Après le travail le long d’un chemin, fermons le parcours : peut-on retrouver la circulation à partir de l’intérieur ? Green relie deux calculs, avec les bonnes hypothèses de bord et de domaine. Partons du rectangle avant cercles, couronnes et flux.
Green : du bord à la région · Index du parcours
1. Deux regards sur la même quantité
La circulation est ∮C Pdx+Qdy pour F=(P,Q) sur une courbe fermée. Le cercle du symbole marque le retour au départ. Ni longueur ni norme du champ : les composantes selon le parcours et leurs signes comptent.
Le théorème relie cette somme à une intégrale double de Q_x−P_y, pas de P+Q. Les indices sont des dérivées partielles. Densité locale de circulation, pas automatiquement vitesse angulaire d’un objet.
2. Les hypothèses avant la formule
D est classiquement une région plane bornée à bord simple, fermé, régulier par morceaux. P,Q ont des dérivées premières continues sur un voisinage ouvert de la région et du bord. Coins admis ; champ indéfini à l’intérieur, hypothèses violées. Plusieurs composantes de bord seront traitées ensuite.
Sens positif : région à gauche, antihoraire sans trous. Inverser change le signe de l’intégrale au bord, pas l’intégrale double sur D. La comparaison exige alors un signe moins explicite.
3. Écrire et lire Green
B=∮[∂D,+] P dx+Q dy
I=∬D (Q_x−P_y)dA
B=I
B_(−∂D)=−I
∂D est le bord ; + fixe le sens positif. dA est une aire positive, pas un sens antihoraire. Pour F=(−y,x), P_y=−1, Q_x=1, donc Q_x−P_y=1−(−1)=2. Attention aux deux moins.
4. Un rectangle, quatre côtés, deux calculs
Choisir D=[0,a]×[0,b], a,b>0, F=(−y,x). Bas vers droite, droite vers haut, haut vers gauche, gauche vers bas. Côtés horizontaux : dy=0 ; verticaux : dx=0.
B₁=∫₀ᵃ0 dx=0
B₂=∫₀ᵇa dy=ab
B₃=∫ₐ⁰(−b)dx=(−b)(−a)=ab
B₄=∫[b,0]0 dy=0
B=0+ab+ab+0=2ab
I=∫₀ᵃ∫₀ᵇ2 dy dx=2ab
a=2, b=1 → B=I=4
En haut, P et dx sont négatifs : contribution positive. Ne pas intégrer tous les côtés en avant sans changer la direction tangente.
5. Pourquoi ces dérivées apparaissent
Pour un champ général, additionner les quatre côtés. Regrouper horizontaux puis verticaux, transformer différences en intégrales de dérivées par le théorème fondamental. Avec les hypothèses de régularité indiquées.
B=∫₀ᵃ[P(x,0)−P(x,b)]dx+∫₀ᵇ[Q(a,y)−Q(0,y)]dy
P(x,0)−P(x,b)=−∫₀ᵇP_y(x,y)dy
Q(a,y)−Q(0,y)=∫₀ᵃQ_x(x,y)dx
B=−∫₀ᵃ∫₀ᵇP_y dy dx+∫₀ᵇ∫₀ᵃQ_x dx dy
=∬D (Q_x−P_y)dA
Deux cellules adjacentes parcourent le côté partagé en sens opposés : annulation, bord de l’union restant. Intuition pour régions générales, pas preuve technique du passage à la limite pour bords courbes.
6. Une densité intérieure variable
Pour F=(−y³,x³), P_y=−3y², Q_x=3x². Densité 3x²+3y², pas une constante arbitraire. Intégrer en y, puis x.
I=∫₀ᵃ∫₀ᵇ(3x²+3y²)dy dx
=∫₀ᵃ[3x²y+y³]₀ᵇdx
=∫₀ᵃ(3bx²+b³)dx
=[bx³+b³x]₀ᵃ=ba³+ab³=ab(a²+b²)
B₂=a³b; B₃=ab³; B₁=B₄=0
a=2,b=1 → B=I=2(4+1)=10
Les quadratures sont indépendantes. Le bord peut déjà être exact, l’intérieur encore approché. Un écart qui diminue avec n ne réfute pas l’identité analytique.
7. La région ne doit pas être rectangulaire
Triangle (0,0),(a,0),(0,b) dans cet ordre positif, aire ab/2. Pour F=(−y,x), densité 2, I=ab. Le côté oblique de (a,0) à (0,b) fournit tout ; côtés sur les axes nuls.
r(t)=(a(1−t),bt), 0≤t≤1
r′=(−a,b), F(r)=(−bt,a(1−t))
F(r)·r′=abt+ab(1−t)=ab
B=∫₀¹ab dt=ab
I=∫[0,a]∫[0,b(1−x/a)]2dy dx=ab
La borne supérieure de y dépend de x : hypoténuse. Au laboratoire x=au, y=b(1−u)v transforme le carré paramétrique en triangle. Poids d’aire J=ab(1−u), pas ab constant.
8. Calculer une aire depuis le bord
Choisir P=−y/2, Q=x/2 : Q_x−P_y=1. Green transforme l’aire en intégrale au bord. Pour ellipse x=a cos t, y=b sin t, 0≤t≤2π, simplification sans racines.
Area(D)=1/2 ∮[∂D,+](x dy−y dx)
−y x′/2+x y′/2=(ab/2)(sin²t+cos²t)=ab/2
Area(ellipse)=∫₀²πab/2 dt=πab
Pour un polygone simple, intégration des segments : ½Σ(x_i y_(i+1)−x_(i+1)y_i), dernier sommet relié au premier. (0,0),(3,0),(0,2) donne (0+6+0)/2=3. Ordre inversé : −3, aire signée, aire géométrique toujours 3. Contours auto-croisés exigent adaptation.
9. Régions trouées : tous les bords comptent
Extension à un nombre fini de trous et bords réguliers par morceaux, champ C¹ près de toute la région fermée, trous exclus. D à gauche : extérieur antihoraire, trous horaires. Le bord extérieur seul ne suffit pas.
D={r≤√(x²+y²)≤R}, 0<r<R
∮outer,+F·dr + ∮inner,−F·dr = ∬D(Q_x−P_y)dA
F=(−y,x): B_outer=2πR²; B_inner=−2πr²
B=2π(R²−r²)=2 Area(D)
R=2,r=1 → 8π−2π=6π
Ici + et − désignent sens antihoraire et horaire. Un segment de coupure entre les contours se compense sur ses deux faces. Simple connexité non requise dans cette extension, avec bord complet et bonnes hypothèses.
10. Pourquoi le champ angulaire ne réfute pas Green
F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)) donne Q_x−P_y=0 hors origine, mais circulation 2π sur tout cercle centré à l’origine, antihoraire. Green ne s’applique pas au disque rempli : champ indéfini au centre. Éviter ce point dans une grille ne répare pas l’hypothèse.
D={ρ≤R}: (0,0)∈D; ∄F(0,0)
D={r≤ρ≤R}, r>0 → B_outer=2π, B_inner=−2π
B_total=0=∬D0 dA
Sur la couronne, origine hors région, champ régulier à proximité : Green fonctionne avec les deux bords. Omettre l’intérieur laisse 2π, mais change le contour, pas le théorème.
11. Seconde forme : flux sortant
Au sens positif, normale sortante à droite : n ds=(dy,−dx). Flux ∮Pdy−Qdx. Green appliqué au champ auxiliaire (−Q,P) donne densité P_x+Q_y.
∮[∂D,+] F·n ds=∮[∂D,+] Pdy−Qdx
=∬D(P_x+Q_y)dA
F=(x,y): P_x+Q_y=1+1=2
D={x²+y²≤R²} → Flux_out=2πR²
Au laboratoire inverser garde la normale à droite : elle entre, le signe change. Le flux physique à normale sortante fixée ne change pas simplement avec le paramètre ; préserver aussi la normale. Surfaces et volumes viendront ensuite.
12. Lire les deux sommes du laboratoire
À gauche, contributions aux milieux des bords. À droite, n² cellules paramétriques transformées avec jacobien. Le programme ne déduit pas un côté de l’autre par Green : calculs indépendants.
ΔB_i=[P(r(t_i*))x′(t_i*)+Q(r(t_i*))y′(t_i*)]Δt_i
ΔI_ij=(Q_x−P_y)(x_ij,y_ij) J(u_i*,v_j*) Δu Δv
D={ρ≤R}: ρ=Ru, θ=2πv → J=2πR²u
D={r≤ρ≤R}: ρ=r+(R−r)u → J=2πρ(R−r)
Un terme de bord par pas, bandes intérieures proportionnelles. Sommes partielles pas forcément égales : fragments sans même frontière fermée. Au final comparer B et sI, s=1 ou −1 selon le sens. Cas non applicables : comparaison désactivée.
13. Une vérification avant de calculer
Contour simple fermé, ou bons composants autour des trous ? Région à gauche ? Champ C¹ dedans et près du bord ? Q_x−P_y, pas P_x−Q_y ? Poids d’aire en polaires ? Ensuite seulement choisir le calcul le plus facile.
Dix expériences distinguent identité, hypothèse manquante et erreur numérique. Flèches et sommes échantillonnées ne sont pas une preuve générale. Étape 27 : surfaces paramétrées, aire, normales et intégrales de surface.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Densité intérieure pour F=(−y,x) et F=(2x,2y) ?
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Premier : Q_x−P_y=1−(−1)=2. Second : 0−0=0, gradient mais champ pas nul partout.
2. Rectangle 2×1, F=(−y,x) : sommer les côtés.
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Bas 0, droite 2, haut 2, gauche 0 : B=4. Intérieur 2×Aire=2×2=4. En haut P<0 et dx<0, donc positif.
3. Inverser le bord : B et I deviennent-ils tous deux négatifs ?
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Non : B passe de 4 à −4, I reste 4. Comparer B=−I. Le sens ne rend pas l’aire géométrique négative.
4. F=(−y³,x³), rectangle 2×1 : valeur exacte ?
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Densité 3x²+3y². I=ab(a²+b²)=2×1×(4+1)=10. Bord droit 8, haut 2, total 10.
5. Triangle (0,0),(3,0),(0,2), F=(−y,x) : circulation ?
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Aire=3×2/2=3 ; densité 2, donc B=6. L’hypoténuse de (3,0) à (0,2) fournit tout.
6. Ellipse de demi-axes 3,2 et F=(−y/2,x/2) : que mesure B ?
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Q_x−P_y=1 : B positif mesure aire πab=6π. Le champ (−y,x) a densité 2 et double circulation.
7. La formule des sommets donne −3 : aire géométrique négative ?
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Non : pour un polygone simple, signe du sens. Aire géométrique |−3|=3. Vérifier l’absence d’auto-intersection.
8. Couronne R=2,r=1, F=(−y,x) : deux bords ?
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Extérieur antihoraire 8π ; intérieur horaire −2π. Total 6π=2×π(4−1). Deux sens antihoraires donnent mauvais signe intérieur.
9. Champ angulaire sur couronne : pourquoi 2π ne contredit pas densité nulle ?
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2π est seulement extérieur. Bord complet : aussi −2π intérieur, total nul. Sans intérieur, ce n’est plus ∂D.
10. Champ angulaire sur disque : Green si la grille évite l’origine ?
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Non : champ indéfini à l’origine dans la région. Hypothèses sur toute la région, pas seulement échantillons. Circulation 2π valable, passage au disque interdit.
11. F=(x,y), disque R=2 : flux sortant et sens inverse ?
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Densité P_x+Q_y=2, flux sortant 8π. Pdy−Qdx inversé utilise normale entrante, −8π. Normale sortante fixée : flux physique reste 8π.
12. Rectangle polynomial : B=10, I≈9,84375 à n=4. Contradiction ?
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Non : références exactes 10 des deux côtés. Quadrature intérieure encore en erreur de 0,15625. Augmenter n réduit l’écart. Green ne promet pas égalité exacte de quadratures finies.
Avant : intégrales curvilignes, travail et potentiel · Index du parcours