Après Green, passons du plan à l’espace. Une voile, une membrane ou une paroi courbe demande deux coordonnées pour repérer un point. On peut mesurer son aire, y additionner une densité ou compter le champ qui la traverse : trois questions distinctes. Construisons la géométrie avant les formules, sans supposer les théorèmes de Gauss ou de Stokes.
Surfaces : aire, masse et flux · Index du parcours
1. Trois questions, trois grandeurs
L’aire indique la quantité de matériau nécessaire pour recouvrir la surface. La masse d’une lame additionne sa densité surfacique, éventuellement variable. Le flux mesure la composante d’un champ qui traverse la surface selon une normale choisie. Un courant rapide parallèle à une paroi peut avoir un flux nul à travers celle-ci.
A=∬S 1 dS
M=∬S ρ dS
Φ=∬S F·n̂ dS
dS est un élément d’aire, pas de volume. Avec des longueurs en mètres et ρ en kg/m², M est en kg. Pour une vitesse F en m/s, le flux est en m³/s. Son signe distingue les sens de traversée ; une densité de masse positive ne produit pas de masse négative.
2. Une surface à partir de deux paramètres
r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)), (u,v)∈D⊂ℝ²
D est le domaine plan des paramètres ; S est son image dans l’espace. Les paramètres ne sont pas nécessairement cartésiens : ce peuvent être des angles ou des hauteurs. Fixer v et faire varier u donne une courbe sur la surface ; fixer u et varier v en donne une autre. Ces familles forment une grille.
r(u,v)=(2u,v,u+v), 0≤u,v≤1
r(0,0)=(0,0,0); r(1,0)=(2,0,1)
r(0,1)=(0,1,1); r(1,1)=(2,1,2)
C’est un parallélogramme incliné, pas le carré des paramètres. Pour u=1/2,v=1/4, le point est (1,1/4,3/4). L’équation z=x/2+y ne suffit pas à préciser la portion : il faut aussi les intervalles de x et y.
3. Deux tangentes et une normale
Les dérivées r_u et r_v sont tangentes aux courbes coordonnées. Leur produit vectoriel est perpendiculaire aux deux. Sa norme est l’aire du parallélogramme qu’elles engendrent, pas le produit des normes sauf si les vecteurs sont orthogonaux.
U=(U₁,U₂,U₃), V=(V₁,V₂,V₃)
U×V=(U₂V₃−U₃V₂, U₃V₁−U₁V₃, U₁V₂−U₂V₁)
r_u=(2,0,1), r_v=(0,1,1)
r_u×r_v=(0−1, 0−2, 2−0)=(−1,−2,2)
J=‖r_u×r_v‖=√(1+4+4)=3
n̂=(−1,−2,2)/3
La paramétrisation est régulière là où J≠0. La normale unitaire n̂ a une longueur de un ; r_u×r_v contient aussi un facteur d’aire. Inverser l’ordre des vecteurs change le signe du produit, pas sa norme.
4. Pourquoi l’aire demande un facteur
Une petite cellule Δu×Δv a pour côtés approchés r_uΔu et r_vΔv, donc pour aire JΔuΔv. La somme puis le passage à la limite donnent la formule. Ce n’est ni l’aire de la projection ni celle du rectangle des paramètres.
dS=‖r_u×r_v‖ du dv=J du dv
A(S)=∬D J du dv
r=(2u,v,u+v), D=[0,1]² → A=∫₀¹∫₀¹3 dv du=3
Ici la projection a une aire de 2, le carré paramétrique de 1 et la surface de 3. Le laboratoire calcule J avec les dérivées, pas avec les quadrilatères dessinés : le dessin approche la surface, la quadrature utilise le facteur analytique.
5. Une intégrale scalaire : la masse de la lame
Composons d’abord la densité avec la paramétrisation : ρ(x,y,z) devient ρ(r(u,v)). Multiplions ensuite par J. Sur le plan précédent, choisissons ρ=1+z dans des unités cohérentes. Comme z=u+v, la densité est 1+u+v et reste positive.
∬S f dS=∬D f(r(u,v))J du dv
M=∫₀¹∫₀¹3(1+u+v)dv du
=3∫₀¹(3/2+u)du=3(3/2+1/2)=6
La densité moyenne pondérée par l’aire est M/A=2. En général, on ne peut pas prendre la densité en un point arbitraire puis multiplier par l’aire. Une intégrale scalaire d’une fonction signée peut être négative ; l’interprétation comme masse avec ρ≥0 impose M≥0.
6. Le graphe z=g(x,y) n’est pas un volume
r(x,y)=(x,y,g(x,y))
r_x=(1,0,g_x), r_y=(0,1,g_y)
r_x×r_y=(−g_x,−g_y,1)
dS=√(1+g_x²+g_y²) dx dy
Pour z=x²+y² au-dessus du disque unité, g_x=2x,g_y=2y. Passons en coordonnées polaires dans le domaine plan : x=t cosθ,y=t sinθ. Le facteur t est le jacobien polaire ; √(1+4t²) tient compte de l’inclinaison. Il faut les deux.
A=∫₀²π∫₀¹ t√(1+4t²)dt dθ
=2π[(1+4t²)^(3/2)/12]₀¹
=π(5√5−1)/6
V=∬[x²+y²≤1] (x²+y²)dx dy=π/2
A mesure la peau courbe ; V le volume entre celle-ci et z=0. Leurs unités et leurs sens diffèrent. Ne pas remplacer √(1+g_x²+g_y²) par g dans la formule de l’aire.
7. Cylindre : paroi latérale et bases
r(θ,z)=(R cosθ,R sinθ,z), 0≤θ≤2π, 0≤z≤H
r_θ=(−R sinθ,R cosθ,0), r_z=(0,0,1)
r_θ×r_z=(R cosθ,R sinθ,0), J=R
A_laterale=∫₀ᴴ∫₀²π R dθ dz=2πRH
La normale obtenue pointe vers l’extérieur. La paramétrisation ne décrit que la paroi, pas les deux disques. Avec R=2,H=3, l’aire latérale est 12π et celle du cylindre fermé 12π+2·4π=20π. Il faut identifier la surface demandée avant d’intégrer.
Les lignes θ=0 et θ=2π coïncident : c’est une couture, pas une double couverture de toute la paroi. Cette superposition de bord ne change pas l’intégrale. L’intervalle 0≤θ≤4π couvre chaque portion deux fois et double le résultat paramétrique.
8. La sphère et les pôles du paramétrage
r(φ,θ)=(R sinφ cosθ,R sinφ sinθ,R cosφ)
0≤φ≤π, 0≤θ≤2π
r_φ×r_θ=R²sinφ (sinφ cosθ,sinφ sinθ,cosφ)
J=R²sinφ
A=∫₀²π∫₀π R²sinφ dφ dθ=4πR²
Le vecteur entre parenthèses est unitaire et extérieur. Aux pôles sinφ=0 : cette carte n’y est pas régulière, mais la sphère n’a pas de pointe. Le défaut vient des coordonnées et d’autres cartes le résolvent. Pour ces intégrales, couture et pôles ont une aire nulle ; on intègre les parties régulières avec les limites au bord.
Pour l’hémisphère supérieur, 0≤φ≤π/2 donne l’aire 2πR². Avec ρ=1+z/R=1+cosφ, la masse vaut 2πR²∫₀^(π/2)(1+cosφ)sinφ dφ=3πR². La densité va de 1 à l’équateur à 2 au pôle ; sa moyenne pondérée par l’aire est 3/2, pas une moyenne sans poids d’échantillons arbitraires.
9. Le flux : la composante normale compte
Choisissons un champ continu sur la surface et une normale continue, au moins sur chaque morceau orienté. Comme n̂=(r_u×r_v)/J et dS=Jdu dv, les facteurs J se simplifient. Voilà la formule compacte : ne pas multiplier encore par J.
Φ=∬S F·n̂ dS=∬D F(r(u,v))·(r_u×r_v)du dv
r=(2u,v,u+v), F=(0,0,1)
F·(r_u×r_v)=(0,0,1)·(−1,−2,2)=2
Φ=∫₀¹∫₀¹2 dv du=2
Sur le cylindre, F=(0,0,1) a un flux latéral nul : il est tangent à la paroi. Pour F=(x,y,z), F·n̂=R, donc Φ=2πR²H, soit 24π pour R=2,H=3. Le terme z ne contribue pas, car la troisième composante de la normale à la paroi est nulle.
Sur la sphère, F=(x,y,z) donne F·n̂=R et Φ=4πR³. Pour le champ vertical, les moitiés donnent +πR² et −πR² : un total nul ne signifie pas des contributions toutes nulles. L’hémisphère supérieur seul conserve +πR².
10. Cône et tore : deux autres exemples
r(u,v)=(Ru cos(2πv),Ru sin(2πv),H(1−u)), 0≤u,v≤1
r_u×r_v=2πRu(H cos(2πv),H sin(2πv),R)
J=2πRu√(R²+H²)
A_cono=πR√(R²+H²); Φ_(F=(0,0,1))=πR²
C’est le manteau du cône, sans disque de base. La normale sort du solide situé dessous. Au sommet u=0 le produit s’annule : il y a une vraie pointe géométrique. On intègre les parties régulières en atteignant le sommet par limite ; le point exclu a une aire nulle. R=1,H=2 donne l’aire π√5 et le flux vertical π.
r(θ,φ)=((R+r cosφ)cosθ,(R+r cosφ)sinθ,r sinφ)
0≤θ,φ≤2π, 0<r<R
J=r(R+r cosφ)
A_toro=4π²Rr
R est le rayon du cercle central, r celui du tube. r<R évite dégénérescence et auto-intersection. Avec normale extérieure et F=(x,y,z), le produit scalaire avec r_θ×r_φ vaut r(R+r cosφ)(R cosφ+r). La moyenne de cosφ est nulle et celle de cos²φ vaut 1/2, d’où Φ=6π²Rr². Pour R=2,r=1/2, A=4π² et Φ=3π². C’est un calcul direct, sans utiliser Gauss à l’avance.
11. Orientation, bords et surfaces fermées
Inverser la normale change Φ en −Φ, mais pas l’aire ni l’intégrale scalaire de la même densité. Une surface orientable permet une normale continue ; le ruban de Möbius n’en admet pas globalement. Nous utilisons seulement des surfaces orientables, éventuellement découpées en parties régulières.
La sphère et le tore sont fermés, sans bord. La paroi du cylindre, le cône sans base et l’hémisphère ont un bord : ne pas ajouter mentalement des bases non demandées. Pour une surface fermée délimitant un solide, on choisit généralement la normale sortante. Sur une surface ouverte, « sortante » peut être ambigu : préciser vers le haut, vers le bas ou selon le produit vectoriel.
Si l’on oriente aussi le bord, la règle de la main droite le relie à la normale. Pour une normale vers le haut, le bord positif apparaît antihoraire vu d’en haut. Cela prépare Stokes ; ce n’est pas encore une formule transformant tout flux en intégrale sur le bord.
12. Reparamétrer n’est pas couvrir deux fois
Les formules géométriques supposent une couverture simple, sauf superpositions d’aire nulle entre cartes ou sur les bords. L’intégrale paramétrique compte les multiplicités : couvrir toute la surface deux fois additionne deux copies. Le cylindre à deux tours du laboratoire distingue aire géométrique et aire comptée par le paramétrage.
r̃(s,v)=r(s²,v), 0≤s,v≤1
r̃_s=2s r_u(s²,v); r̃_v=r_v(s²,v)
r̃_s×r̃_v=2s (r_u×r_v)(s²,v)
La substitution u=s² est croissante : ni double couverture ni inversion de normale. Elle redistribue les cellules et introduit 2s. L’inverse n’est pas régulier au bord s=0, mais le changement l’est à l’intérieur et ce bord a une aire nulle dans nos exemples. Les sommes numériques peuvent changer, pas les intégrales exactes. Un déterminant négatif inverserait l’orientation induite.
13. Utiliser le laboratoire et vérifier
Commencer par le plan : les valeurs initiales donnent aire 3, masse 6 et flux 2. Un pas surligne une cellule paramétrique et son image spatiale. Les détails donnent r_u,r_v,leur produit,J,la normale unitaire,ρ,F et les trois contributions. Changer les angles de vue modifie le dessin, pas les calculs.
u_i=(i+1/2)/n, v_j=(j+1/2)/n, ΔuΔv=1/n²
ΔA=J(u_i,v_j)/n²
ΔM=ρ(r(u_i,v_j)) ΔA
ΔΦ=F(r(u_i,v_j))·N(u_i,v_j)/n²
N=±(r_u×r_v)
Essayer ensuite le champ vertical sur la sphère : les contributions de flux changent de signe et se compensent. Inverser la normale : aire et masse restent fixes. Augmenter n et comparer aux références analytiques, sans prendre l’accord numérique pour une preuve. Le laboratoire utilise les points milieux, pas un calcul symbolique général ni une borne d’erreur certifiée.
Vérifier enfin : surface et domaine, couverture simple, parties régulières, ordre du produit, densité composée avec r, pas de J doublé dans le flux, bases ajoutées seulement si demandées. Nous pourrons alors relier le flux d’une surface fermée à l’intérieur du volume : étape 28, divergence et Gauss.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Où va u=1/2,v=1/4 par r=(2u,v,u+v) ?
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Substituer dans chaque coordonnée : x=1,y=1/4,z=3/4. Le point spatial est (1,1/4,3/4), pas la paire des paramètres.
2. Calculer tangentes, produit vectoriel et aire du plan initial.
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r_u=(2,0,1),r_v=(0,1,1), produit (−1,−2,2), norme 3. D a une aire de 1 et J est constant : A=3.
3. Pourquoi la masse ne vaut-elle pas 3 avec ρ=1+z ?
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3 est l’aire, correspondant à la densité 1. Ici ρ(r)=1+u+v et M=3∫₀¹∫₀¹(1+u+v)dv du=6. La densité moyenne pondérée vaut 2.
4. Pour F=(0,0,1), quels sont les deux flux du plan ?
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Avec N=(−1,−2,2), F·N=2, donc Φ=2. Normale opposée : −2. Ne pas remultiplier par J=3, déjà dans N. Aire 3 et masse 6 inchangées.
5. Paraboloïde unité : aire courbe et flux vertical sont-ils égaux ?
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Non. Aire π(5√5−1)/6 ; flux vertical vers le haut ∫∫D1 dxdy=π. Le flux compte la projection orientée, l’aire inclut la pente.
6. Cylindre R=2,H=3 : aire latérale, aire fermée et flux radial.
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Aire latérale 12π ; bases 8π, total 20π. Pour F=(x,y,z), composante normale latérale R=2, donc flux de la paroi seule 24π.
7. Comment un cylindre peut-il avoir aire positive et flux nul ?
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Pour F=(0,0,1), la normale latérale a sa troisième composante nulle. F·n̂=0 partout, alors que A=2πRH>0. Le champ est tangent, pas nul.
8. Sphère R=2 : comparer champs radial et vertical.
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Aire 16π. F radial a une composante normale 2 : Φ=32π. F vertical donne 4π sur la moitié supérieure et −4π sur l’inférieure : total nul.
9. Hémisphère R=2 avec ρ=1+z/R : aire, masse et flux vertical.
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A=8π,M=12π,Φ=4π avec normale sortante. C’est seulement la coque supérieure, sans disque équatorial. Inverser la normale change uniquement le flux en −4π.
10. Tore R=2,r=1/2 : aire et flux de F=(x,y,z).
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A=4π²Rr=4π² ; flux sortant Φ=6π²Rr²=3π². r<R est vérifié ; les deux rayons ont des rôles distincts.
11. Deux tours du cylindre doublent-ils sa paroi géométrique ?
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Non. L’ensemble des points de la paroi reste identique. L’intégrale paramétrique compte deux couvertures : 4πRH contre 2πRH géométrique. La couture d’un seul tour a une aire nulle.
12. Pourquoi les sommes numériques peuvent-elles changer avec u=s² ?
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Les milieux en s ne deviennent pas des milieux équidistants en u. Le facteur 2s entre dans la première tangente et le produit vectoriel. L’intégrale exacte ne change pas ; l’erreur à n fixé peut varier. Ne pas ignorer les poids en comparant les dessins.
Avant : théorème de Green · Index du parcours