Nella tappa 27 abbiamo imparato a sommare il flusso attraverso una superficie. Ora chiudiamo quella superficie intorno a un volume e chiediamo: il bilancio di ciò che esce e di ciò che entra si può ricavare guardando l’interno? La divergenza descrive un bilancio locale; Gauss collega tutti questi piccoli bilanci al flusso sull’intero bordo. Le ipotesi contano quanto la formula.
Gauss: dal bordo al volume · Indice del percorso
1. Entrate, uscite e bilancio netto
Immagina una scatola immersa in un campo di velocità. In alcuni punti il fluido entra, in altri esce. Con la normale rivolta fuori dalla scatola, F·n̂ è positivo per un’uscita e negativo per un’entrata. Il flusso totale è il bilancio netto, non la somma delle quantità in valore assoluto. Non misura quanto fluido è già contenuto nella scatola.
Φ=∬∂V F·n̂_ext dS
Un flusso netto positivo suggerisce produzione o espansione nel volume; uno negativo assorbimento o contrazione. L’interpretazione dipende da che cosa rappresenta F. Per una velocità, div F descrive una variazione locale di volume; per la conservazione della massa con densità variabile conta invece il flusso di massa ρF, non semplicemente F.
2. La divergenza è una funzione scalare
F=(P,Q,R)
div F=∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z
Deriviamo la prima componente rispetto a x, la seconda rispetto a y, la terza rispetto a z, poi sommiamo. Il risultato è un numero in ogni punto, non un vettore. Non è P+Q+R, non è la norma di F e non è la somma di tutte e nove le derivate parziali possibili. Qui R è il nome della terza componente; negli esempi geometrici useremo anche R per un raggio, distinguendo il contesto.
F=(x,y,z) → div F=1+1+1=3
F=(−x,−y,−z) → div F=−3
F=(1,0,0) → div F=0
F=(−y,x,0) → div F=0
F=(x³,y³,z³) → div F=3x²+3y²+3z²
Un campo non nullo può avere divergenza nulla. Il campo costante trasporta senza creare un bilancio netto locale; quello rotazionale può girare senza produrre espansione locale. Non confondere divergenza e rotore: rispondono a domande diverse.
3. Perché le derivate misurano un bilancio locale
Prendiamo una scatolina con lati Δx,Δy,Δz. Attraverso le due facce perpendicolari a x il bilancio è circa [P(x+Δx,y,z)−P(x,y,z)]ΔyΔz. La differenza è circa P_xΔx. Ripetendo per y e z, il flusso netto è circa div F moltiplicato per il piccolo volume.
ΔΦ≈(P_x+Q_y+R_z)ΔxΔyΔz
div F(p)=lim[ε→0] Φ(∂Vε)/Vol(Vε)
Nell’ultima formula Vε è una scatolina che si restringe regolarmente intorno a p e la normale è uscente; servono le ipotesi di regolarità del campo. Le frecce non devono necessariamente allontanarsi dall’origine: F=(10+x,0,0) ha divergenza 1 anche vicino all’origine, dove tutte le frecce puntano verso destra. Contano le differenze locali, non il disegno di una sorgente idealizzata.
4. Teorema di Gauss: prima le ipotesi
Nella forma classica V è un solido limitato con bordo regolare a tratti. Si include tutto il bordo, orientato verso l’esterno di V. Il campo F ha derivate prime continue in un aperto contenente il volume e il suo bordo. Sono ammessi spigoli e più componenti di bordo, purché ciascuna abbia l’orientamento corretto.
B=∬∂V F·n̂_ext dS
I=∭V div F dV
B=I
Il lato sinistro è un integrale di superficie, il destro un integrale triplo. dV è un peso di volume positivo, non contiene l’orientamento. L’uguaglianza non confronta il valore del campo sul bordo con il suo valore nel centro: confronta due integrali diversi. Se invertiamo tutte le normali, B cambia segno e diventa −I; I non cambia.
5. La dimostrazione su una scatola
Per V=[0,a]×[0,b]×[0,c], le facce x=a e x=0 hanno normali (1,0,0) e (−1,0,0). Le loro aree elementari sono dy dz. Sommando i due flussi e usando il teorema fondamentale del calcolo nella variabile x otteniamo un integrale triplo di P_x.
B_x=∫₀ᶜ∫₀ᵇ[P(a,y,z)−P(0,y,z)]dy dz
P(a,y,z)−P(0,y,z)=∫₀ᵃP_x(x,y,z)dx
B_x=∭V P_x dV
B_y=∭V Q_y dV; B_z=∭V R_z dV
B=B_x+B_y+B_z=∭V(P_x+Q_y+R_z)dV
Per unire scatole adiacenti, la faccia comune ha normali opposte nei due pezzi: i flussi si cancellano esattamente. Resta il bordo esterno dell’unione. Questo spiega l’idea del teorema generale; non sostituisce i passaggi tecnici di approssimazione e limite necessari per bordi curvi.
6. Due scatole: divergenza costante e variabile
Con F=(x,y,z) le facce sui piani coordinati danno zero. Su x=a il prodotto scalare vale a e l’area è bc: contributo abc. Anche le facce y=b e z=c danno abc. La divergenza è 3 ovunque, dunque il secondo calcolo è tre volte il volume.
B=abc+abc+abc=3abc
I=∫₀ᵃ∫₀ᵇ∫₀ᶜ3 dz dy dx=3abc
a=2,b=1,c=3/2 → Vol(V)=3; B=I=9
Con F=(x³,y³,z³), invece, div F=3x²+3y²+3z². Non basta moltiplicare un valore arbitrario della divergenza per il volume. Integriamo ogni addendo nella sua variabile.
I=a³bc+ab³c+abc³=abc(a²+b²+c²)
B_(x=a)=a³bc; B_(y=b)=ab³c; B_(z=c)=abc³
a=2,b=1,c=3/2 → B=I=3(4+1+9/4)=87/4=21.75
7. Sfera: il calcolo si semplifica
Prendiamo la palla di raggio R e il campo F=(x,y,z). Sul bordo sferico la normale unitaria uscente è (x,y,z)/R. Il prodotto F·n̂ è quindi (x²+y²+z²)/R=R. È costante sulla superficie, ma non lo sarebbe un campo arbitrario.
B=R·Area(∂V)=R·4πR²=4πR³
I=3·Vol(V)=3·(4πR³/3)=4πR³
R=2 → B=I=32π
Il teorema non obbliga a fare il calcolo più lungo: permette di scegliere il lato più comodo, dopo aver controllato le ipotesi. Nel laboratorio calcoliamo comunque entrambi i lati con quadrature indipendenti. Con pochi campioni possono avere errori diversi: Gauss è un’identità analitica, non l’uguaglianza automatica di due somme finite.
8. Il cilindro deve avere anche i tappi
Sia V il cilindro di raggio R e altezza H, da z=0 a z=H. Il bordo completo ha parete laterale, disco inferiore e disco superiore. Con F=(0,0,z), la parete ha normale orizzontale e flusso zero; sotto z=0 il campo è nullo; sopra F·n̂=H.
div F=1
B_laterale=0; B_inferiore=0; B_superiore=HπR²
B=πR²H=∭V1 dV=I
R=2,H=3 → B=I=12π
Se eliminiamo i tappi, il flusso della sola parete è zero ma l’integrale nel cilindro è ancora πR²H. Non è una contraddizione: la parete non è ∂V. Con F=(x,y,z), invece, la parete dà 2πR²H e il tappo superiore πR²H: totale 3πR²H.
9. Flusso nullo non significa campo nullo
Nella scatola, F=(1,0,0) entra dalla faccia x=0 ed esce dalla faccia x=a. I contributi sono −bc e +bc: si compensano. Nella palla, F=(−y,x,0) è tangente a ogni sfera centrata nell’origine: il flusso è nullo punto per punto. Sono due meccanismi diversi che il laboratorio mette a confronto.
Se div F=0 in tutto il volume e valgono le altre ipotesi, il flusso chiuso è zero. Il viceversa su un solo volume non è vero: contributi di divergenza positivi e negativi possono compensarsi. Per esempio F=(x²,0,0) sul cubo [−1,1]³ ha div F=2x, non identicamente nulla, ma integrale e flusso totali nulli per simmetria.
10. Una cavità richiede un secondo bordo
V={r≤ρ≤R}, ρ=√(x²+y²+z²), 0<r<R
F=(x,y,z)/ρ³
div F=(1/ρ³−3x²/ρ⁵)+(1/ρ³−3y²/ρ⁵)+(1/ρ³−3z²/ρ⁵)
=3/ρ³−3ρ²/ρ⁵=0, ρ>0
Il volume è un guscio sferico: l’origine è nella cavità e non appartiene a V. Il campo è regolare in un intorno del guscio. Sulla sfera esterna la normale uscente va verso raggi crescenti; sulla sfera interna uscire dal materiale significa andare verso il centro. Il bordo interno ha quindi normale opposta alla direzione radiale.
B_esterno=(1/R²)·4πR²=4π
B_interno=(−1/r²)·4πr²=−4π
B=4π−4π=0=∭V0 dV
Il buco non impedisce Gauss: impone di considerare tutto il bordo del materiale. Omettere il bordo interno lascia 4π e rende incompleta la superficie di confronto. Cambiare i raggi non cambia i due flussi di questo particolare campo.
11. Riempire il buco cambia le ipotesi
Ora usiamo lo stesso campo sulla palla piena. Il flusso attraverso la sfera si può ancora calcolare: è 4π, perché il campo è definito sul bordo. Ma F non è definito nell’origine, che adesso è interna al volume. L’ipotesi F di classe C¹ in un intorno di tutto V fallisce.
Scrivere «div F=0 per ρ>0, dunque il flusso della palla è zero» applica il teorema fuori dalle sue ipotesi. Il calcolo classico non può ignorare la singolarità. Togliendo una pallina di raggio ε si torna a un guscio: il bordo interno contribuisce −4π per ogni ε>0 e non scompare al diminuire del raggio.
Per questo il laboratorio mostra il flusso sul bordo ma disabilita l’integrale interno come verifica classica di Gauss: indica non applicabile, non uno zero ottenuto campionando soltanto punti regolari. Non introduce automaticamente estensioni o distribuzioni per trattare sorgenti puntiformi.
12. Orientamento, unità e collegamenti
B_uscente=I
B_entrante=−I
dS=‖r_u×r_v‖du dv
F·n̂ dS=F·N du dv, N=±(r_u×r_v)
Il prodotto vettoriale contiene già il fattore di area: non moltiplicare ancora per la sua norma nella formula del flusso. Per una velocità in m/s, div F è in 1/s e il suo integrale nel volume è in m³/s, come il flusso sulla superficie. I due lati hanno le stesse unità.
Green nella forma di flusso collega il bordo di una regione piana con una divergenza bidimensionale. Gauss collega il bordo di un volume con una divergenza tridimensionale. Il prossimo capitolo, Stokes, riguarderà invece circolazione e rotore: non si può scambiare divergenza con rotore né flusso con lavoro lungo una curva.
13. Il laboratorio: due calcoli indipendenti
Scegli un esperimento, controlla il bordo incluso e confronta le due somme. Ogni passo aggiunge una cella sul bordo; l’interno avanza per strati proporzionali. Le somme parziali non devono coincidere: quei pezzi di bordo e volume non sono necessariamente il bordo e l’interno dello stesso sottosolido.
ΔB=F(r(u*,v*))·N(u*,v*)/n²
ΔV=J_vol(u*,v*,w*)/n³
ΔI=div F(x*,y*,z*) ΔV
B≈ΣΔB; I≈ΣΔI; confronto finale: B con sI, s=±1
Il laboratorio usa punti medi, n² celle per componente di superficie e n³ celle di volume. Il Jacobiano volumico è distinto dal fattore d’area. Le tabelle mostrano entrambi; la colonna errore confronta con i valori analitici dei casi guidati. Aumentare n aiuta a osservare la convergenza, ma non fornisce una prova né una stima d’errore certificata.
Il taglio visivo serve soltanto a vedere dentro: non rimuove facce dai calcoli. Le caselle per omettere tappi o bordo interno, invece, modificano davvero la superficie integrata e fanno fallire il confronto con Gauss. Il campo singolare viene bloccato prima di campionare il volume, anche se una griglia finita non incontrasse l’origine.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Calcola la divergenza di F=(x²,yz,3z).
Mostra la soluzione ragionata
P_x=2x, Q_y=z, R_z=3. Quindi div F=2x+z+3. In (1,2,−1) vale 2−1+3=4. Non deriviamo yz rispetto a z, perché è la seconda componente.
2. Scatola a=2,b=1,c=3/2 con F=(x,y,z): flusso totale.
Mostra la soluzione ragionata
Il volume è abc=3 e div F=3: I=9. Le tre facce superiori danno 3 ciascuna, le tre sui piani coordinati zero. Quindi B=3+3+3=9.
3. La stessa scatola con un pozzo F=(−x,−y,−z).
Mostra la soluzione ragionata
div F=−3 e I=−3·3=−9. Il flusso uscente è −9: il segno negativo rappresenta entrata netta. Non cambia il volume geometrico, che resta 3.
4. Campo costante F=(1,0,0): perché il flusso è zero?
Mostra la soluzione ragionata
La faccia x=0 dà −bc=−1.5, quella x=a dà +bc=+1.5; le altre zero. La somma è zero, ma le due facce hanno flussi non nulli. La divergenza è zero in ogni punto.
5. Scatola e campo cubico: trova B con a=2,b=1,c=3/2.
Mostra la soluzione ragionata
B=abc(a²+b²+c²)=3(4+1+2.25)=21.75. Le facce x=a,y=b,z=c danno 12,3,6.75. L’integrale della divergenza variabile fornisce lo stesso valore analitico.
6. Sfera di raggio 2, F=(x,y,z): applica le due formule.
Mostra la soluzione ragionata
Sul bordo F·n̂=2 e area=16π, quindi B=32π. Nel volume div F=3 e Vol=32π/3: I=3·32π/3=32π.
7. Cilindro R=2,H=3, F=(0,0,z): cosa manca senza tappi?
Mostra la soluzione ragionata
Il volume dà I=12π. Parete e tappo inferiore danno zero; il tappo superiore dà HπR²=12π. Senza tappi resta B=0 su una superficie aperta: non si può uguagliarlo a I con Gauss.
8. Cilindro R=2,H=3, F=(x,y,z): ripartisci il flusso.
Mostra la soluzione ragionata
Parete: 2πR²H=24π; sopra: πR²H=12π; sotto: zero. Totale 36π. Il volume è 12π e la divergenza 3: I=36π.
9. Guscio r=1,R=2 con campo inverso quadrato: verso e flussi.
Mostra la soluzione ragionata
Normale esterna radiale sulla sfera R: flusso 4π. Sul bordo r la normale del materiale va verso il centro: flusso −4π. Totale zero, come l’integrale di div F=0 nel guscio regolare.
10. Stesso campo nella palla piena: possiamo dire che il flusso è zero?
Mostra la soluzione ragionata
No. Il campo non è definito nell’origine e manca l’ipotesi C¹ vicino a tutto il volume. Il flusso sferico diretto è 4π. Campionare solo punti diversi dall’origine non ripristina le ipotesi del teorema.
11. Inverti tutte le normali del primo esempio: che cosa cambia?
Mostra la soluzione ragionata
B passa da 9 a −9, ma I resta 9 e il volume 3. Il confronto corretto è B=−I, non B=I. Nel guscio si invertono entrambe le componenti, non solo quella esterna.
12. Flusso nullo su una superficie chiusa implica divergenza nulla ovunque?
Mostra la soluzione ragionata
No. Per F=(x²,0,0) sul cubo simmetrico [−1,1]³, div F=2x è positiva per x>0 e negativa per x<0. I contributi integrali si compensano. L’uguaglianza di un integrale a zero non impone che la funzione sia identicamente nulla.
Prima: integrali di superficie · Indice del percorso