Gauss comparaba flujo en el borde de un volumen con divergencia interior. Stokes conecta circulación en una curva con flujo del rotacional a través de una superficie cuyo borde es esa curva. Objetos e hipótesis son distintos. Esta etapa completa el programa 24–29 del Bloque 4, no todo el Análisis.
Stokes: circulación y rotacional · Índice del recorrido
1. El rotacional: tres diferencias de derivadas
Para F=(P,Q,R), la divergencia era escalar. El rotacional es un vector: sus componentes describen densidades de circulación respecto de tres direcciones normales. ∇×F recuerda un producto vectorial, pero las derivadas actúan sobre las componentes del campo.
rot F=∇×F=(R_y−Q_z, P_z−R_x, Q_x−P_y)
F=(z,x,y)
R_y−Q_z=1−0=1
P_z−R_x=1−0=1
Q_x−P_y=1−0=1
rot F=(1,1,1)
Importan signos y orden de variables. Para F=(−y/2,x/2,0), rotacional (0,0,1) y divergencia cero: puede haber circulación sin expansión local. No es la norma del campo ni una tangente a una trayectoria.
2. Un lazo pequeño revela la componente normal
Alrededor de un punto tomamos una región plana pequeña con normal n̂ y borde según la mano derecha. Bajo regularidad, circulación dividida por área tiende a rot F·n̂ al contraerse regularmente al punto. La normal fija el signo.
rot F(p)·n̂=lim[ε→0] (∮∂Dε F·dr)/Area(Dε)
No identificar automáticamente módulo del rotacional con velocidad angular de cualquier objeto. En rotación rígida F=(−ωy,ωx,0), velocidad angular ω pero rotacional (0,0,2ω). Ambas derivadas aportan el factor dos.
3. Stokes exige orientación y regularidad
S es orientable y regular a trozos, con borde C=∂S regular a trozos. F tiene primeras derivadas continuas en entorno abierto de toda S, no solo de C. Normal y borde deben ser compatibles. Se incluyen todas las componentes con su orientación inducida.
L=∮∂S F·dr
I=∬S rot F·n̂ dS
L=I
El pulgar derecho sigue la normal y los dedos el borde positivo. Con normal hacia arriba, borde exterior antihorario visto desde arriba. Invertir solo uno rompe compatibilidad; invertir ambos cambia ambos signos y conserva Stokes. La cinta de Möbius no tiene normal global continua; usamos superficies orientables.
4. El disco: ambos cálculos completos
Elegimos F=(−y/2,x/2,0), disco de radio R en z=0 y normal hacia arriba. Parametrizamos borde antihorario. Como t va de 0 a 1, la derivada contiene 2π.
c(t)=(R cos(2πt),R sin(2πt),0)
c′(t)=(−2πR sin(2πt),2πR cos(2πt),0)
F(c)=(−R sin(2πt)/2,R cos(2πt)/2,0)
F(c)·c′=πR²[sin²(2πt)+cos²(2πt)]=πR²
L=∫₀¹πR²dt=πR²
rot F=(0,0,1); n̂=(0,0,1)
I=∬S1 dS=πR²
R=2 → L=I=4π
I coincide aquí con área porque componente normal del rotacional vale uno, no para cualquier campo. L no es longitud 2πR. Con R=2 coinciden por casualidad; cambiar R muestra diferencia.
5. Un ejemplo realmente tridimensional
r(u,v)=(au,bv,hu), 0≤u,v≤1
r_u=(a,0,h); r_v=(0,b,0)
N=r_u×r_v=(−bh,0,ab)
F=(z,x,y); rot F=(1,1,1)
rot F·N=−bh+ab=b(a−h)
I=∫₀¹∫₀¹b(a−h)dv du=b(a−h)
El borde sigue (0,0,0),(a,0,h),(a,b,h),(0,b,0) y cierra. Parametrizando cada lado de t=0 a 1 se obtienen las contribuciones siguientes; los términos ah/2 se cancelan.
L₁=ah/2; L₂=ab; L₃=−ah/2−bh; L₄=0
L=b(a−h)=I
a=2,b=1,h=1 → L=I=1
a=2,b=1,h=3 → L=I=−1
Area(S)=b√(a²+h²)
El rotacional tiene componentes positivas pero su flujo puede ser negativo: importa producto escalar con normal. El área sigue positiva y distinta de la integral. Con F=(−y/2,x/2,0) en ese plano resulta ab, independiente de h.
6. Mismo borde, superficies distintas
Mantenemos círculo x²+y²=R²,z=0 y F=(−y/2,x/2,0). Elegimos disco, cúpula parabólica z=h(1−(x²+y²)/R²) o hemisferio superior. Comparten borde orientado y campo regular cerca de cada superficie. Stokes da el mismo flujo πR².
Disco: Area=πR², I=πR²
Calotta, R=1,h=1: Area=π(5√5−1)/6, I=π
Emisfero: Area=2πR², I=πR²
Las áreas difieren. En partes inclinadas el rotacional vertical cruza solo según componente normal: inclinación y peso de área se compensan en flujo, no en área. Sustituir superficie exige mismo borde, orientaciones compatibles y regularidad cerca de ambas, no solo dibujos parecidos.
7. Un rotacional variable
F=(−y³/3,x³/3,0)
rot F=(0,0,x²+y²)
I=∫₀²π∫₀ᴿ ρ²ρ dρ dθ=πR⁴/2
L=(R⁴/3)∫₀²π(sin⁴θ+cos⁴θ)dθ=πR⁴/2
R=2 → L=I=8π
La primera integral usa disco; la cúpula de igual borde da el mismo resultado. La fórmula polar incluye ρ² del rotacional y ρ del área. En el cálculo del borde las medias de sin⁴θ y cos⁴θ en una vuelta son ambas 3/8.
Las cuadraturas son independientes. Pocas muestras de borde pueden representar mal los términos trigonométricos, mientras superficie tiene otro error. Las tablas separan analítico y numérico: no se fuerza L=I.
8. Por qué Stokes amplía Green
Para una carta regular C² r(u,v) sobre D plano, definimos A=F(r)·r_u y B=F(r)·r_v. La integral de borde se convierte en A du+B dv sobre ∂D con orientación inducida.
B_u−A_v=(DF(r)r_u)·r_v−(DF(r)r_v)·r_u+F(r)·(r_vu−r_uv)
r_vu=r_uv
B_u−A_v=(R_y−Q_z)(y_u z_v−z_u y_v)
+(P_z−R_x)(z_u x_v−x_u z_v)
+(Q_x−P_y)(x_u y_v−y_u x_v)
=rot F(r)·(r_u×r_v)
∮∂D A du+B dv=∬D(B_u−A_v)du dv=∬S rot F·n̂ dS
DF es la matriz derivada del campo. Las derivadas mixtas se cancelan y Green en parámetros prueba este caso. Con varias cartas o trozos, los bordes comunes se recorren en sentidos opuestos y se cancelan. La figura ilustra la idea, no todos los detalles técnicos generales.
9. Una superficie con agujero tiene dos bordes
Consideramos anillo plano r≤√(x²+y²)≤R con normal hacia arriba y F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²),0). El campo no existe en eje z, pero este no corta el anillo. Rotacional nulo cerca de la superficie y Stokes es aplicable.
L_ext=2π, senso antiorario
L_int=−2π, senso orario
L=2π−2π=0=∬S0 dS
El círculo interior es horario con normal hacia arriba. La normal del anillo no cambia entre bordes; cambia el sentido tangente inducido. Omitir círculo interior hace C distinto de ∂S e invalida comparación.
10. El disco lleno no es una alternativa válida
El mismo campo angular tiene circulación 2π en círculo exterior. Rellenar agujero con disco hace que S toque eje z en origen: F no es C¹ cerca de toda S. No usar rotacional nulo fuera del eje para declarar flujo nulo en disco y una contradicción.
Elegir un hemisferio tampoco resuelve: el campo es singular en todo eje z, que corta su polo. El laboratorio desactiva la comprobación superficial del disco antes de muestrear; evitar origen en una cuadrícula no restaura hipótesis.
11. Cuando la superficie no tiene borde
La esfera entera es cerrada: borde vacío, no círculo oculto. En Stokes general la integral sobre borde vacío vale cero. Un campo regular cerca de la superficie tiene flujo de rotacional cero en esfera.
∂S=∅ → ∮∂S F·dr=0
F=(z,x,y); rot F=(1,1,1)
∬[sfera] (1,1,1)·n̂ dS=0
El rotacional no es nulo: contribuciones opuestas se compensan. Stokes exige regularidad cerca de superficie, Gauss cerca de volumen entero. Curva cerrada y superficie cerrada son distintas: el disco tiene curva de borde cerrada, no borde vacío.
12. Distinguir Green, Gauss y Stokes
| Teorema | Borde | Interior / superficie |
|---|---|---|
| Green | ∮∂D Pdx+Qdy | ∬D(Q_x−P_y)dA |
| Gauss | ∬∂V F·n̂ dS | ∭V div F dV |
| Stokes | ∮∂S F·dr | ∬S rot F·n̂ dS |
Green en circulación es Stokes plano con normal vertical. Gauss relaciona superficie cerrada y volumen usando divergencia. Stokes relaciona curva y superficie usando rotacional. Su derecha es flujo de rot F, no de F: diferencia esencial.
Para potencial C², rot(∇φ)=0; F=(2x,2y,2z) es ejemplo. Rotacional nulo no implica siempre potencial global: campo angular en anillo muestra papel del dominio. Para F C² también div(rot F)=0, pero no sustituye comprobar dominio y orientaciones.
13. Usar el laboratorio y completar el Bloque 4
Empieza con disco, cúpula y hemisferio de igual borde. Compara área y flujo del rotacional: solo este permanece. Prueba plano inclinado con rotacional no vertical. Los controles de orientación son independientes; emparejarlos restaura compatibilidad sin alterar fórmulas para ocultar error.
ΔL=F(c(t*))·c′(t*) Δt
ΔI=rot F(r(u*,v*))·N(u*,v*)/n²
N=±(r_u×r_v)
Sumas en puntos medios independientes: cada paso añade término de borde y avanza franjas superficiales; sumas parciales no coinciden necesariamente porque trozos no se delimitan entre sí. En esfera sin borde se suman celdas directamente. Los pesos vienen de derivadas, no polígonos dibujados.
Convergencia numérica no es prueba ni cota certificada. Las hipótesis guiadas se comprueban analíticamente: se señalan sentido incorrecto, borde interior omitido y singularidad. Están disponibles las seis etapas 24–29 del Bloque 4; futuros temas se elegirán y añadirán después al mismo índice.
Ejercicios: intenta antes de revelar
1. Calcula rotacional de F=(z,x,y).
Mostrar la solución razonada
Las diferencias R_y−Q_z,P_z−R_x,Q_x−P_y valen 1−0. Rotacional (1,1,1). Divergencia cero: otra operación.
2. Para F=(−3y,3x,0), halla rotacional y velocidad angular rígida.
Mostrar la solución razonada
ω=3 pero Q_x−P_y=3−(−3)=6. Rotacional (0,0,6), no (0,0,3); su módulo no es velocidad angular.
3. Disco R=2 con F=(−y/2,x/2,0): calcula L e I.
Mostrar la solución razonada
F(c)·c′=4π en [0,1], luego L=4π. Rotacional (0,0,1), normal arriba: I es área 4π.
4. ¿Invertir solo normal conserva igualdad orientada?
Mostrar la solución razonada
No. L sigue 4π e I pasa a −4π: sentidos incompatibles. Invertir también borde da L=I=−4π; área geométrica sigue 4π.
5. En r=(2u,v,u), F=(z,x,y), halla flujo del rotacional.
Mostrar la solución razonada
Tangentes (2,0,1),(0,1,0), N=(−1,0,2). Rotacional (1,1,1), producto 1. Cuadrado paramétrico área 1: I=L=1; área superficial √5.
6. Con a=2,b=1,h=3, ¿por qué puede ser negativo el flujo?
Mostrar la solución razonada
N=(−3,0,2), rotacional (1,1,1), producto −1. L=I=−1 pero área √13 positiva. Importa orientación relativa, no signos de componentes sueltas.
7. ¿Disco y hemisferio radio 2 tienen igual flujo del rotacional?
Mostrar la solución razonada
Para F=(−y/2,x/2,0), sí: ambos 4π con orientaciones estándar. Áreas distintas, 4π y 8π. Comparten borde y F regular cerca de ambas.
8. Campo cúbico en cúpula radio 2: ¿resultado exacto?
Mostrar la solución razonada
Rotacional (0,0,x²+y²). En disco equivalente I=2π∫₀²ρ³dρ=8π. Igual borde y campo regular dan el mismo valor en cúpula, independiente de h.
9. ¿Por qué no basta círculo exterior en anillo?
Mostrar la solución razonada
Normal arriba: exterior 2π, interior horario −2π. Borde completo cero como flujo de rotacional nulo. Omitir interior cambia borde sin cambiar superficie.
10. ¿Rotacional nulo fuera de eje implica L=0 en disco angular?
Mostrar la solución razonada
No. El eje corta la superficie: F no es C¹ cerca de toda ella. Circulación del círculo 2π. Stokes no se aplica; muestrear fuera de eje no basta.
11. Esfera entera, F=(z,x,y): ¿por qué flujo del rotacional cero?
Mostrar la solución razonada
∂S vacío, integral cero. Stokes da flujo cero de rotacional no nulo (1,1,1). Se cancelan contribuciones; no inventar borde ecuatorial de esfera entera.
12. ¿Qué teorema usa rotacional y cuál divergencia?
Mostrar la solución razonada
Stokes: integral de F en ∂S igual flujo de rot F en S. Gauss: flujo de F en ∂V igual integral de div F en V. Green en circulación es Stokes plano. Comprobar sentidos y regularidad.
Antes: Gauss · Índice del recorrido