rotore non coincide qui con la velocità angolare.
3. Disco R=2 con F=(−y/2,x/2,0): calcola L e I.
Mostra la soluzione ragionata
F(c)·c′=πR²=4π per ogni t∈[0,1], quindi L=4π. Il rotore è (0,0,1) e la normale verso l’alto, dunque I è l’area del disco: 4π.
4. Invertire solo la normale conserva l’uguaglianza orientata?
Mostra la soluzione ragionata
No. Sul disco precedente L resta 4π e I diventa −4π. Sono versi incompatibili. Invertendo anche il bordo si ottengono L=I=−4π; il valore dell’area geometrica resta 4π.
5. Sul piano r=(2u,v,u), F=(z,x,y), trova il flusso del rotore.
Mostra la soluzione ragionata
r_u=(2,0,1), r_v=(0,1,0), N=(−1,0,2). Il rotore è (1,1,1): prodotto scalare −1+0+2=1. Il quadrato dei parametri ha area 1, quindi I=L=1. L’area della superficie è invece √5.
6. Con a=2,b=1,h=3, come può il flusso diventare negativo?
Mostra la soluzione ragionata
N=(−3,0,2) e rot F=(1,1,1), quindi prodotto −3+2=−1. L=I=b(a−h)=−1, mentre l’area è √13>0. Il segno dipende dall’orientamento relativo, non dal segno delle singole componenti del rotore.
7. Disco ed emisfero di raggio 2 hanno lo stesso flusso del rotore?
Mostra la soluzione ragionata
Per F=(−y/2,x/2,0), sì: entrambi 4π con gli orientamenti standard. Le aree sono 4π e 8π, diverse. Vale lo stesso bordo e F è regolare vicino a entrambe le superfici.
8. Campo cubico su calotta di raggio 2: qual è il risultato esatto?
Mostra la soluzione ragionata
Il rotore è (0,0,x²+y²). Sul disco equivalente I=2π∫₀²ρ³dρ=2π·4=8π. Stesso bordo e campo regolare consentono di usare quel valore anche sulla calotta, indipendentemente da h.
9. Nell’anello, perché non basta il cerchio esterno?
Mostra la soluzione ragionata
Con normale verso l’alto, il cerchio esterno dà 2π, l’interno orario −2π. Il bordo completo dà zero come il flusso del rotore nullo. Omettere il cerchio interno cambia il bordo senza cambiare la superficie.
10. Nel disco angolare, rotore nullo fuori dall’asse implica L=0?
Mostra la soluzione ragionata
No. Il campo non è C¹ vicino a tutta la superficie perché l’asse la interseca. La circolazione sul cerchio è 2π. Stokes non si applica a quel disco; scegliere solo campioni fuori dall’asse non basta.
11. Sfera intera, F=(z,x,y): perché il flusso del rotore è zero?
Mostra la soluzione ragionata
∂S è vuoto e il suo integrale vale zero. Stokes dà flusso zero del rotore (1,1,1), anche se il rotore non è nullo. I contributi di superficie si compensano; non bisogna inventare una curva equatoriale come bordo della sfera intera.
12. Quale teorema usa il rotore e quale la divergenza?
Mostra la soluzione ragionata
Stokes: integrale di F lungo il bordo di S uguale al flusso di rot F su S. Gauss: flusso di F sul bordo del volume V uguale all’integrale di div F in V. Green in circolazione è Stokes nel piano. Orientamento e regolarità vanno controllati in ogni caso.
Prima: Gauss · Indice del percorso